Oltre La Geometria Euclidea [Scheda Storica]

Cari ragazzi di tutte le classi, in prima abbiamo iniziato lo studio della geometria. Lo scorso anno tre ragazze dell’ex-prima A (Agnese, Miriam e Letizia) scrissero un post interessante “Si inizia con la geometria”, in cui esponevano il risultato di una loro ricerca sulla geometria euclidea e  sull’opera di Euclide (vi invito a rileggere il post, che è molto istruttivo!).

Adesso riprendiamo l’argomento con un excursus veloce circa la nascita e l’evoluzione della geometria euclidea…e oltre!!!

Buona lettura!

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La nascita della geometria probabilmente avvenne quando l’uomo primitivo iniziò ad osservare la natura e cercò di riprodurre per mezzo di disegni quello che vedeva: guardando il Sole e la Luna è nato il concetto di cerchio, le stelle sono i punti, una grande pianura il piano, una montagna il triangolo. Per molti anni la geometria è stata così relegata a motivazioni pratiche come la costruzione di oggetti (frecce, ciotole…) ispirandosi alle forme “geometriche” derivabili dalla natura.

Dobbiamo arrivare alle grandi civiltà Egiziana ed Assiro-Babilonese per vedere i primi calcoli di geometria applicati alla misurazione di lunghezze e superfici.
Il grande sviluppo della geometria si fa risalire al VII secolo a. C. quando i matematici greci, grazie anche alle conoscenze acquisite nei numerosi viaggi in Oriente, iniziarono ad elaborare un sistema strutturato. Poco alla volta la geometria diventò slegata da ogni applicazione pratica e gli enti geometrici diventarono concetti mentali sui quali cercare legami e proprietà. Pitagora prima (VI secolo a. C.) ed Eudosso poi (IV secolo a.C.) diedero un notevole contributo in questo senso, ma l’intervento più importante fu quello di Euclide (300 a.C. circa). Nella sua opera, i 13 libri degli Elementi, che sono il primo trattato scientifico arrivato sino a noi, Euclide raccoglie le conoscenze geometriche dell’epoca e le espone in modo sistematico, astratto e generalizzato, creando così un modello di teoria matematica che è rimasto insuperato per secoli. Nei suoi libri, Euclide segue uno schema logico ben preciso: inizia a definire i “termini”, cioè la definizione delle parole usate nel seguito; successivamente vengono enunciate le proposizioni non dimostrate, chiamate assiomi o postulati. Tutte le altre conseguenze, i teoremi, derivano dalle definizioni iniziali mediante processi  di ragionamento chiamati dimostrazioni.
Per secoli, Euclide è stato considerato un’autorità scientifica indiscutibile e la sua geometria (la cosiddetta geometria euclidea) costituì il  modello di base per la rappresentazione della realtà in gran parte del mondo. Essa influenzò anche l’arte, l’architettura e la stessa psicologia dell’uomo, il suo modo di vedere le cose e di pensare.

Nel 1700 il gesuita italiano Girolamo Saccheri, considerando gli assiomi di Euclide, volle provare a dimostrare il 5° postulato (per un punto esterno a una retta passa una e una sola parallela) a partire dagli altri assiomi. Nel tentativo di provare la sua tesi, partendo dalla negazione del 5° postulato,  riuscì a costruite una pseudogeometria che funzionava anche senza il 5° postulato. La sua opera conobbe una certa fama dopo la sua morte, ma poi andò dimenticata.

 

 

La svolta avviene circa un secolo dopo, quando il matematico russo Nikolaj Ivanovic Lobacewskij (1793-1856) e l’ungherese Janos Bolyai ( 1802- 1860), indipendentemente uno dall’altro, capirono che non era possibile dimostrare il 5° assioma di Euclide a partire dagli altri assiomi. Entrambi costruirono una geometria basata sulla considerazione che, data una retta r e un punto P fuori di essa, esiste più di una parallela  per P alla retta r. Con questo nuovo assioma riuscirono a costruire una nuova geometria alla quale fu dato il nome di geometria iperbolica. In essa non valgono molti teoremi (per esempio il teorema di Pitagora o quello relativo alla somma degli angoli interni di un triangolo) ed è possibile compiere operazioni geometriche impossibili (ad esempio la quadratura del cerchio).

 

Un secolo più tardi, il tedesco Georg F.B. Riemann (1826-1866), sempre negando il 5° postulato di Euclide, costruì un’altra geometria, detta geometria ellittica, basata sul presupposto che per un punto esterno ad una retta non si può condurre alcuna parallela.
Per avere un esempio della geometria ellittica basta considerare un mappamondo. Su di esso è possibile costruire un triangolo con tre angoli retti. Basta, infatti:

• Posizionarsi sull’Equatore in corrispondenza del meridiano di Greenwich (0°)
• Spostarsi a destra lungo l’Equatore per 90°
• Salire verso il polo Nord
• Ripercorrere il meridiano di Greenwick fino a giungere all’Equatore.

Ma allora perché studiare la geometria euclidea? Possiamo affermare senza ombra di dubbio che le sue conclusioni continueranno a valere ancora per molti anni. Sulla superficie terrestre continueremo ad usare questa geometria per costruire case, strade ed altro ancora. Allo stesso tempo, però, oggi disponiamo anche di altre geometrie che possiamo utilizzare a seconda dei nostri scopi.
Nello studio dell’astronomia, spesso, soprattutto per gli oggetti più distanti (quasar), si ricorre alla geometria iperbolica.

Nella robotica invece si possono muovere i bracci del robot lungo circonferenze o su una sfera, utilizzando le leggi della geometria ellittica. Un’altra applicazione la troviamo nella determinazione delle rotte degli aerei. I piloti degli aerei sanno benissimo che per andare da Milano a New York è più veloce passare dal Polo Nord che viaggiare lungo il parallelo: utilizzano così la geometria ellittica anche se forse non l’hanno mai studiata.

 

 

 

 

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Una versione bilingue (inglese-greco) degli Elementi

Euclid's Elements (using geometry applet)

Euclid's Elements (Table of Contents)

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Bibliografia di riferimento: Vacca, Artuso, Bezzi “Geometria 1”, ATLAS