Simmetria, L'Enigma Della Realtà

"Simmetria, L'Enigma Della Realtà" è un talk del TED.

Il mondo ruota attorno alla simmetria: dallo spin delle particelle subatomiche alla vertiginosa bellezza di un arabesco. Ma c'è più di quanto non sembri a prima vista. Al TED, Marcus du Sautoy, matematico di Oxford, offre uno sguardo ai numeri invisibili che uniscono tutti gli oggetti simmetrici.



Il video dispone dei sottotitoli in lingua italiana. In ogni caso, riporto la traduzione del talk in lingua italiana, a cura del Ted translator Vincenzo Politi. La scrivente ha corretto diversi refusi ed operato vari interventi di tipo sintattico e lessicale per rendere più chiara la traduzione. I link inseriti e la formattazione in colore sono sempre a cura della scrivente.

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Il 30 Maggio 1832 si udì uno sparo risuonare per 13esimo arrondissement di Parigi. Un contandino, che quel giorno stava andando al mercato, corse nella direzione da cui era provenuto lo sparo e trovò un ragazzo che si contorceva in agonia, disteso, che era stato chiaramente ferito in un duello. Il ragazzo si chiamava Evariste Galois: noto rivoluzionario nella Parigi di allora. Galois venne trasportato all'ospedale locale dove morì, il giorno dopo, fra le braccia di suo fratello. Le ultime parole che rivolse a suo fratello furono: "Non piangere per me, Alfred, ho bisogno di raccogliere tutto il coraggio possibile per poter morire a 20 anni."

In realtà, non era la politica rivoluzionaria ciò per cui Galois era famoso. Qualche anno prima, mentre era ancora a scuola, era riuscito a risolvere uno dei più grandi problemi matematici del tempo. Scrisse agli accademici di Parigi, cercando di spiegare la sua teoria. Ma gli accademici non poterono capire nulla di ciò che aveva scritto. (Risate) Ecco come scrisse il più della sua matematica.

Perciò, la notte prima del duello, capì che quella era forse la sua ultima possibilità per cercare di spiegare la sua grande scoperta. Così rimase sveglio tutta la notte, scrivendo, cercando di spiegare le sue idee. Come giunse l'alba andò incontro al suo destino, lasciò ai posteri una pila di fogli sul tavolo. Forse è proprio perchè rimase sveglio tutta la notte a fare matematica che quel giorno fu un pessimo tiratore e rimase ucciso.

Ma contenuto in quei documenti c'era un nuovo linguaggio, un linguaggio per capire uno dei concetti fondamentali della scienza: la simmetria. La simmetria è il linguaggio della natura. Essa ci aiuta a comprendere i tanti diversi frammenti del mondo scientifico. Per esempio, la struttura molecolare. Comprendiamo quali cristalli possano esistere, tramite la matematica della simmetria.

In microbiologia non si vorrebbe avere a che fare con oggetti simmetrici visto che sono piuttosto cattivi. Il virus dell'influenza suina, al momento, è un oggetto simmetrico che usa l'efficienza della simmetria per potersi propagare così bene. Ma su una scala biologica più vasta, la simmetria è molto importante in quanto comunica l'informazione genetica.

Ho preso due fotografie e le ho rese artificialmente simmetriche. Se vi chiedessi quali di queste trovate più belle, probabilmente vi sentireste particolarmente attratti dalle due più in basso. Dato che la simmetria è difficile da creare, se riuscite a rendervi simmetrici, segnalerete all'esterno di avere buoni geni, una buona costituzione e quindi di poter essere buoni partner sessuali. Quindi la simmetria è un linguaggio che aiuta a comunicare l'informazione genetica.

La simmetria può anche essere d'aiuto per spiegare cosa sta succedendo nel Grande Collisore di Adroni del CERN o cosa non sta succedendo nel Grande Collisore di Adroni del CERN, per poter formulare previsioni sulle particelle fondamentali che vi potremmo vedere: sembra che siano tutte sfaccettature di qualche strana forma simmetrica in uno spazio sovra-dimensionale.

