Competenti E Incompetenti Con I Numeri

Cari ragazzi, amici e lettori,

Il nostro amico Gaetano Barbella ci propone un ulteriore interessantissimo articolo sui temi della competenza/incompetenza matematica, come seguito dei due precedenti post:  "Tabelline e Didattica" e "Intelligenza Matematica".

In particolare, voi ragazzi, leggete con attenzione e postate le vostre attese riflessioni e considerazioni tramite i commenti.

Grazie ancora una volta, Gaetano!

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COMPETENTI E INCOMPETENTI CON I NUMERI
Tratto dal libro “Intelligenza matematica” di Brian Butterworth
Edizione Rizzoli 1999

Presentazione

La pubblicazione del post “Intelligenza matematica”, mi permette di presentarne un altro che certamente piacerà a tutti i frequentatori di questo blog di matematica, che sono tanti, perchè si parla sui “Competenti e incompetenti con i numeri”. Interessante no?

È stato utile occuparci delle tabelline perché ha rotto un certo incantesimo che faceva sì che molte persone fra giovanissimi e adulti, avessero quasi paura della matematica. E così si è destato, come un'esplosione gioiosa, un interesse per essa in tante ragazze e ragazzi soprattutto che, sorprendentemente, hanno fatto a gara intervenendo con molto entusiasmo e raziocinio.

Ho provato grande piacere nel costatare di aver proposto un intelligente articolo cui ha fatto seguito il successivo, “Intelligenza matematica”, che mirava a far prendere dimestichezza di particolari concetti esibiti dall'autore del libro relativo, Brian Butterworth.
Questo non solo per il fatto in sé, ma anche perché sto per presentarvi, un altro articolo anch'esso tratto ancora dal suddetto libro, per il quale occorre che siano ben chiare le idee sui “moduli numerici” e “numerosità” che qui ricorreranno. Ma per semplificare la cosa è bene dare una ripassatina su questi concetti.

Butterworth afferma che l'abilità matematica nei bambini risulta compromessa quando i module numbers, i moduli numerici, non riescono a raggiungere il loro normale sviluppo. Ma cosa sono i moduli numerici chiamati in causa dal prof. Butterworth?
I “moduli numerici” sono le capacità matematiche di base che tutti noi possediamo sin dalla nascita, e sono collocate nel lobo parietale sinistro del cervello. Si tratta di una sorta di “kit di partenza” dal quale dipende tutto il successivo sviluppo delle nostre capacità matematiche: in esso è inclusa la capacità innata di riconoscere che un insieme di oggetti possiede una quantità esprimibile sotto forma di numero quella che Butterworth chiama, appunto una “numerosità” ordinata per grandezza: la “numerosità” quattro include la “numerosità” tre, la due la uno, e così via. Si nasce così con una facoltà che ci permette di identificare e comparare fra loro più “numerosità”. Oggi si hanno le prove che i bambini possiedono questa facoltà fin dai primi mesi di vita. Tuttavia si sospetta che alcune persone nascano effettivamente con moduli numerici difettosi, e per questo siano incapaci di usarla. Questi individui sono
affetti da “discalculia”, una malattia, della quale gli scienziati stanno cercando di identificarne il gene deputato alla costruzione della parte del cervello che presiede a questa capacità.
Sulla «numerosità» vale molto capire il concetto di numero. Butterworth a tal proposito dice che esistono diversi tipi di numeri. Innanzitutto ci sono le “numerosità”, che rispondono alla domanda “quanti?”. Ci sono poi i numeri ordinali, che ci aiutano a ordinare le cose in una successione comprensibile, e ancora i numeri di misurazione, come 3.467 chili, e infine i numeri usati come “etichette” per indicare i canali della televisione, il bancomat, il telefono e quant'altro. Tutti questi tipi di numeri hanno differenti proprietà. Per esempio, non ha senso dire che il mio numero telefonico è più grande del tuo, mentre ha senso dire che io ho più figli di te.

