Ho pensato allora di proporvi un paradosso geometrico interessante su cui vi potete cimentare tutti. Sono graditi gli interventi di amici e lettori, of course!
Vediamo di cosa si tratta. In geometria, molti inganni dipendono da disegni costruiti in modo non corretto, come quello che vi propongo, noto come il triangolo di Curry o paradosso di Curry.
Secondo Martin Gardner il rompicapo in questione fu inventato nel 1953 da Paul Curry, un prestigiatore di New York City, universalmente noto per essere l'autore di un dei più semplici e straordinari giochi di prestigio con le carte, il celebre Out of this world (pagina di wikipedia in inglese). Nonostante questo, il principio delle evanescenze geometriche è conosciuto almeno fino dal 1860 circa.
Vediamo come procedere! Disegnate su un foglio di carta a quadretti un triangolo isoscele con la base di 10 quadretti e l'altezza di 12 quadretti.
Dividete il triangolo in sei parti come indicato nella figura seguente.
Colorate ogni parte, disponetele tutte capovolte e ricostruite il triangolo.
Disponete ora una parte capovolta e una no, come indicato nella figura riportata di seguito.
Nel primo caso, potete osservare che l'area si è ristretta di due quadretti (la figura presenta infatti un foro pari a due quadretti), mentre nel secondo caso si è ristretta di un quadretto. Cosa è successo? Qualcosa non va...ma cosa?
Provate a formulare la soluzione, indicandola nei commenti al post!
Qui potete trovare un'animazione del paradosso di Curry, in lingua inglese.
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Nessuno vuol farsi interrogare?
RispondiEliminaIo dico che a un buon matematico non fa male imparare a disegnare e così avere occhio geometrico per non farsi ingannare da questo stupido gioco. È vero, il matematico lo può risolvere immediatamente ricorrendo alla similitudine dei triangoli, ma il buon disegnatore, anche se non è tanto preciso, ha il piacere di vedere dov'è l'errore in questo caso.
Ecco, questa è un'occasione per raccomandare di non trascurare mai il disegno.
Gaetano
Mi sono lasciato prendere dalla mano, definendo "Il triangolo di CurrY" uno "stupido gioco". Chiedo scusa.
RispondiEliminaMa è lo zelo per la geometria che qui viene ingannata e questo non si può ammettere, anche per il "disegnatore" in me.
Gaetano
Permettetemi una piccola intromissione e digressione con il parodosso di Bertrand Russel, filosofo inglese. Dice: ''L' insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi e' o non e' un elemento di se stesso?''. Per voi matematici non e' un problema.
RispondiEliminaDue altri logici, Grelling e Nelson, hanno prodotto una versione piu' semplice con un paradosso semantico (ecco dove sta l' intromissione e digressione), che opera sul concetto di parole che si riferiscono a se stesse.
Eccolo: ci sono due generi di parole, quelle che descrivono se stesse (autologiche) e quelle che non descrivono se stesse (eterologiche).
Autologiche sono ''corta'', che e' una parola corta, ''polissillabico'', che ha piu' sillabe. Eterologiche sono ''inglese'', che non e' inglese, e ''monosillabico'', che non ha una sola sillaba.
La domanda e': ''eterologico'' e' autologica o eterologica? Se e' autologica, allora e' eterologica. Se e' eterologica, allora e' autologica.
Un altro esempio, che dovrebbe chiarire il concetto: ''c' e' un barbiere che fa la barba a tutti i concittadini, e solo ai concittadini che non se la fanno da soli.
Il barbiere si fa la barba?
se la fa no. Se se la fa, si'.''
Un bel rompicapo.
Come vedete i paradossi possono essere logici, geometrici e semantici.
C' e' proprio da divertirsi.
Buona domenica (eterologica o autologica?).
Un abbraccio
PL
Assai utile la tua disgressione sul paradosso, Pier Luigi, perché perfeziona un argomento già discusso in Matem@ticaMente. Si tratta di un post di febbraio u.s., "Tra Musica e Matematica: le variazioni Goldeberg" (vedi categoria musica). In questa occasione intervenni con un commento in relazione a due paradossi, il “Canon Triplex a 6 voci” di Bach e “Gallerie di stampe” di Escher. Di qui una semplificazione di problematiche che riguardano il rapporto tra illusione e realtà, citando la "teoria dei tipi" di Russel e Whitehead. Si possono così evitare questi “strani anelli” che collegando e confondendo realtà ed illusione finiscono spesso per partorire pericolosi paradossi. Basta creare infatti una gerarchia organizzatrice delle strutture matematiche e non solo matematiche per cui una struttura (l’insieme di tutti gli insiemi) non può appartenere a sé stessa in quanto è di un tipo superiore a quello degli oggetti che la costituiscono.