Penso che Galileo abbia definito elegantemente il potere della matematica per comprendere scientificamente il mondo attorno a noi. Egli scrisse: "L'Universo non può essere letto finché non ne abbiamo appreso il linguaggio e assunto dimestichezza con i caratteri mediante cui è scritto. Esso è scritto in linguaggio matematico, i cui caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza le quali sarebbe umanamente impossibile comprenderne una sola parola."

Ma non sono solo gli scienziati a essere interessati alla simmetria. Anche gli artisti amano giocare con la simmetria. Intrattengono con essa una relazione leggermente più ambigua. Thomas Mann parla della simmetria in un passaggio de "La Montagna Incantata", in cui un personaggio descrive un fiocco di neve. E dice che "rabbrividì per la sua precisione, la trovò mortale, la quintessenza della morte."

Ma ciò che agli artisti piace fare è allestire aspettative di simmetria, per poi frantumarle. Ne ho trovato un esempio meraviglioso visitando un mio collega in Giappone, il Professor Kurokawa. Mi portò ai templi di Nikko. Subito dopo aver scattato questa foto cominciammo a salire le scale. Il passaggio che vedete dietro ha otto colonne dai bellissimi disegni simmetrici sette sono esattamente gli stessi mentre l'ottavo è capovolto

Dissi al prof. Kurokawa "Wow, gli architetti devono essersela presa un sacco con loro stessi quando hanno capito di aver sbagliato e aver messo questo sottosopra". Lui disse: "No no no. E' stato un atto molto deliberato." Mi citò questo bellissimo passo dal libro Giapponese "Saggi sull'Ozio" del 14esimo secolo, nel quale, scrive il saggista: "In ogni cosa l'uniformità non è desiderabile. Lasciare qualcosa di incompleto lo rende interessante, e dà l'impressione che ci sia spazio per la crescita." Anche nella costruzione del Palazzo Imperiale, hanno sempre lasciato qualcosa di incompleto.

Eppure, se dovessi scegliere un palazzo al mondo da trasportare su un'isola deserta, e viverci il resto della mia vita, essendo dipendente dalla simmetria, probabilmente sceglierei l'Alhambra in Granada. Quello è un palazzo che celebra la simmetria. Recentemente ho portato la mia famiglia - facciamo queste strane gite matematiche, che la mia famiglia adora. Questo è mio figlio Tamer. Vedete quanto gli piace la nostra gita matematica all'Alhambra. Ma io volevo provare ad arricchirlo. Credo che uno dei problemi della matematica fatta a scuola è che non considera il modo in cui la matematica è contenuta nel mondo in cui viviamo. Così, volevo aprirgli gli occhi davanti a tutta la simmetria che pervade l'Alhambra.

Già la vedete. Subito appena entri c'è la simmetria riflessiva nell'acqua. Ma il bello è sulle pareti. Agli artisti Moreschi era negata la possibilità di dipingere entità animate. Così esplorarono un tipo di arte più geometrico. E quindi, cos'è la simmetria? L'Alhambra in un certo qual modo pone queste domande. Cos'è la simmetria? Si puo' dire che due di questi muri possiedono le stesse simmetrie? Possiamo dire che sono stati scoperti tutti i tipi di simmetria nell'Alhambra?

E' stato Galois a produrre il linguaggio per rispondere ad alcune di queste domande. A differenza di Thomas Mann, per il quale era qualcosa di immobile e mortale, per Galois la simmetria riguardava il movimento. Cosa puoi fare ad un oggetto simmetrico, in che modo muoverlo affinché appaia esattamente come era prima di averlo mosso? Mi piace descrivere ciò come mosse magiche. Cosa si può operare su qualcosa? Chiudete gli occhi.Io faccio qualcosa, poi rimetto di nuovo tutto a posto. Apparirà esattamente come prima.

Così, per esempio, i muri dell'Alhambra, potrei prendere tutte quelle piastrelle e fissarle sul punto giallo, ruotarle di 90 gradi, rimetterle di nuovo a posto e ci starebbero a pennello. Quando aprirete gli occhi non capirete che le ho spostate. Ma è il movimento che realmente caratterizza la simmetria dentro l'Alhambra. È importante produrre un linguaggio per descrivere tutto ciò. Spesso il potere della matematica consiste nel cambiare una cosa in un'altra, nel cambiare la geometria in linguaggio.

