CHAOS| Un'Avventura Matematica

"CHAOS |Un'avventura Matematica" è un film in nove capitoli, della durata di tredici minuti ciascuno, che parla di Matematica alla portata di un vasto pubblico! Gli argomenti spaziano dai sistemi dinamici, all'effetto farfalla e alla teoria del caos.

Il film è stato prodotto da Jos Leys, Étienne Ghys e Aurélien Alvarez ed è distribuito sotto licenza Creative Commons.

Primo capitolo: Moto e determinismo

Il primo capitolo di Chaos inizia riprendendo una delle idee principali della filosofia di Eraclito d'Efeso, vissuto alla fine del VI secolo a.C. L'essere è eternamente in divenire, le cose non hanno consistenza e tutto muta incessantemente: tutto diventa tutto, tutto è tutto. I primi minuti di questo film illustrano idea del "panta rei" con alcuni esempi provenienti dalla vita quotidiana, e con altri  dal mondo matematico.

Secondo capitolo: Campi vettoriali | La corsa dei LEGO

Alla fine del XVII secolo, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1643-1727) mettono a punto, indipendentemente, uno strumento matematico prodigioso: il calcolo infinitesimale (o calcolo differenziale e integrale). Si tratta in qualche senso di una sfera di cristallo incredibilmente efficace per prevedere l'avvenire, dal momento che il moto di un sistema è governato da un'equazione differenziale. Questo secondo capitolo di Chaos è in qualche modo un'introduzione al calcolo integro-differenziale nel mondo dei LEGO.





Terzo Capitolo: Un po' di Meccanica | La mela e la luna
La fisica fu a lungo dominata dal pensiero d’Aristotele. Come ricorda il film, "Ogni oggetto ha il suo posto che gli è proprio e se lo si sposta da lì, fa quel che può per ritornarvi. Tutto ciò che ci circonda cerca il suo equilibrio naturale. Una mela tende ad andare verso il basso poiché è la sua natura. La Luna gira attorno alla Terra perché è la sua natura."
Si è dovuto aspettare l'avvento del XVII secolo: da allora abbiamo avuto una serie di lavori di un gran numero di scienziati, in particolare di Galileo (1564-1642) sulla caduta dei corpi, e di Newton (1643-1727) che immagina la legge della gravitazione universale.



Quarto capitolo: Oscillazioni | L'altalena
Come descrivere un pendolo che oscilla? La posizione del pendolo è descritta da un numero, l'angolo che esso crea con la verticale. Per quel che riguarda la velocità del pendolo, essa è descritta da un numero, il cui segno ci indica il senso dell'oscillazione. Senza gli attriti dell'aria, il pendolo oscillerebbe all'infinito, osservazione di cui Galileo (1564-1642) prende coscienza già nella sua più giovane età. Ma a causa di questi famigerati attriti - non ci stupiamo troppo - dopo un po', il pendolo tende a non muoversi più...



Quinto capitolo: Biliardi | Il toro di Duhem
Per attaccare un problema così complesso come quello del moto dei corpi celesti, è ben ragionevole cominciare con lo studiare delle situazioni molto semplificate. Se il moto di una pallina che rotola senza attrito in una scodella non pare troppo duro da capire, ma è tutta un'altra storia se la scodella è un po' abbozzata... Sì, il moto diventa improvvisamente molto complicato.
All'inizio del XX secolo, il filosofo della scienza Pierre Duhem (1861-1916) si diletta nel presentare l'opera del matematico Jacques Hadamard (1865-1963), pubblicata nel 1898 in un articolo intitolato Sur les géodésiques des surfaces à courbures opposées, in un modo fantasioso: lanciamo una pallina che ora rotola senza attrito sulla fronte di un toro al quale abbiamo allungato le corna all'infinito. Che idea stramba!



Sesto capitolo: Caos e ferro di cavallo | Smale a Copacabana
Il sesto capitolo di Chaos comincia con lo spiegare una vecchia idea di Henri Poincaré (1854-1912). Quando studiamo un campo vettoriale nello spazio, può succedere di trovare un piccolo disco tale che ogni traiettoria incontra questo disco infinite volte. Invece di studiare la totalità di una traiettoria nello spazio, ci accontentiamo di studiare la successione di punti contenuti nel piccolo disco. Spesso, lo studio è molto più semplice: siamo passati da una dinamica a tempo continuo a una dinamica a tempo discreto.



Settimo capitolo: Attrattori strani | L'effetto farfalla
Nel 1963, Edward Lorenz (1917-2008), che si interessava al problema della convezione nell'atmosfera terrestre, semplificò drasticamente le equazioni di Navier-Stokes della meccanica dei fluidi, rinomate per la loro inestricabile complessità. Il modello atmosferico di Lorenz è ciò che i fisici chiamano modello-giocattolo: sebbene non abbia molto a che vedere con la realtà, Lorenz non tardò a rendersi conto che si trattava di un modello matematico interessantissimo. Le equazioni di Lorenz fanno intervenire giusto tre numeri x, y e z, in modo che ogni punto (x, y, z) dello spazio simbolizzi uno stato dell'atmosfera e l'evoluzione consista nel seguire un campo vettoriale.



Ottavo capitolo: Statistiche | Il mulino di Lorenz
Lo scopo di questo penultimo capitolo di Chaos è dimostrare che esiste un approccio positivo e costruttivo riguardo alla dipendenza sensibile alle condizioni iniziali. È il vero messaggio di Lorenz (1917-2008) che, sfortunatamente, è poco conosciuto tra il grande pubblico.
"In maniera più generale, propongo che con lo scorrere degli anni, le piccole modificazioni né aumentano, né diminuiscono la frequenza degli eventi climatici come gli uragani. La sola cosa che possono fare, è modificare l'ordine nel quale questi eventi si riproducono."


Nono capitolo: Caotico o no? | La ricerca di oggi
Ci sono molti tipi di dinamiche. Alcune sono complicate, altre no. Per capire meglio tutto ciò, possiamo partire da un campo vettoriale nello spazio che dipende da un parametro e fare evolvere questo parametro. Ora la dinamica è semplice, ora diventa complicata. Come capire queste biforcazioni? Qual è il comportamento più frequente in natura?

English version of CHAOS, here: http://www.youtube.com/playlist?list=PLw2BeOjATqruoac7tS6Clnn-mpxlRkXfV