La Parabola Aurea

Cari ragazzi e lettori,

ecco, per voi, un nuovo contributo dell'amico Gaetano, che è un gingillo per la sua originalità.

Nel file allegato, è sviluppata l'idea di Gaetano di poter disegnare una specifica parabola, da lui denominata aurea perché attinente la nota sezione aurea. Il contenuto, cari ragazzi, è alla vostra portata soltanto per quel che riguarda l'elaborazione grafica del metodo illustrato. E, infatti, lo affronteremo in classe.

Il resto, oltre ai grafici, vale per gli amici adulti, appassionati di Matematica e in possesso delle necessarie competenze strumentali per poter seguire il metodo illustrato.

Riporto, di seguito, l'introduzione del documento, che potrete scaricare alla fine del post.

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LA PARABOLA AUREA

 

L'ALBA DELL'INTELLIGENZA MATEMATICA

Nelle raffigurazioni dell'antico Egitto, come questa accanto, tratta dall'affresco della cappella funeraria di Thutmose III (XV secolo a.C.), l'umano è quasi una realtà astratta tale da dubitarne, se non fosse per i colori morbidi e densi di calore. I geroglifici hanno questo potere, simili a immaginari strumenti nelle mani di ipotetici geni. Come quest'essere in atto offerente verso il faraone Thutmose III che qui non si vede.

La vita, in questo contesto, può intravedersi in quei due rivoli sgorganti dall'anfora nella destra del nobile dignitario. La ravvisata vita dà l'idea che provenga dal suo strano indumento, visibilmente intonato ad una geometria monumentale nota in Egitto, la piramide: quella di Cheope in particolare. A questo punto non ci vuole molto per immaginare una scienza in azione in tutto ciò, a cominciare dai rivoli parabolici e per completare il perfezionamento con la sezione aurea cui è congegnata la piramide. Ma come capire l'arcano della genialità che vi si sprigiona se non attraverso il segno del cuore che è nella destra del servitore fedele?

Qui occorre possedere immaginazione per supporre un altro sgorgare, ma dall'ignoto. Ecco dove inizia la nobile funzione del dignitario dei due rivoli energetici, della matematica, in questo caso, e dove risiede il potenziale della funzione regale del genio del suo inaccessibile mondo delle cause: proprio nel cuore degli uomini, appunto.
Che dite? Se il segno della piramide della sezione aurea è la fonte e meccanica intermediatrice dell'armonia di tutte le energie, le due parabole da cui esse sembrano transitare per riversarsi nei due slanciati contenitori, non possono che ritenersi auree anch'esse.

Ma sappiamo della sezione aurea, del rettangolo aureo, della spirale aurea, di un angolo aureo, ma non di una parabola aurea.

Ed è appunto l'intravisione di questa aurea parabola il tema del presente scritto, ma sorge subito nel lettore questa domanda a ragione del titolo “La parabola aurea”:

"Perché i due rivoli energetici nell'immagine egizia e non uno, se la mia introspezione allegorica è sostenibile?"

La risposta verrà alla fine nel far capire la doppia natura della sezione aurea, il segno della sua regalità.

 UNA E-MAIL INASPETTATA

Una inaspettata e-mail giunta da un giovane studioso della sezione aurea, di Padova, ha riaperto in me una parentesi nuova su questa concezione antica quanto il mondo. Me se sono occupato tanto che credevo di ritenere appagato il mio interesse su di essa, invece no. In seguito, dopo aver letto lo scritto pervenutomi ho capito che la visione che avevo della sezione aurea era incompleta: occorreva capire che la sua auricità, quale attributo regale, non poteva sussistere senza una meravigliosa corte di peculiari numeri intorno a sé per farle da auro manto.

Il messaggio diceva proprio questo, con merito che riconosco nel suo latore preso dall'entusiasmo di costatare a modo suo “il primato della sezione aurea” che così titolava il suo studio matematico.
Niente di meglio, allora, che intraprendere un ulteriore attrattivo viaggio nel mondo di questa illustre concezione matematica e cominciare a riparlarne, iniziando naturalmente dai noti ragionamenti matematici sulla sezione aurea e così procedere poi a trattare le cose nuove  che il dottor Andrea Salmaso, il latore della suddetta e-mail, mi ha gentilmente recapitato e che  doverosamente allego al presente scritto [1].

LA CORTE DEI NUMERI INTERI
DELLA SEZIONE AUREA

La geometria della sezione aurea parla del segmento aureo, parla del rettangolo aureo e poi della spirale aurea che vi deriva. Ma parla ancora dell'angolo aureo (come quello che è servito per far delineare la piramide di Cheope, per esempio).

Tutto questo è meraviglioso e non si è fatto che redigere libri che ne hanno diffuso i dettami, ma c'è da chiedersi: è tutto qui il suo top?

Se è stata capace di ispirare, prima d'altro la natura per plasmare il creato e il creatore dell'uomo stesso, e poi gli artisti e architetti per strutturare in anteprima le loro opere, tanto più la scienza matematica che grazie ad essa ogni cosa esistente vi è meravigliosamente intonata.
Dunque la geometria della sezione aurea deve andare ben oltre le suddette geometrie, e perché non rivelarsi attraverso qualche peculiare curva a mo' di emiciclo regale, oltre alla spirale aurea suddetta?

