I Numeri Di Cullen

Un lettore, Antonio, mi ha chiesto tramite email che cos'è un numero di Cullen, ed io cerco di rispondere alla sua domanda.

Un numero di Cullen è numero naturale della forma:
 

( n × 2 ^n) + 1.

Esso  è  indicato con  Cn, e prende il nome dal reverendo James Cullen (1867-1933), un sacerdote gesuita irlandese e maestro di scuola, che li studiò per la prima volta nel 1905.



Cullen notò che il primo numero, C1= 3, era  un numero primo, ma che, ad eccezione del 53°, i successivi  99 erano tutti composti.

Non molti anni dopo, nel 1917, Allan J. C. Cunningham scoprì che 5.591 divide C53, e rilevò che tutti i numeri di Cullen sono numeri composti  per n  compreso nell'intervallo 2 <n <200, ad eccezione di 141.

Cinque decenni più tardi, Robinson dimostrò che il C141 è un numero primo.
 
Attualmente, gli unici numeri primi di Cullen conosciuti sono quelli con:

n = 1, 141, 4.713, 5.795, 6.611, 18.496, 32.292, 32.469, 59.656, 90.825, 262.419, 361.275 e 481.899.

Anche se la stragrande maggioranza dei numeri di Cullen sono composti, si è ipotizzato che ce ne siano infiniti.

Non si sa se  n e  Cn possano essere contemporaneamente primi. A volte, il nome di "numero di Cullen" è esteso a comprendere i numeri di Woodall:

 Wn =  (n × 2^n) – 1.

Infine, alcuni autori hanno definito un numero della forma (n × b^n) + 1, con n + 2> b,  come numero di Cullen generalizzato.

I primi numeri di Cullen sono:

C1 = 3       1 * 2 +1

          
C2= 9         2 * 4 + 1
        
C3= 25       3 * 8 + 1
        
 C4= 65       4 * 16 + 1

 C5= 161     5 * 32 + 1

 C6= 385     6* 64  + 1

   C7= 897     7 * 128 + 1

(sequenza A002064 dell'OEIS).

I numeri di Cullen che sono anche primi vengono chiamati numeri primi di Cullen. I primi valori di n che rendono primi i numeri di Cullen sono:

(sequenza A005849 dell'OEIS).

I primi di Cullen sono molto difficili da calcolare. Ecco i primi due:
 
 
Il numero  più alto conosciuto che genera un numero primo di Cullen è 1354828; esso restituisce il numero primo:  


Il 1° Agosto 2009, Magnum Bergman, nell’ambito del progetto PrimeGrid trovò il più grande primo di Cullen conosciuto:
 

6679881 * 2^6679881+1

Il  20/04/ 2009, Dennis R. Gesker (nell’ambito di PrimeGrid ) trovò il più grande primo di Cullen conosciuto:

 6328548 * 2^6328548 +1

Il 23/08/ 2005, Mark Rodenkirch  trovò il più grande primo di Cullen conosciuto:
 

1354828 * 2^1354828+1

Un elenco dei partecipanti al progetto Cullen è qui.

Il software consigliato per la ricerca dei primi di Cullen, è:

- MultiSieve per cercare un  range di n;

-  LLR per verificare la  primalità (utilizzando l'uscita da MultiSieve).