Problem Posing E Problem Solving Per Pensare Con Metodo!

Come ogni anno, quando inizio a trattare in classe i problemi matematici, mi ritrovo a riflettere su quali tecniche e strategie introdurre per fornire ai ragazzi gli strumenti più consoni ad affrontarli e risolverli.

Mi piacerebbe qui condividere con colleghi eventualmente interessati (ma la tematica è di interesse generale, come diremo tra poco) alcune considerazioni su cosa sia un problema, su come porsi e come risolvere i problemi, poichè questi concetti non sono né banali né scontati.

Pensiamo di sapere veramente, ma proprio…veramente, cos’è un problema? Bene, verifichiamolo!

Secondo The American Heritage Dictionary, un problema è “a question put forward for consideration, discussion or solution; a question that exercises the mind”. (Un quesito da prendere in considerazione, da discutere o da risolvere; un quesito che esercita la mente).

Secondo il Dizionario della lingua italiana G. Devoto – G.C.Oli, un problema è “un quesito che attende una soluzione (in matematica un quesito che richiede la determinazione o la costruzione di una o più entità che soddisfano a date condizioni fissate in precedenza)”.

In un documento di studio  dell’ UMI (Unione Matematica Italiana), si può leggere che:
In diversi contesti sperimentali, linguistici e matematici, in situazioni varie, relative a contesti scolastici ed extrascolastici, porsi e risolvere problemi vuol significare:

- riconoscere situazioni problematiche e rappresentarle;
- avviare, discutere e comunicare strategie risolutive;
- risolvere problemi posti da altri;
- porsi e risolvere (nuovi) problemi.

Possiamo perciò, da qui, subito asserire che porsi e risolvere problemi vuol dire non solo imparare le cose della Matematica, ma già collocarsi essenzialmente tra coloro che avranno assimilato l’abitudine di pensare (con metodo) anche e soprattutto al di fuori dell’ambiente scolastico.

Porsi e risolvere un problema consentirà di individuare il significato di una proposizione, di riconoscere approcci e percorsi risolutivi diversi, di attivare autonomamente processi di verifica dei percorsi seguiti, di scegliere, eventualmente ottimizzando, fra soluzioni diverse.

Porsi e risolvere problemi si colloca, in modo naturale, trasversalmente rispetto alle tematiche matematiche fondanti e anche rispetto agli altri ambiti disciplinari.

Quali sono le caratteristiche del problem posing?

Porsi u n problema vuo dire comprendere la situazione descritta, esplorare le cause e la sorgente degli eventi interessati, assimilare i dati e le conoscenze ad essi associate, chiedersi quali siano le conseguenze della situazione, così come è descritta e in caso di modifiche, sia aggiuntive sia solo interpretative, individuare gli elementi significativi.

Il problem solving richiede il dar fondo alle proprie risorse, cimentarsi in campo aperto, esplorando tra le conoscenze possedute alla ricerca di quelle utili allo scopo del momento, sviluppare nuove conoscenze, variare i modi di utilizzare le conoscenze, compenetrare le conoscenze, arricchite, nel problema, discernere fra dati significativi e dati ridondanti, individuare eventuali dati mancanti e necessari al lavoro, controllare il processo risolutivo in riferimento all’obiettivo da raggiungere ed alla validità del prodotto ottenibile.

Nell’ambito del problem posing e solving, il concetto stesso di errore cessa di avere la valenza usualmente negativa, acquisendo la sostanza di strumento concettuale atto al miglioramento, strategico e di calcolo, delle capacità risolutive dell’alunno.

Porsi e risolvere problemi implica imparare a produrre congetture, prima semplici e magari non funzionanti, poi semplici e adatte allo scopo e infine congetture con sfaccettature sempre più elaborate e complesse, che possono dare inizio a capire la ricchezza, pratica e concettuale, degli avvicinamenti graduali e successivi alla soluzione. Se da un problema nascono, come deve essere, nuovi problemi strettamente collegati al problema iniziale, sarà necessario, da parte dell’insegnante,  creare il contesto adatto perché il bambino o la bambina, il ragazzo o la ragazza, non solo non si senta disorientato se posto di fronte a un nuovo problema di crescita, ma riesca a cogliere in pieno l’arricchimento conoscitivo che risolvere  il problema gli può inaspettatamente offrire.

