Il Triangolo di Curry [Giochiamo Con La Geometria]

Ragazzi di tutte le classi, ormai siamo giunti alla fine dell'anno scolastico con una settimana di anticipo. Gruppetti delle varie classi questa notte partiranno alla volta della Germania per il progetto Gemellaggio. A voi alunni della classe 1°A oggi ho assegnato i compiti per le vacanze perché, tra preparativi per la festa di fine anno,  interruzione del due Giugno e uscite didattiche per accompagnare i ragazzini tedeschi che arriveranno all'inizio della prossima settimana, non avrò più modo di vedervi!

Ho pensato allora di proporvi un paradosso geometrico interessante su cui vi potete cimentare tutti. Sono graditi gli interventi di amici e lettori, of course! 

Vediamo di cosa si tratta. In geometria, molti inganni dipendono da disegni costruiti in modo non corretto, come quello che vi propongo, noto come il triangolo di Curry o paradosso di Curry.

Secondo Martin Gardner il rompicapo in questione fu inventato nel 1953 da Paul Curry, un prestigiatore di New York City, universalmente noto per essere l'autore di un dei più semplici e straordinari giochi di prestigio con le carte, il celebre Out of this world (pagina di wikipedia in inglese). Nonostante questo, il principio delle evanescenze geometriche è conosciuto almeno fino dal 1860 circa.

Vediamo come procedere! Disegnate su un foglio di carta a quadretti un triangolo isoscele con la base di 10 quadretti e l'altezza di 12 quadretti.

Dividete il triangolo in sei parti come indicato nella figura seguente.



Colorate ogni parte, disponetele tutte capovolte e ricostruite il triangolo.



Disponete ora una parte capovolta e una no, come indicato nella figura riportata di seguito.



Nel primo caso, potete osservare che l'area si è ristretta di due quadretti (la figura presenta infatti un foro pari a due quadretti), mentre nel secondo caso si è ristretta di un quadretto. Cosa è successo? Qualcosa non va...ma cosa?

Provate a formulare la soluzione, indicandola nei commenti al post!

Qui potete trovare un'animazione del paradosso di Curry, in lingua inglese.

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Ci Sono Sempre Due Probabilità? (Una Istruttiva Storiella)

Cari ragazzi, siamo ormai alle ultime battute. In pratica, ci rimane una settimana di lezione perché gruppetti di alunnni delle varie classi, alla fine di maggio, andranno in Germania e poi ci sono i preparativi per la consueta festa di fine anno scolastico...

Insomma, siamo in dirittura di arrivo! Allora rilassiamoci un po' con una gustosa e divertente storiella scritta per noi dal nostro nuovo amico Pier Luigi Zanata, giornalista professionista, simpatico ed ironico oltre che molto in gamba.

Grazie di cuore Pierluigi!

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Ultimi giorni di scuola...

La professoressa di matematica spiega:

‘’Nel linguaggio corrente si sentono spesso frasi del tipo: ‘’è probabile che fra poco piova’’, ‘’con questo titolo di studio vi sono poche probabilità di trovare lavoro’’, ‘’se non studiate è probabile che veniate bocciati’’.

Utilizziamo frequentemente il termine ‘’probabilità’’ quando ci riferiamo a situazioni incerte, a fenomeni che possono o non possono verificarsi, ma nel linguaggio comune il concetto di probabilità é per lo più generico. Tale concetto è associato a quello d’evento aleatorio, intendendo distinguere, in questo modo, gli eventi certi, che si verificano sicuramente, da tutti quegli eventi il cui verificarsi dipende esclusivamente dal caso, detti appunto eventi aleatori o casuali.

