A proposito di enigmi...(2° parte)

Concludiamo con questo post la nostra carrellata sugli enigmi.

Ricordiamo gli anelli di Cardano,  gioco che apparve nell'edizione del 1550 del suo libro De Subtilitate. Tali anelli sono disposti in modo che si può agire liberamente, mettendolo ed estraendolo,  soltanto sull'anello A situato ad un estremo. Per estrarre gli altri, si procede in questo modo: considerato un anello, quello che lo precede rispetto ad A deve essere sulla sbarra e tutti gli altri prima devono essere fuori dalla sbarra. Tutti gli anelli si estraggono con (2n+1 - 1)/3 mosse se n è dispari e (2n+1 - 2)/3 mosse se n è pari.



Un altro grande inventore di giochi e passatempi matematici fu Tartaglia, che insieme con Cardano scoprì la soluzione algebrica dell'equazione di terzo grado.

Bachet  pubblicò nel 1612 una raccolta comprendente problemi di fiumi da attraversare, masse da pesare, giochi coi numeri, quadrati magici, ecc.  Riporto di seguito  un esempio di problemi di masse da pesare:

"Qual è il minimo numero di pesi da usare su una bilancia per ottenere tutti i pesi interi da 1 a 40, se i pesi possono essere posti su entrambi i piatti?"

Eulero,  oltre ai quadrati magici e a problemi di teoria dei numeri, considerò il problema dei Cavalli sulla scacchiera, quello dei Trentasei Ufficiali e quello dei Sette Ponti di Königsberg, che segna l'inizio della teoria dei grafi e della topologia.
Di quest’ultimo problema, che non ha soluzione, abbiamo già parlato in un post sulle trasformazioni topologiche. Ecco l’enunciato del  problema dei Trentasei Ufficiali, posto da Eulero nel 1779:

"E’ possibile sistemare sei reggimenti, formati ciascuno da sei ufficiali di diverso rango, in un quadrato di lato 6 in modo che su una stessa riga o colonna non vi siano due ufficiali dello stesso rango né due dello stesso reggimento?"

Il problema non ha soluzione ma ha condotto ad importanti lavori di calcolo combinatorio.
Un altro famoso problema connesso agli scacchi è quello delle Otto Regine:

"In quanti modi otto regine possono essere disposte sulla scacchiera in modo che nessuna di esse attacchi un'altra?"

Il problema generalizzato (n regine su una scacchiera n x n) venne affrontato e risolto alla fine dell'800 mediante l'uso dei determinanti. C'è un'unica soluzione (a meno di simmetrie) al problema 6 x 6.



Ecco un'immagine del problema Icosian Game di Hamilton, descritto da questi ad un Meeting della British Association a Dublino nel 1857. Il gioco è legato al problema dei Cavalli posto da Eulero e, in termini moderni, ai circuiti hamiltoniani di un certo grafo.



Un altro celebre problema fu quello delle Studentesse di Kirkman, del 1850:

"In quanti modi 15 studentesse possono essere disposte in 5 file di 3 per sette giorni in modo che nessuna cammini nella stessa terna per più di una volta?"

Se n è divisibile per 3, il problema si generalizza ad n studentesse che camminano per (n-1)/2 giorni. Le soluzioni per n=9,15,27 furono ottenute nel 1850 e da allora si è lavorato molto sul problema, giungendo ad importanti risultati nella teoria delle combinazioni.

Nel 1883,  Edouard Lucas inventò le Torri di Hanoi di cui abbiamo già parlato in un altro post.

Ecco un'immagine del gioco dei Soma Cubes di Piet Hein, formato da sette pezzi, da assemblare per ricostruire un cubo 3 x 3 x 3. Può essere risolto in 230 modi diversi!





Il logico matematico, Raymond Smullyan,  compose una serie di problemi scacchistici molto differenti dai soliti e noti come problemi di analisi retrograda. Si tratta di problemi di logica matematica. Riportiamo qui il primo problema di Smullyan, composto nel 1925, quando aveva 16 anni.

Uno tra i più importanti inventori professionisti e collezionisti di rompicapi è Martin Gardner, che ha tenuto una rubrica per oltre 30 anni su Scientific American. Ecco alcuni esempi di spirolaterals, presentato da Gardner e creato da Frank Olds con sole 3 o 4 linee di codice.



Il cubo di Rubik  è il più famoso tra i rompicapi recenti. Inventato dall'ungherese Ernö Rubik nel 1974, brevettato nel 1975 e posto in vendita in Ungheria nel 1977. Si stima che le copie vendute in tutto il mondo superino i 100 milioni. Si tratta in realtà di un rompicapo di teoria dei gruppi.
 
Se vi piacciono i passatempi matematici, a questo link ne troverete una quantità sterminata.