I Geopiani Di Gattegno: Possibili Impieghi Didattici (1° Parte)

Questo post contiene il primo di due articoli dedicati ai geopiani di Gattegno e ai suoi possibili impieghi sia nella didattica e nell'apprendimento della geometria piana che nella risoluzione di problemi matematici, in generale.

Il geopiano  è un sussidio didattico, ideato e realizzato dal prof. Caleb Gattegno, insigne pedagogista e studioso di matematica.


Tale sussidio è costituito da una tavoletta di legno sulla quale è disegnato un reticolato, i cui nodi sono messi in evidenza con dei chiodini o delle viti. I chiodi e le viti servono da supporti e fra di essi si possono tendere degli elastici di diverso colore.

Gattegno ideò diversi tipi di geopiani, indicandone alcune fondamentali utilizzazioni per ogni tipo. I reticolati, realizzati nei vari modelli e sperimentati dallo stesso ideatore, sono costituiti da:

- un dodecagono;
- un decagono;
- un ottagono;
- un esagono;
- un doppio esagono;
- reticolati a maglie rettangolari;
- reticolati a maglie triangolari;
- reticolati a maglie quadrate, rispettivamente con 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 e 121 nodi, sempre messi in evidenza con chiodi o viti.


I geopiani più noti, il cui uso è quindi più diffuso, sono questi ultimi a maglie quadrate e fra essi si possono distinguere quelli in cui un nodo coincide con il centro, aventi cioè un numero dispari di chiodi, e quelli con un numero pari di chiodi nei quali il centro non può essere messo in evidenza.



In genere, il geopiano si presenta con i soli chiodi che indicano i nodi, ma, a volte, si ritiene opportuno lasciare disegnato sulla tavoletta anche il reticolato in modo da metterne in maggior risalto le relative  maglie.





Lo stesso Gattegno qualifica i geopiani fra i "sussidi multivalenti"; ad essi spetta infatti tale qualifica, sia per le molteplici possibilità di utilizzazione che offrono nell'insegnamento, sia per la ricchezza di situazioni pedagogiche che possono suscitare con il loro uso sistematico, non solo per la scoperta di proprietà nelle figure geometriche, ma anche per proporre e discutere problemi matematici in genere.

I geopiani a maglie quadrate non solo consentono, come si è detto, innumerevoli osservazioni di carattere geometrico sulle diverse figure poligonali, ma si dimostrano oltremodo validi anche per estendere il discorso a considerazioni di carattere metrico.

Con degli elastici colorati, tesi fra i diversi chiodi, si costruiscono figure geometriche piane che hanno il pregio di essere nitide e ben tracciate. Ad esempio, congiungendo tra loro due chiodi si ottiene un segmento; collegandone tre, fra loro non allineati, si ottiene un triangolo; tendendo opportunamente gli elastici tra quattro chiodi non allineati si ottiene un quadrilatero e, variandone la disposizione, si possono ottenere tutti  i tipi di quadrilateri: quadrati, rombi, rettangoli, parallelogrammi, trapezi, deltoidi ecc.





Facendo poi ruotare la tavoletta, che, in genere, è fissata nel suo centro ad un perno girevole, si otterranno le stesse figure, ma in posizioni diverse, per cui si potrà arrivare al concetto di "classe di congruenza".

Già sul geopiano a maglie quadrate più semplice, cioè quello con soli nove chiodi, possono essere proposte agli alunni situazioni interessanti che li obbligano a ragionare e a trarre delle conclusioni. Ad esempio:

1. costruire la figura simmetrica di una data rispetto ad un asse.




2. Descrivere come sono, tra loro, le figure rappresentate.



3. Determinare l'area, rispetto ad una unità di misura assegnata.




4. Ruotare la tavoletta: si ottiene la "classe di congruenza" (infiniti triangoli congruenti a quello dato).


Con un geopiano a 16 chiodi si può illustrare il teorema di Pitagora generalizzato o teorema di Carnot.





Con un geopiano a 25 chiodi si possono costruire molti angoli,  due a due adiacenti e quindi supplementari; oppure introdurre i primi concetti sul piano cartesiano, limitandone la trattazione al primo quadrante ed ai "punti interi" del medesimo.




Un esercizio, che potrebbe suscitare molto interesse ed una vivace discussione fra gli alunni, è quello che propone loro di determinare il numero degli angoli formati da semirette uscenti dall'origine dei semiassi ortogonali cartesiani.

Si può osservare che:

1. i due semiassi e nessuna altra semiretta formano 1 angolo.




2. I due semiassi e una semiretta formano 3  cioé  1 + 2 angoli.




3. I due semiassi e due semirette formano 6 cioè  1 + 2 + 3 angoli.




4. I due semiassi e tre semirette formano 10  cioè  1 + 2 + 3 + 4  angoli.




5. I due semiassi e quattro semirette formano  15  cioè 1 + 2 + 3 + 4 + 5  angoli.




E così via, arrivando, con un procedimento di tipo induttivo, a concludere che, in generale:

il numero di angoli che i due semiassi ed n semirette formano, è dato da

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n + (n + 1) = (n + 2) (n + 1)/ 2

Osservando la successione numerica ottenuta quando si calcola il numero degli angoli che si formano, aumentando, di volta in volta, il numero delle semirette disegnate internamente ai semiassi, si possono fare delle importanti considerazioni.

Tale successione numerica presenta, infatti, una curiosa caratteristica:

"La differenza tra ogni termine ed il precedente è un numero naturale e la successione di tale differenza forma proprio la successione dei numeri naturali".

Si ha, infatti,:

1. successione del numero degli angoli

1     2     3   4     5     6    7...

2. Successione delle differenze 

0    1    3    6    10    15    21    28 

Nel secondo articolo, che seguirà, si proporrà agli alunni un esercizio analogo, ricercando il numero delle diagonali di un poligono.



Le immagini in colore sono state da me realizzate con il software GeoGebra.

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Rif. bibliografici (e per le due figure in bianco e nero):  Sull'apprendimento della matematica a livello di scuola media, a cura di Carmela Gasperi.