Quindi vi condurrò, e forse vi spingerò un po' matematicamente - tenetevi forte - vi spingerò un pochino verso la comprensione di come questo linguaggio funziona, il linguaggio che ci permette di catturare la simmetria. Prendiamo due oggetti simmetrici. Prendiamo la stella marina a sei punte. Cosa posso fare alla stella marina in modo che essa continui ad apparire la stessa? Allora, ruotandola di un sesto di giro, continua a sembrare tale e quale a prima. Avrei potuto ruotarla di un terzo, o di un mezzo giro, o risistemarla sulla sua figura, o muoverla di due terzi di giro. E, quinta simmetria, posso ruotarla di cinque sesti di giro. Queste sono cose che posso fare agli oggetti simmetrici per farli apparire uguali a com'erano prima.

Per Galois, in realtà esiste una sesta simmetria. Qualcuno sa dirmi cos'altro potrei fare a questo oggetto in modo da da lasciarlo come prima? Non posso capovolgerlo, perché ho messo una piccola vite, giusto? Non ha nessuna simmetria riflessiva. Ciò che posso fare è lasciarlo esattamente dove sta, prenderlo e rimetterlo giù di nuovo. Per Galois, questa era una specie di zero-simmetria. A dire il vero, l'invenzione del numero zero è molto moderna, intorno al settimo secolo d.C., a opera degli Indiani. Sembra una follia parlare del nulla. Questa è la stessa idea. Un'idea sulla simmetria: ogni cosa ha simmetria se lasciata dove sta.

Quindi, questo oggetto ha sei simmetrie. E il triangolo? Allora, posso ruotarlo di un sesto di giro orario o di un terzo di giro antiorario. Ma adesso c'è qualche simmetria riflessiva. Posso proiettarlo sulla linea che passa da X, o sulla linea che passa da Y, o sulla linea che passa da Z. Cinque simmetrie più, ovviamente, la zero-simmetria quando lo prendo e lo lascio là dove si trova. Ognuno di questi oggetti ha sei simmetrie. Sono convinto che la matematica non sia uno sport da spettatore, e anche voi dovete fare un po' di matematica in modo da capire davvero.

Ecco una domandina per voi. Darò un premio alla fine del mio discorso alla persona che si avvicina alla risposta giusta. Il Cubo di Rubik. Quante simmetrie ha un Cubo di Rubik? Quante cose posso fare a questo oggetto tale che continui a sembrare un cubo? OK? Voglio che pensiate a questo problema mentre proseguiamo, e che contiate quante simmetrie ha. Alla fine darò un premio alla persona che si avvicina di più alla soluzione.

Ma torniamo alle simmetrie di questi due oggetti. Galois realizzò che non sono solo le singole simmetrie ma anche il modo in cui esse interagiscono a caratterizzare realmente la simmetria di un oggetto. Se faccio una mossa magica, seguita da un'altra, la combinazione risulta in una terza mossa magica. Qui vediamo che Galois comincia a sviluppare un linguaggio per vedere la sostanza delle cose invisibili, il tipo di idea astratta della simmetria che soggiace a questo oggetto fisico. Per esempio, che succede se ruoto la stella marina di un sesto di giro e poi di un terzo di giro?

Mettiamo dei nomi. Le lettere A, B, C, D, E, F sono i nomi delle rotazioni. Per esempio, B è la rotazione del puntino giallo sulla B della stessa marina. E così via. Che succede se faccio B, che è un sesto di giro, seguito da C, che è un terzo di giro? Facciamolo. Un sesto di giro, seguito da un terzo di giro, l'effetto combinato risulta come se lo avessi solo ruotato di mezzo giro in un solo colpo. La tabella registra come funziona l'algebra di queste simmetrie. Faccio una cosa seguita dall'altra e ottengo D, mezzo giro. Cosa succede se seguo l'ordine inverso? C'è differenza? Vediamo. Facciamo prima un terzo e poi un sesto di giro. Ovviamente, non c'è nessuna differenza. Va a finire sempre come un mezzo giro.