Consideriamo il seguente  problema:

Se lancio una moneta  e chiedo qual è la probabilità di ottenere ‘’testa’’, si ha la risposta: ‘’Nel 50% dei casi si presenta "testa", nell’altro 50% si presenta "croce"’’. Si preferisce affermare che la probabilità di avere ‘’testa’’ è ½.
Da questo semplice esempio Laplace ha tratto la cosiddetta definizione di probabilità secondo la concezione classica:

La propabilità P(E) di un evento E è il rapporto fra il numero m dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e il numero n dei casi possibili, giudicati egualmente possibili

la probabilità è un numero razionale p compreso tra 0 e 1
Il numeratore m è il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell’evento e quindi è minore, o al più eguale, al numero n di tutti i casi possibili, che è al denominatore. In particolare:
1) se m = 0, ossia se non esistono casi favorevoli al verificarsi dell’evento, l’evento è detto impossibile e la sua probabilità è nulla: P(E) = 0;
2) se m = n, ossia se tutti i casi sono favorevoli al verificarsi dell’evento, l’evento è detto certo e la sua probabilità è 1: P(E)=1.
"Mi sono spiegata?’’
Tutti fanno sì con la testa.
‘’Bene la prossima volta compito in classe’’.

 

L’indomani davanti alla scuola un gruppetto di studenti discute se ci sarà o meno il compito in classe di matematica, quello decisivo per essere promossi o bocciati.

Uno dice:
‘’Io non ho paura. E’ comunque ci sono due probabilità. O non c’è il compito in classe e allora va tutto bene, oppure ci sarà e allora ci sono due probabilità. O il compito è facile e allora va tutto bene, o se la prof  fa la carogna ci sono due probabilità. O riesco a risolvere il problema e allora va tutto bene oppure non riesco a risolverlo. Comunque, ci sono sempre due probabilità. O riesco a copiarlo e allora va tutto bene o non riesco a copiarlo. Ci sono, comunque, due probabilità. La prof  non mi scopre e allora va tutto bene oppure si accorge che ho copiato. Allora ci sono due probabilità. O fa finta di nulla e allora va tutto bene o fa la carogna. Comunque ci sono sempre due probabilità. Se fa finta di nulla sono promosso e allora va tutto bene, oppure sono bocciato…

Ma poi dove sta scritto che devo essere bocciato?

D’altronde su Wikipedia ho trovato che la definizione di probabilità secondo Laplace ha qualche punto debole, per esempio secondo i frequentisti … ’’.

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Carina la storiella vero? Ma anche istruttiva! Il prossimo anno tratteremo la Statistica, una Scienza che ha come fine lo studio qualitativo e quantitativo dei fenomeni collettivi, e la Teoria della probabilità.

Sono sicura, conoscendovi, che qualcuno di voi sta storcendo il naso!

Mi sembra di sentirlo: "Anche questa Statistica e questa Teoria della probabilità ci mancavano!"

Tranquilli! Non sono argomenti noiosi né difficili, ma ne riparlermo il prossimo anno!

Saranno graditi (come sempre) i vostri commenti all'articolo di Pier Luigi.

Buon Compleanno Anche A Matem@ticaMente

Cari ragazzi, amici e lettori,

il 20 maggio  è stato il compleanno di Scientificando. A distanza di due giorni, esattamente il 22 maggio di un anno fa, nasceva il fratello MatematicaMente!

Insieme i due fratellini hanno iniziato a muovere i primi passi nella blogosfera, senza battute di arresto.

Non voglio dilungarmi in Amarcord caramellosi...e arrivo subito al sodo, augurando "buon compleanno" al secondo nato!

 

 

Per festeggiare nello stile di Matem@ticaMente, lascio il link ad un gioco online molto divertente: "I/O" - A Simpleandy Puzzle, facile e intuitivo da giocare, senza bisogno di istruzioni.

Vai al gioco online>>

Tabelle E Grafici Con Excel [Esercitazione Di Cecilia]

Cari ragazzi, pubblico di seguito alcuni grafici e tabelle realizzate con Excel da Cecilia di 2°A, durante le ore pomeridiane dedicate alle attività facoltative/opzionali di Laboratorio informatico.

Sono ancora le prime nozioni su questo potente e flessibile applicativo. Pertanto, la vostra compagna è stata brava ad ottenere i risultati che potete vedere nei tre file .xls zippati.

Riporto di seguito un istogramma realizzato con Excel e riguardante la rappresentazione grafica dei dati contenuti in una tabella, che troverete nel file da scaricare. La tabella riporta le percentuali relative al contenuto dei diversi principi alimentari in alcuni gruppi di alimenti.