RispondiEliminaCiao Gaetano
Caro Gaetano mi fai ricordare il ''tipo ideale'' di Weber, che rappresenta per dirla con le sue parole ''un quadro il quale non e' la realta' vera e propria, ma tuttavia serve ne' piu' ne' meno come schema in cui la realta' deve essere sussunta come esempio; esso ha il significato di un pur concetto limite ideale, a cui la realta' deve esssere misurata e comparata, al fine di illustrare determinati elementi significativi del suo contenuto empirico''.
RispondiEliminaQuesto quadro pero, ahime', e' un' utopia.
Annarita scusa questa mia ulteriore digressione, ma in un post di paradossi...
Ti consiglio per evitare queste mie intromissioni di costruire un paradosso... il tipo ideale sarebbe murario, ma in internet non e' possibile.
Buona domenica a te e Gaetano.
Un abbraccio cumulativo
PL
Pier Luigi, puoi fare tutte le digressioni che credi perché sono piacevolissime e istruttive.
RispondiEliminaI miei ragazzi gradiranno un post riassuntivo delle storielle tue e di Gaetano. Lo farò più in là.
In questo periodo sono presissima da impegni pressanti di fine anno e mi dispiace non poter rispondere ai vostri, tuoi e di Gaetano, "solleticanti commenti".
Ma abbiate pazienza che mi liberò e troverò il modo e il tempo.
Voi, intanto, continuate pure con i vostri stimolanti interventi.
E' un piacere leggervi e gustare la vostra compagnia "virtuale"!
Un abbraccio a entrambi.
anarita:)
Cara Annarita e' il tuo blog che e' prezioso per far allenare la mente, di matematici e non. Non avevo mai pensato di navigare tra i blog scientifici. Ho scoperto un mondo fantastico, soprattutto sono straordinari i blog realizzati dai prof con l' ausilio dei loro ragazzi. Questo e' il modo intelligente di fare scuola.
RispondiEliminaTu straordinaria e i tuoi ragazzi altrettanto straordinari. Bravi! Braviiii! Bravissimiiiii!
Ancora buona domenica, a te, a Gaetano ai tuoi ragazzi.
PL
Un caro saluto in questa giornata di festa...che purtroppo vola via, Fabio.
RispondiEliminaScusami, cara Annarita, ma con la figura che ho fatto l'altra volta ora ci penso due volte prima di pronunciarmi e preferisco aspettare e leggere i commenti dei tuoi ospiti che ho molto apprezzato. Grazie a P.L. e Gaetano per i loro interventi. Ciao Prof, buon blog.
RispondiEliminaCaro Enzo, ma dai! Comunque rispetto la tua volontà. Vediamo se i miei ragazzi ci provano non appena si liberano dell'impegno della festa di fine anno.
RispondiEliminaA presto:)
Un caro saluto anche a te, Fabio. Ci sentiamo presto:)
RispondiEliminaCiaoo! mi chiamo Sofia e sono un' alunna della professoressa Annarita...
RispondiEliminaDevo dire che questo post sul Triangolo di Curry è davvero molto interessante ma..... Non riesco proprio a capire come mai, scomponendo il PRIMO TRIANGOLO, l' area del SECONDO TRIANGOLO non è uguale a quella del PRIMO TRIANGOLO... è un vero " enigma"!!!!
Sofia, Marco H. ha trovato la soluzione nel laboratorio informatico, dopo che hai scritto il tuo commento. Mi auguro che te ne sia resa conto. Ad ogni modo, appena avrò un po' di tempo pubblicherò la soluzione.
RispondiEliminaSalve Prof, passavo di qui per caso ed ho notato che il link in alto "Out of This World" punta ad una voce Wikipedia che riguarda un album del gruppo "Europe" :) Sembra che la voce interessata non ci sia in Italiano, ma la si trova facendo una ricerca nella pagina inglese...
RispondiEliminacordialità,
Andrea.
Hai ragione, Andrea. Grazie! Adesso sostituisco il link alla pagina di wikipedia in inglese!!!
RispondiEliminail foglio a quadretti del primo triangolo ha i quadretti più grandi
RispondiEliminaHo commesso un errore. Scusatemi. I due fogli a quadretti sono uguali. Però, provate a trascinare la fig. 2 sulla fig. 1 col mouse e fate combaciare i vertici, vedete che c'è una variazione sulla lunghezza della base.
RispondiEliminaDopo un attenta riflessione ho notato che non si può parlare di due triangoli, piuttosto di due figure irregolari di 5 lati. Quelli che sembrano i lati opposti di due triangoli isoscele sono in realtà quattro segmenti, questo perché le ipotenusa dei due triangoli rettangoli (quello grande e quello piccolo) non sono parallele. Da ciò deriva il fatto che si hanno due figure irregolari di area corrispondente ma di diversa forma.
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