Spira Mirabilis, La Spirale Meravigliosa

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Dialogo, da me fantasiosamente concepito, tra il Maestro ed il suo discepolo Lucio sulla celebre Spira Mirabilis o spirale meravigliosa. Che cos'è, che cosa non è? Leggete il seguito se avete un minimo di curiosità al riguardo... ;)

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"Maestro, mi racconti la storia della spirale meravigliosa?"- chiese Lucio mentre seguiva, con l'indice destro, la forma a spirale della conchiglia fossile di Ammonite, che sorreggeva nel palmo della mano sinistra.

"Vorresti conoscere la storia della Spira Mirabilis, dunque? È  una lunga storia. Troviamo un posto tranquillo"- e, così dicendo, il Maestro indicò un grosso olmo dalla folta chioma, attorno al cui tronco era disponibile, a mo' di sedile, una grande aiuola a gradinata. Era una splendida giornata di fine primavera e i dardi di luce preannunciavano l'estate ormai incipiente. Si sedettero sull'ultimo gradino dell'aiuola, all'ombra del grande albero, rimanendo in silenzio per alcuni minuti. Si percepiva soltanto il fruscio delle foglie agitate dalla leggera brezza mattutina, che, spirando dal vicino mare, accarezzava le narici con un sentore di salsedine.

"Una lunga storia? Quanto lunga?"- replicò Lucio, con un tono tra l'incredulo ed il preoccupato.

"Una storia che ha l'età dell'Universo! Non devi, però, essere preoccupato perché non ho l'intenzione di prenderla così alla lontana. Voglio con ciò significare che la Spira Mirabilis è particolarmente amata dalla Natura, potendola ritrovare in molte forme di vita sia animale che vegetale e persino nei vortici e uragani terrestri come nelle spirali galattiche. Sembra quasi che la sua meravigliosa geometria sia stata scelta quale ornamento preferito da Madre Natura, che in fondo è femmina." 

Uragano Isabel, a sinistra, e Galassia M51, a destra

"Ma su questo aspetto ritorneremo più avanti. Adesso parliamo un po' di Storia e di Matematica circa questa celebre curva che, dal punto di vista matematico, è una spirale logaritmica. Sembra che per la prima volta sia stata studiata da René Descartes nel 1638. Hai presente a chi mi sto riferendo?"

"Certamente! Non si tratta di colui che si è servito di un metodo denominato scetticismo metodologico? "Cogito ergo sum" è la locuzione con cui egli esprimeva la certezza indubitabile che l'uomo ha di se stesso in quanto soggetto pensante. Dico bene?"
L'interesse di Lucio era piuttosto evidente. Il ragazzo, balzato in piedi, iniziò a percorrere ripetitivamente, avanti ed indietro, lo spazio antistante l'aiuola, con le mani incrociate nervosamente dietro la schiena.

"Sì, non ti sbagli! Ma "l'iniziatore del pensiero moderno", secondo Hegel, fu anche un grande matematico! La spirale logaritmica, o equiangolare, fu dunque studiata originariamente da lui."- proferì il Maestro dopo una breve pausa, come soppesando le parole del suo discepolo.

"D'accordo, d'accordo! Ma proseguiamo. Perché logaritmica e perché equiangolare?"

"Provo a rispondere alle tue domande.

Una spirale equiangolare è definita come una curva che taglia tutti raggi vettore con un angolo costante.

In termini più matematici:

1. consideriamo una spirale (cioè, qualsiasi curva r = f(θ) dove f è una funzione monotòna crescente o decrescente).

2. Da qualsiasi punto P sulla spirale, tracciamo una linea verso il centro della spirale. Questa linea è chiamata vettore radiale.

3. Se l'angolo, formato dal vettore radiale e la tangente per ogni punto P, è costante, la curva è una spirale equiangolare.

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Un caso particolare di spirale equiangolare è il cerchio, dove l'angolo costante è di 90°.


In questo schizzo, puoi vedere una spirale equiangolare, con un angolo costante pari a 85°"

E così dicendo, il Maestro tracciò nella polvere, con un bacchetto appuntito, una forma geometrica proporzionata e molto bella. Lucio fissava stupito ed ammirato quella magica curva spirale che sembrava dipanarsi senza né un inizio né una fine, verso e dal suo polo, eseguendo infinite evoluzioni e sempre somigliante a se stessa! Una riflessione ad alta voce gli sfuggì spontanea:

"Sembra che la spirale sia identica a se stessa anche crescendo...e che non raggiunga mai il suo polo!"