Ops, mi sono accorta in questo momento che nel grafico hai scritto erratamente "magliale" invece di "maiale".  Fai attenzione, mi raccomando!

Brava comunque Cecilia!                                                      

Scarica i tre file Excel>>

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- Le Quattro Operazioni Con Excel [Esercitazione]

Il Mondo Delle Trasformazioni Geometriche [Learning Object]

Cari colleghi, metto a disposizione un Learning Object (LO) sulle trasformazioni geometriche, come mi è stato ripetutamente richiesto.

Ragazzi, anche se non abbiamo trattato sistematicamente l'argomento, ci è capitato di parlare di simmetrie (un tipo di trasformazione geometrica) in alcune situazioni. Il LO è inoltre intuitivo e di facile comprensione. Scaricatelo sul PC, dezippatelo in una cartella e lanciate il file html "Start". Non occorre installare nulla perché  il LO è autoconsistente.

Ho prodotto il Learning Object, come altri già pubblicati, per Garamond nell'ambito del Progetto Ministeriale "Apprendere Digitale".

Riporto di seguito alcuni elementi didattici che lo riguardano.

Argomenti
- Il concetto di trasformazione geometrica
- Tipi di trasformazioni geometriche: isometrie, affinità, proiettività, topologie

Obiettivi
- Acquisire il concetto di trasformazione geometrica
- Individuare le modalità con le quali una figura geometrica può trasformarsi
- Saper riconoscere i vari tipi di trasformazioni geometriche e discriminare le loro caratteristiche pecualiari

Prerequisiti
- Conoscenza degli enti geometrici fondamentali
- Conoscenza del concetto di distanza e proiezione

Troverete delle simulazioni, verifiche interattive da svolgersi online, pagine tutoriali, di approfondimento e di glossario. Il LO è introdotto da un messaggio audio, che potrete ascoltare, accendendo le casse acustiche prima di lanciarlo.

Seguono due schermate, di cui la prima è relativa ad una simulazione dinamica.

La seconda si riferisce a una pagina di verifica.

Scarica il Learning Object sulle trasformazioni geometriche >>

Se vuoi saperne di più sui LO, vai qui >>

Scarica altri LO su questo blog >>

Insegnanti Blogger, Una Nuova Generazione Di Docenti

Cari ragazzi e lettori,

segnalo di seguito un interessante articolo, pubblicato sull'ottimo blog di divulgazione scientifica "Gravità Zero", avente lo stesso titolo di questo post.

Nell'articolo in questione, è citato il nostro blog Matem@ticamente. Un ringraziamento sentito alla Redazione.

Riporto di seguito l'introduzione:

"Navigando nella blogosfera si sta facendo più comune l’esperienza di incontrare blog di docenti oppure blog di classe, i numeri sono ancora bassi, ma una nuova generazione di docenti che tra dispense cartacee e appunti scritti alla lavagna ha deciso di utilizzare un blog sembra essere nata.

In effetti i blog possono trovare diverse applicazioni nella didattica così come stanno sempre più diventando uno strumento efficace di divulgazione scientifica.

Gli insegnanti tradizionali potrebbero chiedersi quale applicazione i blog possono trovare tra i banchi di scuola e se vale davvero la pena sottrarre tempo, che in classe spesso scarseggia, alle attività didattiche più consolidate.

Gli usi che un WebBlog può trovare in classe sono molti ad esempio i ragazzi possono curare un blog tematico con post di approfondimento su uno specifico argomento oppure tenere un diario online di classe in cui l’insegnante ricorda compiti e scadenze.
Vi segnaliamo qualche esempio online, blog didattici molto diversi tra loro sia per tematiche che per il ciclo di studi in cui sono proposti:

"la nostra matematica" di Annarita Ruberto ..."