Da un punto di vista puramente disciplinare o di ambito disciplinare, è molto importante il serbatoio di conoscenze  e strategie che si riesce ad avere a disposizione al momento dell’approccio al problema. In tale serbatoio, dovranno essere presenti capacità grafiche e figurative, scelta di simboli e di notazioni, uso di diagrammi e grafici, ragionamenti di tipo feedback, capacità di riformulare il problema, azioni metacognitive, conoscenza di comuni  procedure algoritmiche.

Per proporre il problem posing e il problem solving, l’insegnante dovrebbe interagire con lo studente...e poi ci sarebbe altro da dire.

Perché non continuate voi, aggiungendo le vostre idee mediante i commenti?

Problemi matematici, atto primo: comprendere il testo

Salve ragazzi di 2° A e 2° B

Come anticipato oggi in classe, ecco qui un piccolo contributo a supporto dei problemi matematici.
Abbiamo detto che questo è l’anno dedicato ai problemi........in tutte le salse. So che ad alcuni di voi (mi auguro molti) piacciono, mentre ad altri un po’ meno. Niente paura avrete tutto il tempo per “socializzare” con i problemi e per imparare a “trattarli”.

Devo complimentarmi con voi perché siete stati tutti, nessuno escluso, attenti e partecipi in classe. Possiamo dire che il tempo è volato via senza che ce ne accorgessimo. Colgo l’occasione per salutare Alessandro, il nuovo giovane docente che ci affiancherà in classe e parteciperà spesso alle nostre attività. Ho già fatto vedere i nostri blog  ad  Alessandro, che si è dimostrato entusiasta di questo nuovo strumento.

Ma veniamo al sodo !

A proposito di problemi, oggi la domanda che vi ho posto inizialmente è stata:

 "Che cos’è per voi un problema matematico?”

Vi ho sollecitati a rispondere liberamente “pescando”  sia nella vostra esperienza pregressa, risalente alla scuola primaria, che alle esperienze personali tratte dalla vita di tutti i giorni.
Ho dato il via ad una intervista, alla quale avete partecipato attivamente, e alla fine abbiamo concluso insieme che:

“Un  problema matematico è un quesito del quale si conoscono alcuni elementi (i dati) necessari a calcolare altri elementi (le incognite)”.

Abbiamo anche ragionato sul fatto che dati e incognite sono collegati tra loro da una serie di relazioni. Per arrivare alla soluzione del problema è poi indispensabile applicare regole, tecniche e concetti mediante un processo non casuale ma ben organizzato.

Abbiamo insieme stabilito, mediante degli esempi concreti, che per risolvere un problema ci sono alcune fasi obbligate.
Alla mia domanda “Qual è il primo passo, quello basilare per affrontare un problema?”, dopo una breve discussione abbiamo concluso che prima di tutto occorre capire cosa vuole il problema. In termini più tecnici, la prima tappa obbligata è:

- la comprensione del testo!

Vi ho chiesto quali tecniche avete applicato per la comprensione di un testo, alle scuole elementari, per scoprire che quasi tutti avete svolto dei cloze ( il cloze è una tecnica consistente nel riconoscere dei termini nascosti, opportunamente coperti oppure eliminati bucando il testo) per i testi in italiano, ma mai per i testi dei problemi matematici.

Noi invece, oggi, abbiamo iniziato proprio con questa tecnica. Vi ho scritto alla lavagna il testo di un semplice problema (si inizia sempre con le cose facili per arrivare progressivamente a quelle più complesse, vero?). Vi ho invitati a leggerlo con estrema attenzione; successivamente vi ho invitati a chiudere gli occhi ( lo ha fatto anche Alessandro, con aria divertita) mentre io “bucavo” il testo scritto sulla lavagna ovvero eliminavo dei termini che poi voi avete rimesso al posto giusto, riscrivendo ciascuno sul proprio quaderno il testo completo.