C'è una certa simmetria sul modo in cui le simmetrie interagiscono. Ma questo è completamente diverso dalle simmetrie del triangolo. Vediamo che succede se facciamo due simmetrie col triangolo, una dopo l'altra. Facciamo una rotazione di un terzo di giro antiorario e proiettiamo sulla linea X. L'effetto combinato è come se avessi appena fatto una proiezione sulla linea Z tanto per cominciare. Adesso, seguiamo un ordine diverso. Facciamo prima una proiezione in X, seguita da una rotazione di un terzo di giro antiorario. Come effetto, ottengo che il triangolo finisce in un posto completamente diverso. È come se venisse proiettato lungo la linea Y.

In questo caso è importante in che ordine si compiono le operazioni. Questo ci consente di distinguere le simmetrie di questi oggetti - tutti e due hanno sei simmetrie. Allora perché non diciamo che hanno le stesse simmetrie? Per il modo in cui le simmetrie interagiscono - ora abbiamo un linguaggio per distinguere queste simmetrie come fondamentalmente diverse. Potete provarci anche voi quando andrete al pub, più tardi. Prendete un boccale di birra, ruotatelo di un quarto di giro, poi rigiratelo. Rifate la stessa cosa in ordine inverso, e il disegno sarà rivolto verso la direzione opposta.

Galois formulò alcune leggi sulle tabelle che descrivono l'interazione delle simmetrie. Una specie di piccole tabelle di Sudoku. Non c'è nessuna simmetria ripetuta due volte in ogni riga o colonna. Utilizzando queste regole, fu in grado di dire che ci sono solo due oggetti con sei simmetrie. Esse sono uguali alle simmetrie del triangolo o alle simmetrie della stella a sei punte. Ritengo che questo rappresenti un incredibile sviluppo. È quasi come il concetto di numero sviluppato per la simmetria. Qui di fronte ho una, due, tre persone sedute su una, due, tre sedie. Le persone sulle sedie sono molto diverse, ma il numero, l'idea astratta del numero, è il medesimo.

Ora possiamo rendercene conto: torniamo ai muri dell'Alhambra. Qui ci sono due muri molto diversi. Pitture geometriche molto diverse. Ma, usando il linguaggio di Galois, possiamo capire che le soggiacenti simmetrie astratte di queste cose sono in realtà le stesse. Per esempio, prendiamo questo splendido muro con i triangoli un po' curvati. Potete ruotarli di un sesto di giro, se ignorate i colori. Lasciamo perdere l'abbinamento dei colori. Le forme corrispondono se ruoto di un sesto di giro attorno al punto in cui tutti questi triangoli si incontrano. Che dire del centro di un triangolo? Posso ruotare di un terzo di giro attorno al centro di un triangolo, e tutto corrisponde. C'è un interessante punto intermedio lungo un margine, nel quale posso ruotare di 180 gradi. E tutte le piastrelle di nuovo combaceranno. Dunque ruotiamo lungo l'intermedio del margine, e di nuovo combaciano.

Andiamo ora a un muro molto diverso dell'Alhambra. Troviamo le stesse simmetrie con le stesse interazioni. Dunque, un sesto di giro. Un terzo di giro dove le 'zeta' si incontrano. E il mezzo giro è a metà strada fra le stelle a sei punte. E nonostante questi muri sembrino molto diversi, Galois ha prodotto un linguaggio per dire che le soggiacenti simmetrie sono in realtà esattamente le stesse. Questa simmetria la chiamiamo 6-3-2.

Ecco un altro esempio dell'Alhambra. Questi sono un muro, un soffitto e un pavimento. Sembrano molto diversi. Ma il nostro linguaggio ci permette di dire che sono rappresentazioni dello stesso oggetto simmetrico astratto, chiamato 4-4-2. Nulla a che vedere con il calcio, solo che ci sono due luoghi in cui puoi ruotare di un quarto di giro, e uno di mezzo giro.

Il potere di questo linguaggio è ancora superiore, perché Galois può chiedere: "Gli artisti Moreschi hanno scoperto tutte le simmetrie possibili sui muri dell' Alhambra?". Quasi. Puoi dimostrare, con il linguaggio di Galois, che in realtà ci sono solo 17 diverse simmetrie possibili sui muri dell'Alhambra. Se provi a produrre un muro diverso, questo diciottesimo avrà le stesse simmetrie di uno degli altri diciassette.