"Esattamente! La spirale logaritmica è proporzionale perché ciascuno dei suoi raggi vettori è più ampio del precedente, mantenendo un rapporto costante, in modo che la curva non cambia forma nel crescere. Le distanze tra le spire aumentano secondo una progressione geometrica; inoltre, la spirale non riesce a raggiungere mai il suo polo perché il centro è un punto asintotico! Se si potesse effettuare un ingrandimento verso il centro, potremmo osservare infinite spirali uguali a se stesse, in scala ridotta. Si rileva lo stesso comportamento, procedendo dall'interno verso l'esterno. In sintesi, le dimensioni della curva aumentano, ma essa rimane sempre identica a se stessa. Una proprietà chiamata autosomiglianza, che si ritrova anche nel magico mondo dei frattali!

Per tale comportamento, Jacob Bernoulli la definì Spira mirabilis. E se ne invaghì al punto tale da volere che essa fosse scolpita sulla sua tomba accanto alla frase “Eadem mutata resurgo” (“Risorgo uguale eppure diversa”), a significare l'autosomiglianza prima citata".

"Quindi il nome Spira mirabilis è dovuta a Bernoulli, quello della legge dei grandi numeri! Beh, non mi meraviglio affatto del suo "innamoramento", concepito per una curva matematica...Questi matematici non vedono altro!"- Lucio scuoteva la testa con fare perplesso, ma, in realtà, la sua curiosità era cresciuta esponenzialmente. Incalzò, pertanto, con una domanda che gli pungeva la punta della lingua: "Questa spirale meravigliosa avrà pure una formula, immagino."

"Ovviamente! In coordinate polari (r, θ), la sua equazione è:

r = ae^bθ

oppure

θ = 1/b * ln (r/a)

da cui si comprende la denominazione "logaritmica"...mi auguro! Infatti, l’angolo tra il raggio vettore e l’asse polare è proporzionale al logaritmo della lunghezza del vettore stesso. 

Nella formula, e è la base dei logaritmi naturali,  r esprime la distanza dall'origine, mentre a e b sono due costanti reali arbitrarie. In particolare, modificando a si ottiene una rotazione della spirale e la variazione delle sue dimensioni, mentre agendo su b si controlla quanto è stretta e, contemporaneamente, la direzione in cui si avvolge.

La spirale logaritmica può essere costruita da raggi equidistanti, iniziando in un punto lungo un raggio, e disegnando la perpendicolare ad un raggio vicino. Avvicinandosi all'infinito il numero di raggi, la sequenza di segmenti ottenuti approssima la spirale logaritmica."

La punta del bacchetto roteava, sotto l'abile guida del Maestro, mentre incideva velocemente la morbida polvere, da cui fioriva la forma della spirale. Il ragazzo era completamente conquistato oramai. Fissando quasi ipnotizzato il vortice spiraliforme, la sua mente galoppava nello spazio siderale, immaginando nebulose e galassie lontane migliaia e milioni di anni luce.

Galassia Ngc  7331, nella costellazione di Pegaso distante 50 mila anni luce
Crediti: NASA

"Hai ragione: l'innamoramento di Bernoulli è comprensibilissimo! Peccato che l'amata spira non poté vegliare sulla sua pietra tombale a causa della presunta ignoranza o disattenzione dello scalpellino, che, invece, incise una perfettamente uniforme spirale archimedea!"

Le parole del Maestro fecero sussultare Lucio, distogliendolo dal suo sogno ad occhi aperti. Il sole era ormai alto nel cielo; probabilmente era quasi l'ora di pranzo, ma né il ragazzo né il vecchio saggio sembravano avvertire la stanchezza e i morsi della fame, completamente assorbiti dalle loro speculazioni.

Epitaffio di Jacob Bernoulli

"Una spirale archimedea al posto della spirale logaritmica? Non ci posso credere...quasi una beffa per Bernoulli! In che cosa si differenzia la prima dalla seconda?"

"La spirale di Archimede si distingue dalla spirale logaritmica per il fatto che i bracci successivi hanno una distanza fissa (uguale a 2πb; se θ è misurato in radianti), mentre nella spirale logaritmica le distanze seguono una progressione geometrica, come abbiamo visto.

In coordinate polari (r, θ), l'equazione della spirale archimedea è:

r (θ) = a + bθ

Tutte le spirali che possiamo ritrovare in natura sono logaritmiche e non archimedee."

Spirale di Archimede. Fonte immagine

Mezzogiorno era sicuramente passato da un pezzo poiché le ombre di alberi ed oggetti intorno erano diventate oblique. Si era fatto abbastanza caldo, ma un venticello, forse uno Zefiro, mitigava la calura, donando una piacevole sensazione ristoratrice alle membra. Un maggiolino, dalle inconfondibili elitre rosso-brune, volteggiava in cerca di cibo, preannunciando l'avvicinarsi del tramonto.