Siete stati rapidi a completare. Soltanto L. ha esitato su un termine.
Bene questo vuol dire che siamo sulla buona strada;)…..

Riporto di seguito il testo del problema integrale e successivamente quello “bucato” in modo che possiate ripercorrere velocemente le fasi della comprensione. Il compagno ancora assente avrà modo, inoltre, di appropriarsi almeno di una traccia di quanto abbiamo svolto durante la sua assenza.

TESTO INTEGRALE DEL PROBLEMA

"In una scuola media inferiore gli alunni sono 180; sapendo che le femmine sono 16 meno dei maschi, calcola il numero dei maschi e delle femmine."

TESTO “BUCATO”

In una scuola media inferiore gli ______________ sono 180; sapendo che le _________sono 16 _________dei ___________calcola il _________ dei ________ e delle femmine.

TESTO COMPLETATO (CON I TERMINI EVIDENZIATI IN COLORE)

"In una scuola media inferiore gli alunni sono 180; sapendo che le femmine sono 16 meno dei maschi, calcola il numero dei maschi e delle femmine".

Il testo, molto semplice, è stato completato agevolmente da tutti con l’eccezione, ricordata prima, per il termine “meno”.
A tal proposito, abbiamo concluso che, non conoscendo in precedenza il testo del problema, al posto del termine “meno” si sarebbe potuto completare anche con il termine "più" senza che il problema perdesse di significatività!

Bene ragazzi! Il passo successivo sarà quello di “matematizzare” il testo del problema ovvero, come si è detto in classe, di “tradurre” il testo in “linguaggio matematico”. Questo, come imparerete ad apprezzare, è un linguaggio molto potente, con delle regole proprie. Individuerete in questa fase i dati e le incognite e tradurrete il testo in relazioni simboliche.
Perverrete, infine, alla soluzione del problema grazie ad alcune tecniche risolutive, delle quali vi approprierete una alla volta.

Alla fine del nostro percorso, sarete chiamati a realizzare, in piccoli gruppi, una mappa concettuale di sintesi sulle tre fasi. Confronteremo tutti insieme, quindi, le mappe prodotte e giungeremo ad una mappa unica di classe.

Ma tutto questo gradatamente…..:)

Alla fine dell’ora, vi ho chiesto se vi erano rimasti dei dubbi e quanto avevate trovato efficace la tecnica del cloze. Bè….....avete risposto con un sorriso più eloquente di mille parole.

Vi allego due file, uno contente i testi integrali di cinque problemi (scelti con diverso grado di complessità), il secondo contenente i testi bucati da completare.

La consegna è:

- leggere un testo per volta e poi passare al suo completamento.
- Controllare, dopo il completamento, il testo integrale ed evidenziare in colore i termini inseriti in modo non appropriato.
- Venerdì, in classe, discuteremo i risultati del lavoro svolto a casa.

A Venerdì, dunque!

Primo file: testi integrali

Secondo file: testi bucati

 

Il lettore "matematico"

Prendendo spunto dal blog di Alex200 e da quello del mio amico Raffaele (Traffyk), ho pensato di dare il via ad una iniziativa, intitolata:

"Il lettore matematico".

In cosa consiste di preciso? Presto detto. Lo scopo è quello di avvicinare alla cultura matematica i blogger che hanno altri ambiti di interesse, creando una sorta di fil rouge virtuale, alla fine del quale c'è almeno un ......link come incentivo .

Un blogger che vuole partecipare deve osservare le seguenti condizioni:

1. leggere e commentare nell'arco di una settimana, a partire da oggi e fino a domenica sera, quattro post a scelta;

2. linkare a piacere uno dei quattro post;

3. i commenti devono essere significativi, cioè apportare un contributo personale nè scontato nè banale, magari arricchendo con nuove informazioni il contenuto del post medesimo.

Io mi impegnerò ad aggiornare  una lista, in una pagina sezione, dei lettori matematici settimanali, alla fine di ciascuna settimana per 4 settimane.

La pagina sezione sarà linkata permanentemente nella sidebar.

Un lettore matematico settimanale può diventare "lettore matematico" se parteciperà alle attività per tutte e quattro le settimane, ripetendo quanto svolto nella prima.