Sempre sulla «numerosità»: per capire meglio il concetto su cui si basa, rimando al menzionato post “Intelligenza matematica” di questo blog. In particolare ad un mio commento rilasciato al signor NixOS che aveva espresso una sua opinione sulla «numerosità», appunto.
A questo punto esaurita la ripassatina comincio a presentare l'articolo annunciato all'inizio. Auguro a tutti buona lettura, non senza ringraziare l'amica, la prof. Annarita Ruberto, per la sua amabile ospitalità in questo suo bel blog di matematica. Il vostro amico Gaetano
 

Introduzione

Perché certe persone sono brave con i mumeri e altre no? Nel film "Will Hunting, genio ribelle", il  protagonista, interpretato da Matt Damon, è un giovanotto che lavora come inserviente al MIT, la più prestigiosa Università scientifìca del mondo. Mentre lui pulisce e strofina, il professore di matematica dà alla classe un compito di fine semestre. Gli studenti hanno tutte le vacanze per trovare la soluzione e chi ci riuscirà avrà provato a se stesso di essere un eccezionale matematico in una classe di allievi già straordinari per il semplice fatto di essere iscritti al MIT. Dopo che l'aula si è svuotata, Will Hunting lascia da parte gli stracci e scrive la soluzione alla lavagna. Il giorno successivo, il professore, sbalordito, chiede al solutore di farsi avanti, ma ovviamente non si presenta nessuno. Alla fine scopre che è stato Will Hunting, il quale risulta essere un prodigio in matematica alla stregua di Ramanuhjan, il più grande di tutti. Tuttavia, invece di studiare per diventare un matematico, Will preferisce uscire a bere e a combinar guai con i suoi amici del vicinato. Il professore, pur essendo insignito di una medaglia Fields – una specie di premio Nobel per la matematica, solo che viene assegnata ogni quattro anni – ne è affascinato. «Non sono niente in confronto a questo ragazzo», ammette.
Allora, da dove viene il talento? Will cerca di spiegarlo alla sua ragazza. Si paragona a Mozart: «Guardava il piano... e lo sonava, ecco tutto. Anch'io potrei sempre suonare. È il modo migliore in cui te lo posso spiegare».

Ci sono due idee diametralmente opposte riguardo alle capacità matematiche. Stando ad una di esse, si tratta di natura: è un tipo di dote biologica – come essere dotati per la musica, forse. Stando all'altra, è questione di cultura: è tutto dovuto a un duro lavoro e al tipo di istruzione ricevuta. C'è anche ovviamente una sorta di via di mezzo: la capacità matematica contiene sia ingredienti naturali che culturali, in proporzioni variabili.
Come in tutte le capacità umane, in realtà ci sono due domande distinte. Perché sono un po' più bravo di Eric a fare le somme e un po' peggio di Diana? In altre parole, che cosa spiega la variazione di capacità nel 90 per cento della popolazione? Il secondo problema riguarda i casi estremi. Che cosa fa di certe persone l'effettivalente reale di Will Hunting e di altre l'esatto contrario? Un dono biologico per i numeri?

Pochi anni fa, i giornali riportarono la storia della (ri)scoperta del cervello di Einstein. Il suo lobo parietale sinistro aveva cellule disposte più densamente del normale. (...),questa è l'area del cervello profondamente coinvolta nei processi numerici. È stato il fatto di nascere con tutte queste cellule in più nel cervello a fare di lui un grande matematico? La teoria del talento biologico suonerebbe più o meno così: i nostri geni (e forse la nostra nutrizione nella vita intrauterina) determineranno il numero di neuroni che avremo nel lobo parietale alla nascita. Quelli che ne hanno di più saranno migliori in matematica di quelli che ne hanno di meno. L'idea sembra plausibile, ma non può essere provata semplicemente correlando il numero di neuroni parietali con le capacità numeriche. Queste ultime potrebbero essere la causa invece che la conseguenza del maggior numero di neuroni. In altre parole, il cervello potrebbe assegnare più neuroni parietali ai compiti numerici – o conservarne un maggior numero in attività (dal momento che i neuroni cominciano a morire fin dal giorno in cui nasciamo) – proprio perché quella parte del cervello viene costantemente «esercitata».

