La percorribilità di una rete topologica e i ponti di Konigsberg

Riprendiamo, allora,  l'argomento sulle topologie introdotto nel post precedente e parliamo, per la precisione, della percorribilità di una rete topologica. Nelle figure 1 e  2, potete  osservare uno schema detto rete topologica: costituito da archi che uniscono dei punti detti nodi. Si chiama ordine del nodo il numero degli archi che si incontrano in quel nodo.

Nell’esempio, osservate che i nodi A,B,C,D, sono di ordine 3 mentre il nodo E è di ordine 4.

Gli archi delimitano una superficie ( compresa quella esterna) detta regione.
Una rete topologica si dice percorribile se esiste un percorso che passi per ogni arco una sola volta senza interruzione.

Il grande matematico svizzero Eulero (1707- 1783) studiò il problema della percorribilità delle reti e  pervenne alle seguenti conclusioni:

1. una rete topologica è percorribile se i suoi nodi sono tutti di ordine pari. Il punto di partenza può essere un nodo qualsiasi e coincide con il punto di arrivo.
2. Una rete topologica è percorribile se ha soltanto due nodi di ordine dispari, senza ritornare al punto di partenza.

Come applicazione di quanto illustrato prima, vi propongo il celebre problema che suscitò l’interesse del grande matematico Eulero. Osservate attentamente le immagini seguenti.

Nel fiume Pregel, che attraversa la città di Königsberg (ora Kaliningrad) vi sono due isole collegate, fra loro e con le rive opposte, da sette ponti disposti come nel disegno.

Provate a rispondere, adesso, alle domande:

1. I nodi B, C, D sono di ordine pari?

2. E’ impossibile attraversare i sette ponti, senza mai passare due volte per lo stesso    ponte?

3. Ci sono due soli nodi di ordine dispari?

4. I nodi B, C, D sono di ordine dispari e il nodo A è di ordine pari?

Non vi fornisco, per adesso, la soluzione. Lasciamo passare qualche giorno e poi la pubblico in un nuovo post. Basta riflettere attentamente perchè non è difficile!

A presto