I lettori matematici avranno diritto ad un link permanente nel blogroll, che riorganizzerò, ripulendolo, per l'occasione.

L'iniziativa qui illustrata è estesa anche al mio blog di Scienze.

Se volete mettervi alla prova, fatevi avanti con un commento a questo post.

To love or not to love Mathematics? That is the question!

Ragazzi di 1° A (non vi chiamo più "primini" perchè avete fatto ben capire che l’appellativo non vi è troppo simpatico!), che cosa sta ad indicare il titolo del post?

E’ una semplice domanda, posta per sapere se la matematica vi piace o non vi piace…oppure se vi piace almeno un pochino!

Una domanda che rivolgo sempre agli alunni della classe prima, ad ogni nuovo inizio di anno scolastico.

Quest’anno, disponiamo finalmente  di un blog tutto nostro e ho pensato di farlo via web.

Count down: domani, si comincia!

Cari ragazzi di 1° A, 2° A e 2° B, siamo alle linee di partenza e perciò a voi va in questo momento il mio pensiero

I “grandi” di 2° hanno già vissuto l’esperienza del 1° giorno di scuola media, l’anno scorso, perciò si sentiranno  più sicuri. Ma molti dei “primini” saranno  in ansia e tutti avranno sicuramente delle aspettative nei riguardi di questa nuova avventura, che sta per iniziare.
Io sono qui per fare un po’ da nocchiero, da guida in questo viaggio alla scoperta del pianeta Matematica.

E’ un pianeta, che avete già cominciato ad esplorare negli anni della scuola elementare e alcuni di voi, spero pochi, si saranno imbattuti in regioni un po’ aspre e accidentate, difficili da percorrere, non è vero?
Bè, quest’anno siete più grandi e in grado di orientarvi meglio, ne sono sicura!
In parte, ripercorrerete  sentieri noti, che presenteranno nuove sorprese; in parte incontrerete strade sconosciute…ma  in grado, vi assicuro, di stimolare la vostra naturale curiosità!
Qualcuno è scettico? Penso di sì! Vero? A qualcun altro, questa matematica non gli è proprio simpatica, eh? Ma sono sicura che alcuni, forse tanti…, adorano questa materia!

Cosa ho detto? Sono un’illusa?... Non ho fretta... non ho fretta: lo scoprirò;…abbiamo tempo
Sto pensando che avreste voglia di chiedere: “Perché studiare la matematica?”  Bè, i motivi sono diversi, ma non vi darò risposte di tipo “tecnico”.   Vi dico che, ad esempio, la matematica ha profondi legami con l'arte, la musica e altre forme espressive, e, altresì, è una disciplina indispensabile per tutta la ricerca scientifica e tecnologica, è uno strumento di modellazione (chiariremo questo termine) e di calcolo per le scienze applicate e teoriche quali: la fisica, la chimica, la biologia, la medicina, l'economia, l'informatica, l'ingegneria...

Non siete convinti?

Allora, non vi resta che scoprirlo da voi.

Vi saluto con alcune citazioni di grandi matematici…..che testimoniano l'enorme valore di questa disciplina.

“Se l'uomo non sapesse di matematica non si eleverebbe di un sol palmo da terra”. Galileo Galilei (1564-1642)

“L'universo non potrà essere letto finché non avremo imparato il linguaggio ed avremo familiarizzato con i caratteri con cui è scritto. E' scritto in linguaggio matematico, e le lettere sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza le quali è umanamente impossibile comprendere una singola parola”. Galileo Galilei (1564-1642)

“La Natura è un libro scritto in caratteri matematici”. Galileo Galilei (1564-1642)

“Nessuna certezza è dove non si può applicare una delle leggi matematiche over che non sono unite con esse matematicamente”. Leonardo da Vinci (1452-1519)

“Nessuna umana investigazione si può demandare vera scienza se essa non passa per le matematiche dimostrazioni”. Leonardo da Vinci (1452-1519)