Con il mio saggio «L'angolo aureo» si è visto che la sezione aurea è presente in tutte le curve geometriche a partire dalle note coniche, ellisse, parabola e iperbole. Ma della concezione della sezione aurea, incuriosisce non poco la peculiarità matematica che vi riguarda e che si concentra sul suo valore (1+√5)/2, a tutti noto. Infatti è su questo che il dottor Andrea Salmaso ha concentrato tutta la sua attenzione per dar luogo a interessanti singolarità, come dirò fra poco.

Sappiamo già che il 5 sotto radice di questa formula deve essere speciale, tant'è che dalla sezione aurea deriva la costruzione del pentagramma. E gli altri numeri interi oltre al 5 che fanno? Viene da chiedersi incuriositi. Vi sono estranei o vi concorrono?
Intanto si può sapere facilmente che, attraverso la stessa formula del 5 sostituito con altri numeri interi, non sembrano riscontrarsi relazioni con quello della sezione aurea. Tuttavia col pervenirmi del messaggio di Salmaso, si rischiara l'orizzonte sul nesso dei numeri suddetti col 5 della sezione aurea.

Ma facciamo un passo alla volta per giungere poi a questa scoperta di Salmaso che è poi una cosa sotto gli occhi di tutti ma che non vi si è dato mai rilevanza.
Intanto non guasta ripescare le arcinote nozioni di base della sezione aurea, poi tutto sarà più facile per procedere oltre.
 
In matematica, la sezione aurea o media ragione di un segmento AB, è quella parte AX che è media proporzionale tra l’intero segmento e la rimanente parte XB. In particolare si può definire questa concezione con la seguente espressione di calcolo:

AB:AX=AX:XB

Ora, omettendo il dettaglio matematico del calcolo della sezione aurea e della relativa esecuzione grafica, il valore che se ne ricava si sintetizza nella semplice equazione

AX=(1+√5)/2

di cui AX, tradotto in cifre, è 1,618...

Ma si deve ritenere aureo anche il suo inverso, ovvero 2/(1+√5), perché non cambiano le cifre decimali ma solo l'1 iniziale che diventa 0.
Finalmente si ha modo di riprendere il ragionamento sul nesso dei numeri interi sostituibili al 5 sotto radice della AX=(1+√5)/2 e inversa della sezione aurea. Giusto in relazione della suddetta missiva in merito di Andrea Salmaso.

Ma cosa dice di così interessante Salmaso in merito a questi numeri interi sotto radice in relazione al 5 della formula suddetta, normale e inversa?
Per ciò che interessa il tema del nesso in causa, si può sintetizzare, come segue, la cosa.

Egli parte da AX = (1+√5)/2, che sappiamo e che per semplicità indicheremo con(1+√5)/2 = x, di quà poi Salmaso rileva che x^2–x =1.
Fin qui nulla che non si sapeva, ma non si sapeva esplicitamente che sostituendo al 5 sotto radice altri numeri interi si presentava – secondo Salmaso – un quadro assai interessante e vedremo poi perché.
Ecco riepilogato una serie di casi, limitata ai numeri sotto radice da 2 a 9.

1. [(1+√2)/2]^2–(1+√2)/2=1/4;
2. [(1+√3)/2]^2–(1+√3)/2=1/2;
3. [(1+√4)/2]^2–(1+√4)/2=3/4;
4. [(1+√5)/2]^2–(1+√5)/2=1;
5. [(1+√6)/2]^2–(1+√6)/2=1+1/4;
6. [(1+√7)/2]^2–(1+√7)/2=1+1/2;
7. [(1+√8)/2]^2–(1+√8)/2=1+3/4;
8. [(1+√9)/2]^2–(1+√9)/2=2.

Pitagora sembrava essere stato sconfitto dal fatto che l'ipotenusa del quadrato di lato 1 dava per risulato √2, ossia un numero irrazionale, ma poi si scopre che il numero intero lo si ritrova col 2 generando un successivo quadrato di lato √2 attraverso la sua diagonale.

Con meraviglia però, ora c'è molto di più, i numeri irrazionali compreso quello della sezione aurea, si ricompongono in un singolare panteon di numeri interi, se pur sotto frazione alcuni.
A buon ragione si può immaginare che questi numeri facciano da corte al numero 1 che riguarda la discussa sezione aurea.

Questo è, in sintesi, il “tesoro del campo” scoperto da Andrea Salmaso, ma come fare per servircene così come è stato per la geometria della sezione aurea, del rettangolo aureo e così via?

Ovvero per i valori suddetti – mettiamo quelli da 2 a 9 – può trovarsi una geometria confacente tale da poterla realizzare con l'uso di riga e compasso?

La risposta è sì decisamente ed ora lo dimostro.

Seguite la dimostrazione, leggendo il file allegato.

Scarica il file .pdf. 

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