La seconda cosa importante da ricordare è che a portarci oltre le semplici numerosità è l'acquisizione di quelle che io chiamo «risorse culturali»: le parole per esprimere i numeri, le notazioni che usiamo per registrarli e manipolarli e la miriade di metodi e invenzioni che i nostri predecessori hanno donato alla matematica. Una delle cose che rende così improbabile Will Hunting, genio ribelle è che Will non sembra aver trascorso molto tempo ad acquisire queste risorse. Immaginate, se ci riuscite, di chiedere ad Archimede, il più grande matematico dell'antichità, di risolvere la seguente equazione:

2a^2 + 3ab − ab^2 = 0

Avrebbe meno possibilità di riuscirci di un quattordicenne odierno di media istruzione semplicemente perché non conoscerebbe il significato di quegli strani simboli inventati sette secoli dopo il suo assassinio; e neppure il + e il –, invenzioni tedesche del 0, 2, 3, 4, XV° secolo; per non parlare del segno = inventato dall'inglese Robert Recorde nel sedicesimo secolo. Forse avrebbe dei problemi anche con l'idea che un'equazione possa avere radici negative. Per quanto riguarda il calcolo, poi, non ci sarebbe speranza.
Ovviamente Archimede avrebbe potuto imparare rapidamente, ma avrebbe dovuto comunque trascorrere del tempo a impadronirsi delle notazioni e ad aggiornarsi su idee che ai suoi tempi non erano in circolazione. E allora Will Hunting come avrebbe potuto, da solo, capire il problema che il professore aveva assegnato ai suoi alunni del MIT? Per quanto dotato, avrebbe dovuto trascorrere meno tempo a bere e di più a studiare.

Ecco una storiella che i matematici si divertono a raccontare:

«Un avvocato, un artista e un matematico discutono che cosa sia meglio: avere una moglie o un'amante? L'avvocato dice la moglie, sottolineando i vantaggi della legalità e della sicurezza. L'artista dice l'amante, enfatizzando il piacere della libertà. Il matematico dice: “Dovreste averle entrambe, così, quando ognuna delle due pensa che siete con l'altra, potete farvi un po' di matematica in santa pace”».

La mano del tintore

Ai matematici nulla piace di più che fare matematica e passare il maggior tempo possibile a farla. Anche gli idiots savants, [1] che sono calcolatori più che veri matematici, trascorrono un'eccezionale quantità di tempo a giocare con i numeri e a risolvere problemi, devono farlo perché c'è sempre moltissimo da imparare. Will Hunting non sembra far niente del genere e non ha nulla di questa passione caratteristica.
Io intendo sostenere che le differenze nelle capacità matematiche – purché il fondamentale Modulo Numerico si sia sviluppato normalmente nel nostro cervello – sono dovute unicamente all'acquisizione degli strumenti concettuali forniti dalla cultura.

La natura, grazie ai geni, fornisce l'equipaggiamento speciale, il Modulo Numerico; tutto il resto é addestramento. Per diventare bravi con i numeri bisogna immergevisi.

Questa è la teoria della «mano del tintore» [2]. Certo, penserete, c'era qualche differenza essenziale e innata tra i bambini della vostra classe, in particolare tra quelli che sembravano trovare facile la matematica e quelli per i quali essa era costantemente una lotta. In particolare, non nego che ci possano essere differenze nella capacità di concentrarsi nel lavoro o nel tipo di cose che si trovano interessanti.