“Non esiste scienza che non si sia sviluppata a partire dalla osservazione dei fenomeni, ma per potere trarre il massimo giovamento da queste conoscenze è indispensabile essere un matematico”. Daniel Bernoulli (1700-1782)

“A quelli che non conoscono la matematica è difficile percepire, come una sensazione reale, la bellezza; la profonda bellezza della Natura. Se volete conoscere la Natura, apprezzarla, è necessario comprendere il linguaggio che essa parla”. Richard Phillips Feynman (1918-1988) Fonte: Richard Phillips Feynman. The character of physical law

“La matematica sembra dotare una persona di qualcosa come un nuovo senso”. Charles Darwin (1809-1882)

“Trascurare la matematica è un'offesa al sapere, poiché chi la ignora non può conoscere le altre scienze o le cose del mondo”. Roger Bacon (Ruggero Bacone) (1214-1294)

[...] E' dunque attraverso lo studio delle matematiche, e solo mediante esse, che ci si può fare un'idea giusta ed approfondita di ciò che è una scienza. Auguste Comte (1798-1857)

“Se una persona si sente un vagabondo, che studi matematica”. Francis Bacon (Francesco Bacone) (1561-1626)

“Matematica, o matematiche (dal greco insegnamento) significa originariamente disciplina o scienza razionale. Questo significato conferirono alla parola i filosofi della scuola italica, fondata da Pitagora (prima del 500 A.C.) che pose la scienza dei numeri a base di ogni conoscenza della Natura”. Federigo Enriques (1871-1946)

E se ne potrebbero citare ancora un’infinità...... Concludo, promettendo che da parte mia mi impegnerò a dimostrarvi che la matematica è una materia utile, bella e facile! Sì, facile avete capito bene….

Questa è la sfida!

A domani

Un nuovo anno di scoperte sta per iniziare!

Cari ragazzi delle ormai seconde classi, sicuramente, per molti di voi , dopo un anno di intenso lavoro, i numeri hanno perso un po’ del loro mistero; per qualcuno addirittura sono diventati “facili”  da usare, chissà!

Vi avviso però che le scoperte non sono finite, anzi proprio adesso viene il bello;-).
Quest’anno ci addentreremo nel territorio  dei numeri “razionali”, inizieremo ad esplorare “realilandia”, ovvero la terra dei “reali” (non sono elementi di sangue reale, badate bene!), e, spingendo il naso più in là scorgerete, non senza perplessità, che i numeri possono anche essere “irrazionali”.

Ma come può la Matematica occuparsi di…. "irrazionalità”, mi direte?
E’ possibile, invece, come apprenderete lungo il vostro percorso. Infatti, già ai tempi dei Pitagorici, 500 anni a.C, l’irrazionalità fece la sua apparizione sulla scena, producendo effetti di grande importanza per lo sviluppo della Matematica.

I Pitagorici erano una specie di setta e per loro tutto era numero: i numeri erano la chiave di tutti i misteri. Essi scoprirono, ad esempio, che c’è una forte relazione tra l’armonia delle note musicali e i rapporti numerici semplici ovvero i numeri razionali.

In un’ottava, il rapporto tra le lunghezze della corda è di 1 a 2, ovvero ½; in una quinta è di 2 a 3, ovvero 2/3. L’insegnante di musica può confermarmi tutto ciò! Chiedeteglielo pure

Di certo, avrete sentito nominare il celeberrimo teorema di Pitagora, che consente di calcolare la lunghezza di un lato di un triangolo rettangolo quando si conoscono quelle degli altri due, con operazioni molto semplici. Eppure proprio queste operazioni così semplici nascondono ...…l’irrazionalità di cui parlavamo prima!
Pensate che, se consideriamo  un quadrato di lato 1, la sua diagonale è uguale a radice quadrata di due

  e questo è proprio un numero irrazionale: un numero che non può essere scritto come un decimale finito (ad esempio 1,5) e nemmeno come decimale illimitato, avente  un numero o un gruppo di numeri che si ripetono all’infinito ( ad  esempio: 2,33333….oppure 0,123123……o ancora 1,34222222…).

Un altro numero irrazionale e misterioso è il notissimo p  (pi greco), che esprime il rapporto costante tra la circonferenza e il suo diametro.

