I numeri principi e i pensieri del Signor Goldbach

Cari ragazzi delle future classi seconde, il nuovo anno scolastico sta per iniziare e, come già sapete, riprenderemo il ripasso degli argomenti chiave, trattati in prima.

La divisibilità è uno di tali argomenti! Mi è venuto allora in mente l’interesse dimostrato, all’epoca della trattazione, nei riguardi dei numeri primi.

Ricordate il crivello di Eratostene utilizzato per andare alla loro ricerca? Quanto vi siete divertiti!

Ebbene, proprio  in riferimento ai numeri primi, cito di seguito un brano tratto da: H. M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Torino, Einaudi, 1997.

Leggetelo con attenzione, sono sicura che approfondirete le vostre conoscenze al riguardo senza annoiarvi…..anzi, oserei dire, divertendovi.

Il brano in questione è parte di un dialogo tra Roberto e il Mago dei numeri:

[Il Mago dei numeri dice a Roberto:]

-Ma prova a pensare a un numero come

10.000.019

oppure come

141.421.356.237.307

E’ un numero principe [i numeri principe sono quelli primi] o no? Se sapessi quanti matematici si sono rotta la testa per scoprirlo! Questo è un osso duro anche per i più grandi maghi dei numeri!
- Ma se hai appena detto che sapevi come andava avanti ma che non volevi dirlo.
- Beh, sì, insomma ho esagerato un po’.
- Almeno lo ammetti, disse Roberto. A starti a sentire ogni tanto sembra di parlare con il papa e non con il mago dei numeri.
- Le anime più semplici ci provano con computer giganteschi. E calcolano per mesi e mesi, senza smettere, e alla fine il computer va in tilt. […] Ormai abbiamo escogitato dei metodi molto raffinati, ma per quanto possiamo essere perfezionati, con i numeri principi siamo alle prime armi. E questo è diabolico; e il diabolico è divertente. Non trovi?

Il mago dei numeri sembrava proprio allegro e faceva vorticare il suo bastone.

- D’accordo, disse Roberto, ma perché starci tanto dietro?
- Non fare domande stupide!. Il bello è proprio che nel regno dei numeri non c’è quell’odore di chiuso e di muffa che c’è nella matematica del tuo professor Mandibola. Lui e le sue ciambelle! Dovresti essere contento se ti svelo questi segreti.

 Ad esempio questo: pensa a un numero superiore a uno, un numero qualunque, e poi raddoppialo.

- 222, disse Roberto. E 444.
- Fra ciascuno di questi numeri e il suo doppio c’è sempre, e dico SEMPRE, almeno un numero primo.
- Sei sicuro?
- Il 307, disse il vecchio. Ma funziona anche con numeri grandissimi.
- Come fai a saperlo?
- Aspetta, aspetta. C’è di meglio,  disse il vecchio stiracchiandosi. Ormai non lo fermava più nessuno.

- Prendi un numero pari, non importa quale, basta che sia superiore a due, e ti farò vedere che è la somma di due numeri principi.

- 48, esclamò Roberto.
- Trentuno più diciassette, disse il vecchio, senza pensarci molto.
- 34, gridò Roberto.
- Ventinove più cinque, replicò il vecchio, senza nemmeno levarsi la pipa di bocca.
- E funziona sempre? Chiese Roberto stupito.Perchè?
- Piacerebbe saperlo anche a me, disse il vecchio corrugando la fronte e osservando i riccioli di fumo che soffiava in aria. Quasi tutti i magni dei numeri che conosco hanno cercato di scoprirlo. Funziona sempre senza eccezioni, ma nessuno sa perché. Nessuno è riuscito a dimostrare che è così.

Questa poi…,pensò Roberto, e gli venne da ridere.

- Incredibile, disse, davvero incredibile.

6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17= 7 + 13
22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11
24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13
26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13
28 = 5 + 23 = 11 +17
30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17

Roberto ha manifestato la sua incredulità perché è convinto, come lo sono molte altre persone tuttora, che della matematica non ci sia più nulla da scoprire, essendo di essa tutto noto.
Del resto, Roberto non aveva gli strumenti per formarsi una diversa opinione della matematica perché quella insegnatagli dal professor Mandibola consisteva in una serie di procedimenti di calcolo governati da regole apparentemente arbitrarie, in poche parole una matematica ridotta all’inconsistenza.

Per fortuna, parlando in sogno con il Mago dei numeri, Roberto ha cominciato a convincersi che la matematica non è soltanto calcolo astruso, ma è anche fantasia, estro ed utile strumento per affinare le proprie capacità speculative. Capacità speculative sono quelle che vi consentono di indagare, osservare..e scoprire…..

Nel suo colloquio con Roberto, il Mago dei numeri ha affermato che è possibile, ma non ne è certo, che ogni numero pari maggiore di due si possa esprimere come somma di due numeri primi.

Tale comportamento è possibile, perché ciò si verifica in tutti i casi che i matematici sono stati in grado di esaminare e perché non si conosce alcun numero pari, maggiore di due, che non sia uguale alla somma di due numeri primi.

Non si sa con certezza perché, fino ad ora, i matematici non sono stati in grado di dimostrarlo.

Quando i matematici si convincono che una certa proposizione debba essere vera, fanno una congettura e poi provano a dimostrare che la proposizione è vera oppure che non lo è.

Nel nostro caso, la congettura è: ogni numero pari maggiore di due è uguale alla somma di due numeri primi ed è nota come ‘congettura di Goldbach’ perché fu proposta nel 1742 dal matematico tedesco Christian Goldbach, che impiegò buona parte degli studi della sua vita per tentare di dimostrarla.

 

Tale congettura, dopo più di trecento anni, resiste ancora e nessun matematico è stato fino ad ora in grado di dimostrarla!
Colui che sarà in grado di dimostrarla per primo potrà incassare il premio di un milione di dollari messo in palio dagli editori Faber & Faber e Bloomsbury.

Alla prossima ragazzi!

A sinistra, lettera inviata nel 1742 da  Goldbach a Eulero