Continua a leggere il post originale >>

I Criteri Di Divisibilita' per 2, 3, 5, 9, Con Esercizi

Cari ragazzi, amici e lettori,
come seguito del post su “Multipli E Divisori Di Un Numero Naturale”, ecco a voi  un secondo articolo di Filippo M. e Manuel M. sui criteri di divisibilità.
Ragazzi vi siete impegnati molto, pertanto voglio dirvi: “Bravi”
                                                                        *****
Dalla lezione, svolta in classe, abbiamo compreso che:

I criteri di divisibilità sono delle regole che permettono di verificare la divisibilità di un numero per un altro numero,  senza eseguire esplicitamente la divisione.

Per la precisione, consistono in una serie di operazioni da svolgersi  sulle cifre che compongono il numero. Tali operazioni dovrebbero essere sufficientemente semplici da potersi fare a mente o, comunque, essere più rapide rispetto alla divisione.
In definitiva, abbiamo compreso che  i criteri di divisibilità costituiscono un modo per snellire di un bel po’ la ricerca dei divisori di un numero. La prof. ci anticipa che utilizzeremo i criteri di divisibilità nella scomposizione di un numero in fattori primi.
Iniziamo con il criterio di divisibilità  più semplice.
- Criterio di divisibilità per 2
Abbiamo considerato alcuni multipli di 2:
M(2) = [ 2, 4, 6, 8, 10, 22, 34, 46,…]
La prof. ci ha fatto riflettere sul fatto che essi sono tutti numeri pari, per cui abbiamo dedotto che:
Un numero è divisibile per  2 se termina con una cifra pari (ricordiamo che lo zero è considerato un numero pari)
ESEMPI:
14 è divisibile per 2
23 non è divisibile per 2
- Criterio di divisibilità per 5
La prof. ci ha fatto considerare alcuni multipli di 5:
M(5)= [5, 10, 15, 20, 25, 30, 35…]
Avendo notato che tutti i numeri terminano per cinque o per zero, abbiamo concluso che:
Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque.
ESEMPI:
55 è divisibile per 5 perché termina con cinque
60 è divisibile per 5 perché termina per zero
37 non è divisibile per 5 perché non termina né per cinque né per zero.
- Criterio di divisibilità per 3 e per 9
La prof. ci ha fatto considerare  alcuni multipli di 3 (li ha scelti appositamente):
M (3)= [ 3, 6, 9, 12, 24, 36, 90,…132,…222, …351]
E alcuni multipli di  9:
M(9)= [9, 18, 27, 36, 90, …369,…432,…8919]
Per i numeri sino a due cifre, è stato facile  verificare la divisibilità per 3 e per  9; poiché per quelli con più di due cifre, non eravamo convinti che fossero multipli di 3 e di 9, la prof. ci ha fatto eseguire la divisione in colonna. In tutti i casi considerati, il resto ottenuto era 0.
Abbiamo osservato che i numeri sopra elencati possono essere sia pari che dispari, perciò la tipologia pari/dispari non è un elemento discriminante ai fini della loro divisibilità per 3 (o per 9).
Dopo varie considerazioni, qualcuno di noi ha osservato che, nel caso dei multipli di 3, la somma delle loro cifre è sempre un multiplo di 3.
A questo punto, abbiamo verificato che anche i multipli del 9, sopra considerati, si comportano allo stesso modo.
Siamo, quindi, giunti alla conclusione che:
Un numero è divisibile per  3 (o 9) se la somma delle sue cifre è multiplo di 3 (o di 9):
ESEMPI:
12 è divisibile per 3     perché 1+ 2= 3
24 è divisibile per 3     perché 2+ 4= 6
3 e 6 sono multipli di 3.
16 non è divisibile per 3    perché  1+6= 7 , che non è multiplo di 3
18 è divisibile per 9  perché 1+ 8= 9
369 è divisibile per 9 perché 3+ 6+ 9= 18
9 e 18 sono multipli di 9.
457 non è divisibile per 9    perché  4+5+7= 16
16 non è multiplo di 9
Abbiamo, infine, osservato che quando un numero è divisibile per 9 lo è anche per 3, mentre non vale il viceversa.
Osservate un po’:
18, 27, 36, 54, 63 si trovano sia nella tabellina del  9 che del 3;
6, 12, 24 si trovano soltanto nella tabellina del 3!
Per finire, vi proponiamo alcuni esercizi (che anche noi abbiamo svolto) mediante i quali potrete verificare la vostra comprensione di quanto esposto.
Esercizi
n.1
Un numero è divisibile per 2 se:
a.Una delle sue cifre è  pari;
b.la sua ultima cifra è pari;
c.ha un numero pari di cifre.
n. 2
Un numero è divisibile per 3 se:
a.la somma delle sue cifre è un multiplo di 3;
b.la differenza delle sue cifre è un multiplo 3;
c.termina con le cifre 3, 6, 9.
n. 3
Un numero è divisibile per 5 se:
a.La somma delle sue cifre è un multiplo di 5;
b.ha come ultima cifra il numero 0 oppure 5;
c.la differenza tra le cifre di posto dispari e quelle di posto pari è multiplo di 5.
n. 4
Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 2:
6, 9, 11, 16, 28, 33, 44, 50, 194, 348.
n. 5
Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 3:
5, 6, 21, 22, 23, 30, 33, 45, 69.
n. 6
Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 5:
6, 10, 15, 20, 22, 23, 30, 33, 35, 47, 51, 60.
n. 7
Scrivi al posto dei puntini una cifra tale da rendere il numero divisibile sia per 3 che per 9.
3…; 10…; ….1; …71; …56; 4…2; 1…27; …57; 77…
Potete scaricare il .pdf di questo articolo cliccando qui.

