Scivolamento Del Palo Con L'Integrazione Del Diagramma Di Argilla

Ragazzi, vi propongo una nuova applet realizzata con GeoGebra da Marco, che questa volta ha raccolto una seconda sfida lanciata da Aldo Bonet in un commento al precedente post "Il Millenario Problema Dello Scivolamento Del Palo E  Il Teorema Di Pitagora".

La sfida consiste nel completare l'applet del citato post, costruendo sul palo il diagramma di argilla a modulo quadrato per  farlo scivolare contemporaneamente al palo stesso. In tal modo, saranno evidenziati sia il variare dei quadrati costruiti sui cateti che il variare sincrono (e conseguente) delle dimensioni dei rettangoli interni che lo compongono. 

Il riferimento per la costruzione dell'applet si trova in "Genesi del teorema di Pitagora", nella seconda tavola di pag. 21, riportata qui di seguito.

Segue un'immagine esportata dall'applet di Marco.

Come potrete osservare nell'applet, il quadratino interno (color rosa) di lato (X-Y) [dove  (X-Y) esprime la differenza tra le lunghezze dei due lati dei rettangoli componenti il diagramma di argilla] si ingrandirà o rimpicciolirà a causa del variare dello scivolamento. Osservate con attenzione il variare dell'area gnomonica.

Avviare l'applet sullo scivolamento del palo con l'integrazione del diagramma di argilla.

Aggiornamento

Aggiorno il post con il commento di Aldo Bonet.

Ciao Annarita, ben tornata.

Vorrei fossero inserite alcune immagini al fine di confrontarle con l’applet di Marco.

Marco ha accolto la mia sfida (non facile), rispondendo con un ottimo applet esplicativo.

Sono rimasto emozionato nel vedere la tecnologia di Gegebra che ha preso forma e dinamicità nelle mani del bravissimo Marco; ho potuto vedere agevolmente ciò che, con fatica, ho sempre tentato di spiegare mediante la staticità della carta, come tu hai evidenziato con la mia tavola sul criterio di rotazione del quadrato (frecce, freccine verticali, orizzontali, in movimento ecc).
Da ciò scaturisce la mia ferma convinzione che il diagramma di argilla è stato smontato e trasferito in bidimensionalità da Pitagora e dalle sue scuole per essere adattato all’epoca, con il solo uso di riga e compasso, al più “moderno” papiro (l’internet dell’antichità), poiché esso evidenziava la stessa difficoltà nell’esprimere una fedele rappresentazione grafica tridimensionale e dinamica del diagramma di argilla babilonese, che, invece, le rinomate scuole mesopotamiche mantenevano in atto, con la loro tecnica empirica e artigianale.
Questa, se pur definita da Platone più appartenente ai comuni e rozzi operai, era, invece, molto più vicina alle attuali modellazioni tecnologiche e ciò grazie allo spostamento rigido dei vari pezzi di argilla, effettuato mediante equiscomposizioni, equicomposizioni, equisovrapposizioni, rotazioni, traslazioni, ribaltamenti ecc., che mal si conciliavano, purtroppo, con la staticità grafica del papiro.

1) Nell’applet di Marco, impostando le prime due spunte (Muro e pavimento, Diagramma di argilla) e facendo scivolare il palo, si può vedere il critero di rotazione o scivolamento del quadrato che ha generato il problema dello scivolamento del palo o della canna e non viceversa. Togliendo/ impostando più volte la spunta relativa al Diagramma di argilla, la cosa ci apparirà molto chiara. Far scivolare un quadrato era equivalente a far scivolare il suo lato, un lato che all’epoca (prima di Pitagora) era ancora visto come una striscia con spessore, una concezione che ha facilitato l’idea sostitutiva del palo o della canna. Chi conosceva il problema dello scivolamento del palo, conosceva il criterio dello scivolamento del quadrato e, quindi, il diagramma di argilla a modulo quadrato.

2) Muovendo il palo, si osserverà il rimpicciolimento e l’ingrandimento al limite del quadrato centrale ( X-Y): un concetto prescientifico di “limite” che andava così ad assumere consapevolezza. I babilonesi lo potevano rilevare con una iterazione all'interno di un quadrato disegnato su una tavoletta di argilla oppure con la sovrapposizione (a mo’ di torre di babele) di pezzi quadrati in argilla.

3) Eguagliando i valori di X e Y , X=Y, ovvero portandoli nell’applet di Marco ad un valore di circa 21,22 si osserverà una cosa interessante: scompare il quadrato (X-Y) e i lati dei rettangoli si conformano in quattro identici quadrati; l’immagine geometrica risulterà identica a quelle riscontrate sulla tavoletta BM 15285 con i relativi problemi esposti, vedere nella Fig. 3, estratta dal mio lavoro, pubblicato su Periodico di Matematiche n° 3, 2008 a pag. 39, Il diagramma di argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l’intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla cultura matematica delle civiltà arcaiche:


PROBLEMI GEOMETRICI BABILONESI RICONDUCIBILI AL SUPPOSTO CASO LIMITE X = Y

                                       TAVOLETTA BM 15285

4) L’area gnomonica, identica all’area del quadrato costruito su uno dei due cateti (nel caso dell’applet di Marco sarà Y), è fondamentale per la risoluzione dell’antico problema del palo in quanto figlia della regola generale Babilonese, tra la diagonale e i lati di un mattone rettangolare qualsiasi, che serviva  allo scriba per delineare i passaggi empirici, risolutivi del problema, che erano collegati al diagramma di argilla.

Vedere di seguito il mio allegato 11, presente a pag. 66 del Periodico di Matematiche n° 3, 2008.