Possiamo ben vederlo. Il potere del linguaggio matematico di Galois ci permette di creare oggetti simmetrici nel mondo invisibile, oltre il bi-dimensionale, il tri-dimensionale, e così via, fino allo spazio a quattro, cinque o infinite dimensioni. Ed è qui che si svolge il mio lavoro. Io creo oggetti matematici, oggetti simmetrici, utilizzando il linguaggio di Galois, in spazi dimensionali di altissimo livello. Credo sia un esempio grandioso di cose invisibili che il potere del linguaggio matematico ci permette di creare.

Proprio come Galois, ieri sono stato sveglio tutta la notte creando un nuovo oggetto matematico simmetrico per voi. Ne ho una fotografia qui. Sfortunatamente, non è una vera foto. Se potessi avere la mia lavagna qui di lato, grande, eccellente. Eccoci qua. Sfortunatamente non posso mostrarvi una foto di questo oggetto simmetrico. Ma qui c'è il linguaggio che descrive il modo in cui le simmetrie interagiscono.

Questo oggetto simmetrico non ha ancora un nome. Alla gente piace dare i loro nomi alle cose, ai crateri sulla luna, o a nuove specie animali. Perciò vi darò la possibilità di dare il vostro nome al nuovo oggetto simmetrico che non è mai stato chiamato prima. Le specie si estinguono, e le lune vengono colpite da meteoriti ed esplodono - ma questo oggetto matematico vivrà per sempre. Vi renderà immortali. Per vincere questo oggetto simmetrico, ciò che dovete fare è rispondere alla domanda che vi ho posto all'inizio. Quante simmetrie ha un Cubo di Rubik?

Ok, dovrò darvi una sistemata. Invece di urlare tutti quanti, voglio che contiate quante cifre ci sono in quel numero. OK? Se lo avete come fattoriale, dovete espandere i fattoriali. Ok, ora voglio che giochiate, voglio che vi alziate in piedi, ok? Se pensate di avere una stima delle cifre, bene - abbiamo già un competitore qui - se state tutti seduti lui vince automaticamente! OK. Benissimo. Abbiamo quattro qui, cinque, sei. Grande. Benissimo. Dovrebbe andare. Bene.

Tutti quelli con cinque o meno cifre, seduti. Avete sottostimato. Cinque o meno cifre. Dunque, se siete attorno alle decine di migliaia, seduti. 60 cifre e passa, seduti. Avete sovrastimato. 20 cifre o meno, seduti. Quante cifre hai nel tuo numero? Due? Avresti dovuto sederti già prima. (Risate) Vediamo gli altri, chiunque si sia seduto durante i 20, di nuovo in piedi. OK? Se vi ho detto 20 o meno, in piedi. Perché questo qui. Credo ce ne fossero alcuni qui. Quelli che si sono appena seduti.

OK, quante cifre hai nel tuo numero? (Risate) 21. Ok, bene. Quanti ne hai nel tuo? 18. Vince la signora. 21 è il più vicino. Il numero delle simmetrie nel cubo di Rubik ha 25 cifre. Adesso ho bisogno di dare un nome a questo oggetto. Come ti chiami? Ho bisogno del cognome. Generalmente, gli oggetti simmetrici - mi faccia lo spelling G-H-E-Z. No, a dire il vero, SO2 è già stato usato nel linguaggio matematico. Non puoi usare quello. Quindi Ghez, eccoci qua. Questo è il tuo nuovo oggetto simmetrico. Adesso sei immortale. (Applausi)

E se volete il vostro oggetto simmetrico, ho un progetto (raccogliere fondi per un'organizzazione in Guatemala), per il quale starò in piedi tutta la notte a progettare un oggetto per voi, in cambio di una donazione a questa fondazione che aiuta i bambini ad accedere ad un'educazione nel Guatemala. E credo che ciò che mi spinge, come matematico, sono quelle cose che non si vedono, le cose che non abbiamo scoperto. Sono le domande, senza ancora una risposta, che rendono la matematica una disciplina viva. E farò sempre riferimento a quella citazione dal libro Giapponese "Saggi sull'Ozio": "In ogni cosa, l'uniformità non è desiderabile. Lasciare qualcosa incompleto lo rende interessante, e da' l'impressione che ci sia spazio per la crescita." Grazie. (Applausi)