"Si è fatto tardi!" - proferì il Maestro- "I nostri rispettivi famigliari saranno in pensiero. Sarebbe meglio avviarsi verso casa."

"Ancora una domanda! Tempo fa abbiamo parlato della spirale aurea: ha forse qualche relazione con la spirale logaritmica?"

"Sì. La spirale aurea è un particolare tipo di spirale logaritmica. La sua equazione polare è infatti la stessa, ma con il valore di b uguale alla sezione aurea  φ = 1,6180339887..."

Reperita in rete

La spirale logaritmica può essere derivata dal rettangolo aureo e dal triangolo aureo.
In definitiva, innumerevoli sono le sue proprietà e ci sono, inoltre, interessanti curve ad essa correlate: curva di Pursuit, curva catacaustica,  evoluta,  involuta, radiale, pedale, e altre ancora."

Curva di Pursuit

"Indubbiamente merita l'attributo di meravigliosa! Un'altra domanda e poi basta davvero. Perché la Natura ama la spirale logaritmica? C'è una ragione precisa per tale predilezione?"

Si era fatto buio. Le ombre dense, calate in maniera impercettibile, erano interrotte a tratti dalla luce dei lampioni. Figure si affannavano per raggiungere la propria casa o una meta. Un gatto ed un cane si rincorrevano rumorosamente nella vicina strada, suscitando le proteste di un solitario viandante, che sembrava non avere fretta.

Il Maestro tacque per un lungo istante, prima di riprendere la parola. Sembrava fissare un punto lontano, forse un luogo a lui noto, dove poter attingere la conoscenza. Lucio avrebbe dato molto per poter essere lì, ma si accontentava, al momento, della desiderata spiegazione, che non tardò ad arrivare.

"Osserva con attenzione le forme della natura e del paesaggio e potrai scoprire un po' ovunque spirali logaritmiche: nelle curve naturali di crescita di piante e conchiglie, nella celebre curva aurea dell'architettura e della matematica greca antica, nella curva ottimale per curve autostradali. Osserva in profondità un fiore o un cactus e vedrai  forme di spirali logaritmiche che si intersecano le une con le altre. E poi ancora nell'embrione umano e nell'Universo. Perché? La risposta dovresti trovarla da solo...comunque queste tendenze, e non regole, della Natura verso la spirale logaritmica potrebbero essere spiegate dalle proprietà di auto-similitudine, di crescita con continuità e di ottimizzazione, che questa bellissima curva rivela."

In geometria, una spirale aurea è una spirale logaritmica il cui fattore di crescita è φ, il rapporto aureo. Cioè, una spirale aurea si allarga di un fattore φ per ogni quarto di giro che fa.

Spirali logaritmiche si  possono osservare anche nella disposizione dei semi sui capolini (infiorescenze). Ecco uno schema di come potrebbero apparire  quelli di un girasole, o una grande margherita, se ingranditi. Il centro è contrassegnato da un punto nero.

[Osservando l'immagine sopra, si può vedere che i semi sembrano formare spirali che curvano sia a sinistra che a destra. Se si contano le curve di semi tendenti verso destra, sul bordo dell'immagine, si trova che sono 34. Quante sono le curve di semi che tendono verso sinistra? Vedrete che questi due numeri sono vicini nella successione di Fibonacci.]

[Lo stesso accade nelle infruttescenze reali, in natura. Il motivo sembra essere l'impacchettamento ottimale dei semi dato che, non importa quanto grande sia l'infruttescenza, essi risultano impacchettati uniformemente, tutti i semi essendo della stessa dimensione: non affollati al centro e non troppo scarsi ai bordi. Se si contano le spirali vicino al centro, in entrambe le direzioni, si troveranno i numeri di Fibonacci. Altri approfondimenti qui]

"La curiosità di Lucio non si era ancora placata. Tante erano ancora le domande che avrebbe voluto rivolgere al suo Maestro, ma capiva di non poter abusare della  pazienza di questi. Pertanto, si incamminò rassegnato dietro di lui, trascinando con sé la propria ombra. Sollevò gli occhi in direzione del cielo tempestato di stelle, pensando di trovarsi al n.3 del Sistema Solare, in un braccio di spirale, avente andamento logaritmico a partire dal latteo Centro Galattico, dal cuore nero."

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“Vedere un mondo in un grano di sabbia
e un universo in un fiore di campo,
possedere l’infinito sul palmo della mano
e l’eternità in un’ora."
William Blake (1757-1827)
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Altre fonti consultate ed approfondimenti suggeriti

Fibonacci Numbers and Nature

A Lesson on The Root Spiral

MATH 7200-Foundations of Geometry: Spira Mirabilis

La spirale meravigliosa (tesina di Lucio De Fusco)