I "coniglietti" di Fibonacci

Cari  alunni, se talvolta, tra un bagno al mare e un’escursione in collina, vi trovate a passare da queste parti, troverete un famoso problema, noto come “I Coniglietti di Fibonacci” che propongo a voi, ma  anche ai visitatori adulti, a scopo sia ludico che conoscitivo.
Passiamo al problema, senza perderci in chiacchere.

Immaginate di possedere una coppia di giovanissimi conigli, che dopo un mese di vita diviene feconda e, da quel momento in poi, genera una nuova coppia di coniglietti al mese.
Ogni nuova coppia di coniglietti si comporterà allo stesso modo: dopo un primo mese di attesa, genererà una nuova coppia di coniglietti al mese, tutti i mesi. Seguite l’evoluzione del gruppo di coniglietti e fate attenzione al numero di coppie che avrete a disposizione, mese dopo mese.

1. All’inizio avete solo una coppia A, non feconda;

2. dopo un mese, avete ancora la sola coppia A, che è divenuta feconda;

3. dopo due mesi, A (che resta) ha generato una nuova coppia B, inizialmente non feconda;

4. dopo tre mesi, A ha generato C, inizialmente non feconda, e B è diventata feconda…

Se contate, mese dopo mese, il numero delle coppie di coniglietti, troverete la successione di Fibonacci, così denominata su proposta del matematico francese Edouard Lucas (1842-1891, inventore tra l'altro delle Torri di Hanoi, di cui abbiamo già parlato  su questo blog e di cui potete vedere una immagine animata):

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; …

I calcoli diventano sempre più fastidiosi; ci chiediamo quindi come poter  scrivere una “regola” che  aiuti a calcolare con facilità i termini di tale successione. Insomma:

"Quante saranno le coppie di coniglietti ad un mese considerato?"

Ci saranno, ovviamente, tutte le coppie del mese precedente. Ci saranno poi le coppie “neonate”: quante? Una per ogni coppia feconda (nel mese precedente al mese considerato). Ma le coppie di coniglietti diventano feconde dopo un mese di “attesa”. Quindi il numero di coppie in età feconda al momento considerato è il numero delle coppie presenti due mesi prima.

Quindi: il numero a(n) di coppie al mese n-esimo è la somma del numero delle coppie presenti nei due mesi precedenti:

a(0) = 1; a(1) = 1; a(n+2)= a (n+1)+a(n )         dove n è un numero naturale

La successione di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 15, …si ritrova in molte applicazioni.  Ad esempio, consente di tassellare un piano con una sequenza di quadrati due soli dei quali con lati uguali. Una sequenza strettamente imparentata con la spirale!

Possiamo anche rappresentare in un grafico l'andamento della nostra “popolazione” per i primi mesi (consideriamo, ad esempio, il primo anno):

Se esaminiamo il rapporto tra il numero di coppie al mese n-esimo e al mese (n+1)-esimo, troviamo che al crescere di n tale rapporto tende a “stabilizzarsi” intorno ad un valore di poco superiore a 0,6:

E' tutto. Mi auguro che vi siate divertiti un pochino.