Già mi pare di sentire la solita domanda: “A che servono tutti questi numeri?”.

Lo scoprirete lungo il percorso, ma posso già rispondere così: “Per misurare grandezze  legate a fenomeni diversi e disporre di più informazioni per prendere decisioni il più possibile adeguate!”
Lo so, lo so che alcuni di voi storceranno il naso! Mi pare di vedervi. Però è così ve lo assicuro: per decidere in maniera razionale occorre essere bene informati e saper valutare le possibilità.

Newman, in The world of mathematics, 1988, afferma : “Una mente infinitamente potente, infinitamente informata sulle leggi della natura, avrebbe potuto prevedere (tutti gli eventi) dall’inizio dei tempi. Se tale mente esistesse, non potremmo fare nessun gioco d’azzardo con lei, perché perderemmo. Il caso è solo la misura della nostra ignoranza”.

E qui ci viene nuovamente in aiuto la Matematica con il calcolo delle probabilità.

Prendere una decisione è solo l’inizio; il pasticcio è nelle conseguenze delle decisioni!.
Cosa fare quando una decisione porta ad un risultato non previsto nell’insieme delle possibilità?

Direte che è una questione di fortuna o di sfortuna, mi immagino già! Ma cosa sono fortuna e sfortuna?

John Maynard Keynes nel 1937 parlava di incertezza , dicendo: “Il senso in cui uso il termine è quello in cui sono incerti la prospettiva di una guerra europea, o il prezzo del rame e il tasso di interesse di qui a vent’anni, o l’obsolescenza di una nuova invenzione…..Per questioni come queste non v’è nessuna base scientifica su cui formulare una qualche probabilità calcolabile. Semplicemente non lo sappiamo.”

In quel “Semplicemente non lo sappiamo” si nasconde un’idea straordinaria:ESSERE  LIBERI (anche di sbagliare); non essere  prigionieri di un destino già stabilito sul quale non si ha possibilità di intervenire. Le nostre decisioni hanno un valore!

Vi siete fatti un’idea di cosa ci aspetta? E….allora continuiamo il nostro viaggio. La posta in gioco è alta!

I numeri principi e i pensieri del Signor Goldbach

Cari ragazzi delle future classi seconde, il nuovo anno scolastico sta per iniziare e, come già sapete, riprenderemo il ripasso degli argomenti chiave, trattati in prima.

La divisibilità è uno di tali argomenti! Mi è venuto allora in mente l’interesse dimostrato, all’epoca della trattazione, nei riguardi dei numeri primi.

Ricordate il crivello di Eratostene utilizzato per andare alla loro ricerca? Quanto vi siete divertiti!

Ebbene, proprio  in riferimento ai numeri primi, cito di seguito un brano tratto da: H. M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Torino, Einaudi, 1997.

Leggetelo con attenzione, sono sicura che approfondirete le vostre conoscenze al riguardo senza annoiarvi…..anzi, oserei dire, divertendovi.

Il brano in questione è parte di un dialogo tra Roberto e il Mago dei numeri:

[Il Mago dei numeri dice a Roberto:]

-Ma prova a pensare a un numero come

10.000.019

oppure come

141.421.356.237.307

E’ un numero principe [i numeri principe sono quelli primi] o no? Se sapessi quanti matematici si sono rotta la testa per scoprirlo! Questo è un osso duro anche per i più grandi maghi dei numeri!
- Ma se hai appena detto che sapevi come andava avanti ma che non volevi dirlo.
- Beh, sì, insomma ho esagerato un po’.
- Almeno lo ammetti, disse Roberto. A starti a sentire ogni tanto sembra di parlare con il papa e non con il mago dei numeri.
- Le anime più semplici ci provano con computer giganteschi. E calcolano per mesi e mesi, senza smettere, e alla fine il computer va in tilt. […] Ormai abbiamo escogitato dei metodi molto raffinati, ma per quanto possiamo essere perfezionati, con i numeri principi siamo alle prime armi. E questo è diabolico; e il diabolico è divertente. Non trovi?

Il mago dei numeri sembrava proprio allegro e faceva vorticare il suo bastone.

