0,999999999...= 1, Una Storia Di Confine

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"0,999999999...= 1, Una Storia Di Confine" è il secondo contributo con cui partecipo alla seconda edizione del Carnevale della Letteratura, che sarà ospitata il 3 agosto da Spartaco Mencaroni sul suo blog.

Il primo contributo è invece una poesia dal titolo "Eterna Luce: Ai Confini Tra Scienza E Poesia", che potete leggere qui.

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Clelia non riusciva ad addormentarsi. Con le palpebre fortemente serrate, tentava di attenuare gli intensi bagliori dei lampi che illuminavano la stanza, penetrando attraverso le fessure delle persiane. Così, per vincere l’inquietudine che immancabilmente l’attanagliava, quando era in atto un temporale, cominciò a passare in rassegna gli eventi della giornata.

0,999999999…= 1?

Il prof. Gabriele, quella mattina, aveva stampigliato sulla lavagna (è il caso di dire bianco su nero), con fare sornione, quella che si presentava come una improbabile uguaglianza. Ai ragazzi l’onere  e l’onore, come suol dirsi in tali occasioni, di sciogliere il punto di domanda.

0,999999999…Nessun dubbio che si trattasse di un numero decimale illimitato periodico semplice, di periodo 9. Ma poteva essere uguale a 1? Non era forse un numero decimale con infinite cifre decimali pari a 9?

Clelia si affannava, senza successo, nell’organizzare un ragionamento coerente. Il numero in questione, che a suo parere non aveva proprio  nulla di razionale, si dilatava indefinitamente con l’interminabile coda di 9 in una sarabanda di simil cifre ora ondeggianti, ora avvolgentisi in riccioli di una spirale beffarda, ora crescenti progressivamente in dimensione.

“Basta!”- disse fra sé e sé- “Provo ad applicare la regoletta per ottenere la frazione generatrice e vediamo cosa succede.”

0, 999999999…= 0, (9) = (9 – 0)/ 9 = 9/ 9 = 1

Troppo facile! E poi quella regoletta, che funzionava senza che ne avesse compreso la ragione, non l’aveva mai convinta sino in fondo.  Men che meno in questa situazione. Bisognava percorrere altre vie.

Immersa nelle sue elucubrazioni, le era sfuggito che il temporale aveva sfogato la sua furia, allontanandosi verso altre regioni del cielo. Tutto era pace intorno: una coraggiosa civetta si era avventurata ad esternare il suo verso, che, seppur non grazioso, testimoniava la ristabilita “normalità” della Natura. Le fronde degli alberi sussurravano garbatamente le une alle altre un antico messaggio di scampato pericolo.

Una nuova idea si fece strada nella mente di Clelia: “Vediamo un po’. Provo a pensare che x = 0,(9); se moltiplico entrambi i membri dell’uguaglianza per 10 (sì prof. Gabriele sto applicando il secondo principio di equivalenza), ottengo che  10 x = 9,(9). Sottraggo, quindi, la prima dalla seconda uguaglianza 10 x –x = 9,(9) - 0,(9). Nella sottrazione spariranno le infinite cifre decimali, risultando banalmente 9 x = 9. A questo punto è fatta! Semplifico per  9, ottenendo x = 1 e, poiché inizialmente ho supposto
x = 0,(9), è papale che 0,(9) = 1”.

Mica male la piccola! Chiunque, o quasi, sarebbe stato soddisfatto del risultato, ma non Clelia. L’irriducibile ragazzina pensava, infatti, che il vero problema consisteva nel comprendere che cosa fosse in realtà 0,999999999…Insomma si profilava all’orizzonte un enigma in piena regola!