La mia tesi è che non ci sia differenza nelle capacità specifiche innate per fare matematica. Variazioni normali e anormali.
Tutti gli esami di matematica mostrano che esiste una grande dispersione nel livello delle prestazioni, dal migliore al peggiore. Ci sono moltissimi motivi che spiegano perché i bambini vadano male agli esami. Alcuni arrivano a star male fisicamente; per altri, l'ansia è causa di pessimi risultati. C'è chi ha orribili esperienze di vita familiare e chi esperienze ugualmente orribili di vita scolastica.

C'è un test standard usato dal TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) utilizzato per il raffronto di tredicenni e di quattordicenni nelle scuole di 25 paesi (vedi Inserto 7.1). Perciò possiamo raffrontare differenze tra individui in uno stesso paese e tra paesi diversi. In Inghilterra, tolto il migliore e il peggiore 5 per cento dei quattordicenni, la differenza tra il peggiore e il migliore è di circa 300 punti
sulla scala TIMSS. Quanto di essa può essere attribuito a differenze naturali di talento e quanto all'acquisizione delle risorse culturali? Un indizio ci viene dal raffronto tra il paese migliore e il peggiore dell'elenco. Il punteggio medio dei bambini di Singapore (il paese migliore) è di circa 225 punti più alto del punteggio medio dei bambini del paese con la prestazione peggiore, la Repubblica Islamica dell'Iran. Ciò significa che il punteggio medio dei bambini iraniani equivale a quello del 5% peggiore dei giovanissimi di Singapore.
La differenza di prestazione media tra Singapore e l'Iran è sicuramente dovuta alla cultura. Non solo all'insegnamento ovviamente, ma all'atteggiamento nei confronti dell'apprendimento secolare, allo stato delle scuole, alla nutrizione, alla pace, alla guerra e così via. Le differenze tra i migliori studenti di Singapore e i migliori iraniani è ancora maggiore, il che indica come il sistema iraniano funzioni ancora peggio per gli studenti migliori che non per quelli di medio livello. Quanto più a lungo un cammino è esposto ai sistemi dei due paesi, tanto maggiore diventa il divario tra di loro. A nove anni – l'età minima testata dallo studio del TIMSS – la differenza è di 180 punti. Ci fosse stato un test per neonati, la differenza sarebbe stata zero!

Inserto 7.1: Problemi tratti dal TIMSS

Sono qui riportati alcuni esempi di domande poste ad adolescenti di tredici/quattordici anni. Alla fine di ciascun problema, è data la percentuale di tredicenni sottoposti a test che arrivarono alla risposta corretta e anche la percentuale riscontrata nel paese che totalizzò il punteggio più elevato.

1. Frazioni e senso del numero
A. Luke si allena correndo 5 km ogni giorno. II suo percorso è lungo 1/4 di Km.
Quante volte deve percorrerlo ogni giorno?
Risposta: ......
[Media internazionale: 42%; Paese migliore, 72%]

B. Teresa vuole registrare cinque canzoni su una cassetta. La lunghezza di ogni brano è mostrata nella tabella.
Brano Durata
1 2 minuti e 41 secondi
2 3 minuti e 10 secondi
3 2 minuti e 51 secondi
4
4 3 minuti
5 3 minuti e 32 secondi
Stimare al minuto più vicino il tempo totale necessario per registrare tutti i cinque brani, e spiegare come si è arrivati a questa stima.
Stima: .......
Spiegazione:
[Media internazionale: 31%; Paese migliore 74%].

2. Algebra
Se m rappresenta un numero positivo, quale di queste espressioni è equivalente a m+m+m+m?
A. m + 4
B. 4m
C. m^4
D. 4 (m + 1)

[Media internazionale 47 %; Paese migliore 77%]

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POST CORRELATI

- Intelligenza Matematica

- Tabelline e Matematica


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Note:
[1] – Si tratta di gemelli identici che, naturalmente, hanno gli stessi geni.
[2] – È un modo per dire che bisogna sporcarsi le mani, come il tintore che immerge la mano nella tintura per sincerarsi della buona tenuta della tinta.

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Video di YouTube dal film "Will Hunting, genio ribelle"