Il paradosso di Zenone

Cari ragazzi di terza (o meglio ex-terza) se vi trovate a passare dal blog vi consiglio di leggere con attenzione il famoso paradosso di Zenone, che enuncio di seguito. Provate a ragionarci su per gioco e se vi doveste trovare in difficoltà leggete la soluzione, fornita dopo l'enunciato. Diciamo che il problema, in cui si fa ricorso alle serie, può essere un utile esercizio di preparazione in vista del passaggio alle scuole superiori.

Naturalmente, possono cimentarsi anche i grandi se ne hanno voglia

Il piè veloce Achille  sfida alla corsa una lenta tartaruga, dicendole:

- Scommettiamo che riesco a batterti nella corsa anche dandoti dieci metri di vantaggio ?

La tartaruga risponde: - Sai, io sono molto lenta,  ma se mi dai un vantaggio di dieci metri, non riuscirai a battermi!

Achille replica:- Sì che posso, io sono il doppio più veloce di te.

E la tartaruga:- Anche se sei il doppio più veloce non potrai mai raggiungermi. Vedi, mentre tu percorri i dieci metri, che mi hai dato di vantaggio, io mi sposto in avanti di cinque. Tu dovrai poi percorrere questi cinque metri, ma io mi sarò spostata in avanti di altri due metri e mezzo, che tu dovrai recuperare. Ma, mentre tu cercherai di raggiungermi facendo questi due metri e mezzo, io mi sarò spostata di un altro metro e venticinque e così via senza fine, cosicchè tu non potrai mai raggiungermi.

Così dicendo, la tartaruga tracciò sulla terra un disegno che spiegava la situazione. Achille osservò a lungo il disegno, ripetendo mentalmente più volte il percorso della gara, non capacitandosi di come non fosse possibile, a lui così veloce, raggiungere il più lento animale. D'altronde Achille avrebbe potuto, seguendo un altro ragionamento, sostenere di poter vincere la gara. Infatti, quando Achille avesse percorso, diciamo, trenta metri, la Tartaruga ne avrebbe percorsi solo quindici; detratti i dieci metri di vantaggio iniziali, Achille si sarebbe ancora trovato in vantaggio di cinque metri. Il paradosso appassionò molto gli antichi, che non conoscevano la teoria delle serie e trovavano inspiegabile il ragionamento. Proviamo anche noi a riflettere su quel disegno...

SOLUZIONE
Quando Achille si trova in Ao la tartaruga è in To. Achille corre per raggiungerla ed arriva in A1. La tartaruga nel frattempo si è spostata in T1, avendo percorso metà della distanza di Achille, ma restando sempre in vantaggio. Il processo si ripete, apparentemente fino all'infinito e sembra proprio che Achille non raggiunga mai la tartaruga.

Svolgiamo però il calcolo delle distanze, cosi come dei tempi, supponendo che la velocità di Achille sia v =1 m/s (ricordando che la distanza AoA1 è di dieci metri). Achille percorre una distanza pari a Da = 10+5+2.5+... metri, in un tempo t = 10+5+2.5+... secondi.

La tartaruga percorre una distanza Dt = 5+2.5+1.25+... metri in un tempo uguale. Si vede subito che si tratta di tre serie geometriche convergenti. Per es. Da = 10(1+1/2+1/4+...) = 10[1/(1-1/2)] = 10(2) = 20 metri. Dt è la metà di tale valore mentre il tempo impiegato è t = 10(1+1/2+1/4+...) = 10[1/(1-1/2)] = 10(2) = 20 secondi. Dunque dopo venti secondi, avendo percorso venti metri in tutto, Achille raggiunge la tartaruga e un attimo dopo la supera definitivamente.

La vittoria dell'uno o dell'altra dipende da dove viene posto il traguardo. L'errore nel ragionamento è quello di ritenere che una somma di infiniti termini debba dare sempre un risultato infinito. Alla luce delle moderne conoscenze matematiche la soluzione è addirittura banale e si riduce ad un semplicissimo esercizio di cinematica.

A presto