Finalmente, Morfeo la accolse, pietoso, tra le sue generose braccia, ma 0,999999999…la inseguì anche nel sonno, ora assumendo le sembianze di una scala a chiocciola in cui  la “gamba” del 9 si attorcigliava ripetutamente su se stessa attorno alla “testa”, che sprofondava in un abisso buio ribollente…di nulla, ora assumendo l’aspetto di una immensa stanza bianca dalle pareti curve a mo’ di cilindro, non chiuse bensì  avvolte ricorsivamente attorno ad un nucleo centrale, in cui veniva a trovarsi isolata da tutto.
E fu proprio mentre cercava di trovare una via di uscita dalla stanza-cilindro, avventurandosi nel circolo spiraliforme, apparentemente senza fine, delle sue pareti, che vide comparire, sulla nona curva della spirale fatta di bianchi mattoni, due serie numeriche:

0,0 – 0,1 – 0,2 - 0,3 – 0,4 – 0,5 – 0,6 – 07 - 0,8 - 0,9 – 1,0

0,(0) – 0,(1) – 0,(2) - 0,(3) – 0,(4) – 0,(5) – 0,(6) – 0,(7) - 0,(8) - 0,(9) 

Si fermò perplessa ad osservare le due serie di numeri, reclinando leggermente il capo sulla spalla destra, come era solita fare quando voleva concentrarsi. Apparentemente, le due serie presentavano lo stesso punto di partenza, ma, mentre i numeri della prima aumentavano progressivamente di 0,1 ovvero 1/10, quelli della seconda serie aumentavano di 0,(1) ovvero 1/(9). 

“Dove intende andare a parare tutto ciò?”- farfugliò Clelia tra sé e sé- “Nella prima serie, ci sono 11 numeri e 10 incrementi, che danno 1 come risultato finale, mentre nella seconda osservo 10 numeri e 9 incrementi che danno…? 

Aspetta un attimo…ci sono!

1/9 è leggermente più grande di 1/10, per l’esattezza 1/9 = 1/10 + 1/90. Ora gli incrementi della seconda serie sono in tutto 9 e valgono ciascuno 1/9, perciò in totale si avrà che 9 (1/10 + 1/90) = 1. Incredibile, ma vero: le due serie di numeri danno come risultato entrambe 1. Pertanto, trovo come risposta che 0,999999999…= 1.
Ma perché non sono ancora definitivamente convinta?”

La mattina successiva, la nostra eroina si svegliò di buon’ora, appena in tempo per veder sorgere il Sole ad Oriente. Spalancò le persiane ed un odore pungente di terra bagnata, mescolato agli effluvi aromatici della salvia e del rosmarino, le arrivò alle narici. Inspirò profondamente sino ad avvertire una lieve vertigine e, afferrate carta e penna, vergò nervosamente le tre soluzioni pensate o sognate durante la notte.

0,999999999…= 1 le mulinava nella testa. Ma perché le rimaneva il retrogusto acre dell’incompiutezza? “Perché il limite della successione è uguale ad 1”- le suggerì una vocina. Si guardò attorno senza vedere altro che la sua immagine riflessa nello specchio.

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Lasciamo la piccola Clelia ai suoi pensieri, per fare alcune considerazioni. I tre procedimenti, emersi nel racconto, sono in realtà delle giustificazioni intuitive del risultato 0,999999999…= 1. Ce ne sono diverse di analoghe. Interessante, ad esempio, è il calcolo che  si ritrova ne Il Mago dei numeri di H.M.Enzensberger:

è  immediato notare che 1:3 = 1/3 = 0,333333333…= 0, (3)

ed altrettanto immediato che (1/3) x 3 = 1

da cui

1= 0,333333333...×3 = 0,999999999...

È , comunque, indiscutibile che il problema presenti delle difficoltà.

Per una soluzione che soddisfi i palati matematici, suggerisco la consultazione dell’articolo, in lingua inglese, “Why is 0.9999... = 1?”, di cui riporto un estratto:

In modern mathematics, the string of symbols 0.9999... is understood to be a shorthand for "the infinite sum 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...''. This in turn is shorthand for "the limit of the sequence of real numbers 9/10, 9/10 + 9/100, 9/10 + 9/100 + 9/1000, ...''. Using the well-known epsilon-delta definition of the limit (you can find it in any of the given references on analysis), one can easily show that this limit is 1. The statement that 0.9999... = 1 is simply an abbreviation of this fact.

Nel citato articolo, troverete, insieme ad altro, il calcolo del limite della successione, suggerito da una vocina ignota alla piccola Clelia, alla fine del racconto.

NOTA:

Consiglio anche la lettura di questo splendido articolo (cliccare sul testo in colore) di Leonardo Petrillo, in cui viene trattata la dimostrazione dell'uguaglianza basata sulla serie geometrica.