- D’accordo, disse Roberto, ma perché starci tanto dietro?
- Non fare domande stupide!. Il bello è proprio che nel regno dei numeri non c’è quell’odore di chiuso e di muffa che c’è nella matematica del tuo professor Mandibola. Lui e le sue ciambelle! Dovresti essere contento se ti svelo questi segreti.

 Ad esempio questo: pensa a un numero superiore a uno, un numero qualunque, e poi raddoppialo.

- 222, disse Roberto. E 444.
- Fra ciascuno di questi numeri e il suo doppio c’è sempre, e dico SEMPRE, almeno un numero primo.
- Sei sicuro?
- Il 307, disse il vecchio. Ma funziona anche con numeri grandissimi.
- Come fai a saperlo?
- Aspetta, aspetta. C’è di meglio,  disse il vecchio stiracchiandosi. Ormai non lo fermava più nessuno.

- Prendi un numero pari, non importa quale, basta che sia superiore a due, e ti farò vedere che è la somma di due numeri principi.

- 48, esclamò Roberto.
- Trentuno più diciassette, disse il vecchio, senza pensarci molto.
- 34, gridò Roberto.
- Ventinove più cinque, replicò il vecchio, senza nemmeno levarsi la pipa di bocca.
- E funziona sempre? Chiese Roberto stupito.Perchè?
- Piacerebbe saperlo anche a me, disse il vecchio corrugando la fronte e osservando i riccioli di fumo che soffiava in aria. Quasi tutti i magni dei numeri che conosco hanno cercato di scoprirlo. Funziona sempre senza eccezioni, ma nessuno sa perché. Nessuno è riuscito a dimostrare che è così.

Questa poi…,pensò Roberto, e gli venne da ridere.

- Incredibile, disse, davvero incredibile.

6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17= 7 + 13
22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11
24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13
26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13
28 = 5 + 23 = 11 +17
30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17

Roberto ha manifestato la sua incredulità perché è convinto, come lo sono molte altre persone tuttora, che della matematica non ci sia più nulla da scoprire, essendo di essa tutto noto.
Del resto, Roberto non aveva gli strumenti per formarsi una diversa opinione della matematica perché quella insegnatagli dal professor Mandibola consisteva in una serie di procedimenti di calcolo governati da regole apparentemente arbitrarie, in poche parole una matematica ridotta all’inconsistenza.

Per fortuna, parlando in sogno con il Mago dei numeri, Roberto ha cominciato a convincersi che la matematica non è soltanto calcolo astruso, ma è anche fantasia, estro ed utile strumento per affinare le proprie capacità speculative. Capacità speculative sono quelle che vi consentono di indagare, osservare..e scoprire…..

Nel suo colloquio con Roberto, il Mago dei numeri ha affermato che è possibile, ma non ne è certo, che ogni numero pari maggiore di due si possa esprimere come somma di due numeri primi.

Tale comportamento è possibile, perché ciò si verifica in tutti i casi che i matematici sono stati in grado di esaminare e perché non si conosce alcun numero pari, maggiore di due, che non sia uguale alla somma di due numeri primi.

Non si sa con certezza perché, fino ad ora, i matematici non sono stati in grado di dimostrarlo.

Quando i matematici si convincono che una certa proposizione debba essere vera, fanno una congettura e poi provano a dimostrare che la proposizione è vera oppure che non lo è.

Nel nostro caso, la congettura è: ogni numero pari maggiore di due è uguale alla somma di due numeri primi ed è nota come ‘congettura di Goldbach’ perché fu proposta nel 1742 dal matematico tedesco Christian Goldbach, che impiegò buona parte degli studi della sua vita per tentare di dimostrarla.

 

Tale congettura, dopo più di trecento anni, resiste ancora e nessun matematico è stato fino ad ora in grado di dimostrarla!
Colui che sarà in grado di dimostrarla per primo potrà incassare il premio di un milione di dollari messo in palio dagli editori Faber & Faber e Bloomsbury.

Alla prossima ragazzi!

A sinistra, lettera inviata nel 1742 da  Goldbach a Eulero