Lo Zero "0": E' Un Numero Naturale, Sì o No?

Cari ragazzi e cari colleghi, in questo periodo di vacanze estive, oltre a proporre  giochi di tipo matematico, paradossi e puzzle, curiosità e notizie storiche, ho pensato di fornire delle risposte a domande che sia voi alunni, ma anche adulti e colleghi, mi avete rivolto in sedi e tempi diversi.

La domanda che stiamo per affrontare in questo post è la seguente:"Lo zero può essere considerato un numero naturale o no?"

La domanda non banale, in base alla mia esperienza, viene posta quasi sempre in prima, ma anche negli anni successivi.

D'altronde i testi scolastici forniscono indicazioni differenti in proposito. In alcuni di essi si legge che Z_o è l'insieme dei numeri interi compreso lo 0 mentre in altri si legge che è l'insieme dei numeri interi escluso lo 0.

(Gli studiosi della teoria degli insiemi a volte denotano l'insieme dei numeri naturali con ω, in relazione al concetto di numero ordinale. Quando è usata questa notazione, lo zero è incluso.)

La questione è interessante, per cui ho pensato di riportare l'esaustiva risposta di un esperto. Le sottolineature in colore sono mie.

Leggete di seguito e lasciate, come al solito, le vostre considerazioni e riflessioni con i commenti al post!

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Paolo Negrini - Dipartimento di Matematica dell'Università di Bologna

La "scienza esatta" per eccellenza, la matematica, non riesce a dare una risposta univoca alla domanda se 0 sia oppure no un numero naturale!  Questo fatto può lasciare perplessi anche studiosi assai più esperti del giovane studente che desidera chiarimenti sull'argomento. Siamo infatti abituati a definizioni opportunamente rigide, che non lasciano spazio ad ambiguità o equivoci; per esempio "si dice rettangolo un quadrilatero con quattro angoli retti": questa frase non lascia dubbi su che cosa sia un rettangolo e che cosa non lo sia.

In effetti il problema qui sollevato riguardo allo zero non è molto grave.  Non si mettono in dubbio le proprietà o il comportamento di questo numero nelle operazioni; semplicemente si vuole stabilire se 0 appartenga oppure no ad un insieme denotato con un determinato simbolo.  Il dilemma sussiste in effetti più per l'insieme N dei numeri naturali, che per l'insieme Z dei numeri interi.

Ebbene, 0 è un numero naturale, si o no?

La descrizione assiomatica dei numeri naturali, dovuta al matematico piemontese Giuseppe Peano (1858-1932) poggia essenzialmente sul concetto di "successivo": intuitivamente, per spiegare "che cosa sono" i numeri naturali si stabilisce che:

* 0 (oppure 1: ecco il "dilemma") è il primo numero naturale.

** gli altri numeri naturali sono quelli che si ottengono addizionando ripetutamente 1 al primo numero; se siamo partiti da 0 abbiamo quindi

1 = "il successivo di 0" (intuitivamente, 0+1)

2 = "il successivo di 1" (intuitivamente, 1+1)

3 = "il successivo di 2" (intuitivamente, 2+1)

eccetera. 

L'assioma fondamentale è che di ogni numero naturale esista il successivo, e che questo non sia in nessun caso un numero già incontrato in precedenza.

L'idea non cambia se anziché partire da 0 si parte da 1; semplicemente ci si sposta di un gradino.  La scelta di partire da 0 oppure da 1, sulla quale i matematici non sono unanimi, trae origine dalle diverse applicazioni, per alcune delle quali risulta più conveniente la prima scelta, mentre la seconda è più vantaggiosa per altre.

Quando i numeri naturali sono utilizzati come "cardinali", cioè per contare è ragionevole comprendere fra di essi anche zero.  Se si deve, per esempio, fare una statistica su quante volte in un anno ciascun abitante di una determinata città va dal medico, la risposta che ogni intervistato darà è un numero intero positivo, oppure zero: è quindi necessario prevedere fra le risposte ammissibili anche zero. 

Invece, quando i numeri naturali hanno il ruolo di ordinali, cioè servono per stabilire un ordinamento fra elementi di un dato insieme, è normale partire da 1: la graduatoria di una gara, per esempio, di corsa, inizia dal 1° classificato, poi il 2°, eccetera; non c'è alcun classificato al posto 0.

L'uso comune pone tuttavia un'eccezione a quest'ultima "regola": i piani delle case sono indicati con denominazione "ordinale": primo piano, secondo piano, ecc.; ma sotto al primo piano c'è il piano terra, al quale è naturale associare il numero 0.  In effetti la pulsantiera dell'ascensore inizia da zero (e a volte anche da -1, se l'ascensore ha la possibilità di condurci fino in cantina).

Concludendo, speriamo di avere chiarito che non è un vero problema se zero sia o no un numero naturale.  Importante è conoscere le proprietà di questo numero e degli altri, rispetto alle operazioni: per esempio, ogni numero addizionato a zero rimane invariato; ogni numero moltiplicato per zero dà come prodotto zero.

Rimane la scomodità di non avere mai la certezza, quando si consulta un testo di matematica, se con un certo simbolo, sia questo N, N*, N₀, si intenda denotare i numeri naturali con primo elemento 0, oppure 1.  Per questa ragione molti libri di matematica riportano, in genere in seconda o terza di copertina o in introduzione, l'"elenco dei simboli", cioè quale significato sia assegnato in quel libro a ciascun simbolo.

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