Alla prossima!
Finito l'articolo dei ragazzi, intervengo per segnalare alcune utili risorse reperibili in rete:

Esercizi interattivi online sui criteri di divisibilità >>

Software sulla divisibilità, da scaricare e installare sul pc >>

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6+6+6...non solo numeri!

Cari ragazzi, amici e lettori,

Matem@ticaMente tratta di Matematica e argomenti affini, ma con questo post farò uno strappo alla regola, introducendo una specie di gioco di società, mediante il quale terrò in vita una catena passatami dall'amico Enzo, che a sua volta l'ha ricevuta da me, che la avevo ricevuta da...

Il blogging è comunicazione e interazione, colgo perciò l'occasione di linkare alcuni blog di persone che stimo.

Queste le regole del gioco:

Indicare il blog che vi ha nominato con annesso link.

•Descrivere le regole di svolgimento
•Scrivere 6 cose che si preferisce fare
•Nominare altri 6 blog tramite i quali dovrebbe proseguire il meme
•Lasciare un commento su tutti e 6 i blog appena citati

Non indico qui le 6 cose che amo fare, ma vi rimando alla lettura del  post su web 2.0 and somethingelse, su cui le ho già eplicitate, in un altro passaggio della stessa catena.

Infine, nomino 6 blog che apprezzo per diverse ragioni.

1. Laboratorio Archeologia, conosciuto da poco. Blog interessante, condotto con sapienza e garbo da Anna Rita Vizzari... E poi non si incontrano molti blog  dedicati all'Archeologia... che non annoino e si lascino apprezzare!

2. Oggi, che si fa prof? Blog gestito con intelligenza da una collega di Scienze, ove sono trattati con approccio personale diversi argomenti inerenti la Scuola e la società in generale.

3. Cogito ergo sum, bel blog ove si trattano svariati argomenti, dal sociale, alla politica, ad elementi di cultura generale, il tutto senza mai annoiare e con estrema intelligenza.

4. LineGuides, un blog tecnico gestito con perizia da un giovanissimo ragazzo, Andrea Cirioni. Andate a visitarlo per rendervi conto di quanto possano essere capaci i giovani.

5. Con gli occhi di Giuseppe, il blog didattico di Salvo Menza, che tratta con competenza di grammatica generativa, educazione linguistica, metodo Montessori.

6. Diego Garcia, blog accattivante, gestito da giovani ragazzi, che si interessa di vari argomenti: ambiente, società, politica e altro.

Cari nominati, non siete obbligati a continuare la catena, ma sarebbe carino farlo. E' soltanto un piccolo divertissement mediante cui interrompere la routine.

Passo e chiudo!