La geometria insegna come mettere sfere in un cubo e ottimizzare le trasmissioni [formula del packaging]

Cari ragazzi e lettori, il nostro amico Gaetano Barbella ci fa un regalo, con il seguente articolo. Cito le sue parole per presentarlo:

" [L'articolo] Riguarda proprio uno dei tanti casi di fatti, non della pace ma della guerra, che in seguito hanno permesso alla scienza matematica di progredire e di fornire cognizioni assai utili per migliorare la vita sociale di questo terzo millennio. Si tratta di un articolo di un valente matematico, il dott. Paolo Gregorelli, riportato sul Giornale di Brescia del 2004".

Allora buona lettura e un grazie sentito a Gaetano!

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Tutto ebbe inizio quando Sir W. Raleigh chiese al matematico Harriot quanti proiettili ci fossero in un mucchio.

DALLE PALLE DI CANNONE
ALLA MIGLIORE FORMULA DEL «PACKAGING»

LA GEOMETRIA INSEGNA COME METTERE SFERE IN UN CUBO
E OTTIMIZZARE LE TRASMISSIONI

A cura di Paolo Gregorelli
 (Tratto dal Giornale di Brescia del 18.02.2004)

Prima parte

Dalle palle di cannone alla trasmissione dei messaggi la strada è breve. E non è una battuta, come si potrebbe pensare, bensì la vicenda e l'avventura di un problema di configurazione nato nel 1600 e arrivato, come vedremo, alle soglie del terzo millennio.

Tutto ebbe inizio quando Sir W. Raleigh chiese al matematico Harriot quante palle di cannone ci fossero in un mucchio. Ma i matematici hanno il dono di trovare una ragione a tutto, pertanto l'interrogativo mal posto acquistò l'inequivocabile significato di trovare quale configurazione di sfere con lo stesso raggio avesse la massima densità relativamente ad uno spazio destinato a contenerle. Dato che ogni ammucchiamento di sfere in cui ciascuna di esse forma almeno tre contatti con le altre, il problema diventò quello di individuare in uno spazio di dimensione qualsiasi l'impachettamento con la densità più alte possibile.

Keplero, che aveva già risolto la questione in dimensione due, determinò la densità per l'impacchettamento cubico semplice (sovrapposizione di tre strati quadrati di sfere) e per questo compatto sfasato (ciascuna sfera ne tocca altre tre in strati adiacenti, realizzando un numero di contatti pari a dodici) ottenendo, rispettivamente, 0,524 e 0,7405.

Thomas C. Hales, nel 1998, cioè 387 anni dopo, dimostrò in modo certo che quella sfasata era effettivamente la migliore, come confermavano i valori trovati da Keplero.
Sarà per questo che sulle bancarelle la frutta viene spontaneamente disposta secondo la configurazione suddetta. La migliore tra le disposizioni reticolari, cioè tra quelle in cui i centri delle sfere formano un reticolo spaziale, vale a dire una configurazione simmetrica di parallelepipedi.

Attualmente la densità massima di un impacchettamento reticolare di sfere in uno spazio N-dimensionale è sconosciuta per N maggiore di 8, perché ogni dimensione sembra avere la sua particolarità e non si vede un metodo che possa funzionare per tutte.

Seconda parte

In «Sphere Packings, Lattices and Groups», che rappresenta la bibbia sull'argomento dell'impacchettamento, gli autori J.H. Conway e N.J.A. Slogane dimostrano come problema nato dalle palle di cannone (come abbiamo riferito nell'edizione del 18 febbraio) abbia importanti applicazioni nel campo della geometria pura (appare nell'elenco dei problemi aperti posti da Hilbert nel 1900), nella teoria dei numeri (equazioni diofantee e geometria dei numeri) e, come avevamo anticipato e vedremo immediatamente, nella costruzione di un codice ottimale per un canale di trasmissione disturbato da rumore.

Una sorgente di informazione è, infatti, una semplice sorgente di simboli che vengono mandati ad un trasmettitore che li converte in segnale elettrici, o di altro tipo, e li invia ad un ricevitore lungo una linea di trasmissione. Il segnale è rappresentato da un insieme di N numeri e pertanto può essere pensato come un insieme di coordinate in uno spazio di dimensione N.

Nel caso delle trasmissioni, per esempio, le dimensioni degli spazi coinvolti sono in genere molto elevate: un segnale televisivo della durata di un secondo appartiene ad uno spazio di dimensione 10 milioni. In fase di ricezione, se la linea è disturbata, il segnale non sarà più lì dove è stato messo, ma sarà in una sfera con centro nel segnale. A causa del rumore le coordinate non individueranno un punto, ma piuttosto una regione sferica che circonda la sua posizione ideale. Naturalmente perché segnali diversi non si confondano è necessario che le sfere d'esistenza non si sovrappongano, cioè che siano distinte le une dalle altre.

Le sfere devono essere disgiunte, affinchè il decoder alla ricezione possa recuperare correttamente il segnale inviato. Inoltre, la capacità di un canale è tanto maggiore quanti più segnali distinti sono disponibili. Per sfruttare appieno l'ampiezza della banda e la potenza di trasmissione si devono poter inviare molti segnali distinti e per riceverli correttamente devono essere abbastanza lontani. In sostanza, di nuovo un problema di impacchettamento delle sfere.

Il problema della trasmissione a pacchetti, inoltre, oggi è diventata attuale con la necessità di inviare dati on line. L'utilizzo di protocolli che consentano di convogliare dati corposi in spazi ridotti di segnale – tali da essere sopportati dai doppini telefonici – si basano proprio su alcune teorie che abbiamo descritto. E pensare che tutto iniziò da una domanda: «Quante palle di cannone ci sono in un  mucchio?».