Matematica E Musica Attraverso L'Arte: Il Settimo Gradino

Cari ragazzi e cari lettori, vi presento l’ennesimo, originale, saggio dell’amico Gaetano, che ha per tema dei nessi incredibili tra Arte, Musica e Matematica!

Partendo dalle considerazioni sulla simmetria nascosta della natura nelle Maroon Belles, stupende montagne del Colorado, Gaetano ci fa riflettere sulla simmetria nascosta della natura nei frattali e di qui sulla musica che deriva dai loro colori! Gaetano che fantasia!!!

Ma non è finita…La fantasia e la creatività del nostro amico si spingono ben più in là, nel tentativo di dare compiutezza al settimo gradino incompiuto dell’Arco di Costantino (ricordate il saggio “Il pentagramma dell’Arco di Costantino"?).

Ed ecco chiamati a supporto Armonia (figlia della dea dell’amore e del dio della guerra) e il tetracordo di Filolao: emerge sorprendentemente un nesso intimo tra due pentagrammi, quello della geometria e quello della musica.

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IL SETTIMO GRADINO

A cura di Gaetano Barbella

Simmetria nascosta della natura: Maroon Belles (Colorado)

Un'idea strana di buon mattino, aspettando per la colazione

“Deformazione professionale”, direbbe l'esperto di cose del “genio architetto” in noi. Sembra che egli si voglia far ammirare per le sue specialità matematiche. «Ecco – egli dice – non vedete anche voi due iperboli contrapposte con i rispettivi fuochi in cima al monte e a quello riflesso? Un monte allo specchio in cui, osservando attentamente (in orizzontale), si intravede un viso col braccio destro sotto il mento (con un po' di sforzo, naturalmente), in atto meditativo».

Per riflettere sulle cose della matematica, a volte, occorre uno sforzo considerevole! Però ci vuole una fervida fantasia per pensare a simili cose! Miracoli della scienza, ma non senza la poesia che i due amanti, del monte appena innevato e della limpida acqua in basso, sembrano suggerire.

Quel mattino era l'1 marzo 2008 e oggi per la stessa immagine, quello stesso “genio architetto” in me mi ricorda la sua lezione sui frattali e la musica. «I frattali : la simmetria nascosta della natura! Di qui la musica che dai suoi colori vi deriva.». E lui continua, provocandomi: «Ma dove la realtà, e dove l'illusione che mortifica? L'immagine delle montagne di Maroon Belles del Colorado, sopra in bella vista, sembrano persuasive, almeno per capire di mitigare le emozioni e rivalersi delle cose della matematica, altrimenti è il mitico Narciso a comandare.
Dal mito di Narciso, che troviamo nelle Metamorfosi di Ovidio, sappiamo la risposta. Si tratta dell'eterno tema psicologico, “l’amore per sé”.

La chiave di lettura del mito è il “rischio del fallimento”. Un fallimento genera nell’individuo un sentimento di dolore, che istintivamente egli debella rifiutando di correre questo rischio: c’è il rifiuto della sofferenza, che esclude a priori la possibilità di avere un successo, per non rischiare il fallimento... E la Natura non può correre questo rischio!».
E poi, relativizzando le suddette riflessioni sui frattali, a complicare le cose della comprensione di   questi paradossi cogliamo una riflessione di Focault: «Quello che mi colpisce, è il fatto che nella nostra società l’arte sia diventata qualcosa che è in relazione soltanto con gli oggetti, e non con gli individui, o con la vita. E che l’arte sia un qualcosa di specializzato, e che sia fatta da quegli esperti che sono gli artisti. Ma perché la vita di tutti i giorni non potrebbe diventare un’opera d’arte? Perché una lampada o una casa potrebbero essere un’opera d’arte, ma non la nostra vita?».

Il settimo gradino dell'Arco di Costantino

Con il mio saggio «Il pentagramma dell'Arco di Costantino», attraverso quattro «gradini», dal secondo al quinto, si sono delineate altrettante geometrie auree intravedibili nei due prospetti frontali dell'Arco di Costantino dei Fori Imperiali di Roma. Il «sesto gradino» riguarda l'interpretazione geometrica della pianta strutturata con quattro elementi portanti. Qui si delinea la concezione unitaria del tutto conforme a un intreccio nodale con ricorrenti triangoli equilateri. Il «quinto gradino», che più ci interessa come si vedrà, porta alla rappresentazione del pentagramma, cosa che, insieme ad una parte del resto, è una novità, non essendo stato mai immaginato così dagli studiosi che si sono occupati dell'Arco in questione.

Per il «settimo gradino», e qui è il fatto saliente, ho detto che mi sarebbe piaciuto poter disporre di precisi disegni dell'Arco di Costantino, invece mi sono dovuto accontentare di una foto e di un disegno d'insieme, entrambi racimolati su internet. Nondimeno mi compiaccio con me stesso per essere giunto a dei risultati sorprendenti.
Certo con i dati precisi del monumento avrei avuto la convalida di ogni cosa supposta, particolarmente sulle congetture relativo al sesto gradino. Ma sono comunque soddisfatto di essere giunto a questo gradino, procedendo con l'unica mia dote, quella di essere un buon “geometra”, ovvero sufficientemente abile nell'uso di “riga e compasso”.
In realtà, io credo che non ci sia un «settimo gradino» se non salendovi nell'unità mediante chi, per esempio, può verificare queste mie teorie, potendo disporre di disegni abbastanza fedeli alle effettive proporzioni dell'Arco di Costantino.

Oggi, con l'impatto del presente nuovo saggio, con mia sorpresa si è delineata la giusta risposta per permettermi di procedere su questo «gradino», ed è bastato solo un casuale input di una persona amica che mi chiedeva di parlarle di matematica e musica.
Così nel procedere per questo intento, che mi è piaciuto attuare subito, è come si fosse aperta una porta per farmi vedere le cose che ho scritto fin qui ed è stato un tutt'uno raccontare. E poi la mia attenzione si è soffermata a lungo su ciò che costituiva lo scopo finale del «settimo gradino» incompiuto.
Mancava la “sposa” per l'Uomo del pentagramma dell'Arco di Costantino, magnificamente eretto, ma ancora inconscio di sé stesso, come l'Adamo biblico appena creato, e già preso da solitudine. Ed ecco che mi si è presentata la memoria di Armonia mitica e del tetracordo di Filolao.

«L’intero monumento è scandito dalla proporzione armonica...» viene rilevato, tra l'altro, dall'esimio Prof. Maurizio Nicosia, dell'Accademia di belle Arti di Bologna, nel suo sito Zenit Geometria Simbolica, nell'esporre le sue deduzioni sull'Arco di Costantino. Interessa sapere da lui perciò sull'armonia, cosa che riporto di seguito.

Qual è la cosa più bella? L’armonia – rispondeva un pitagorico (Giamblico, Vita pitagorica).
Figlia del dio della guerra e della dea dell’amore, Armonia ha suscitato tre dei più penetranti frammenti di Eraclito. Il filosofo efesino dapprima coglie l’essenza delle sue origini mitiche: «Ciò che contrasta concorre e da elementi che discordano si ha la più bella armonia». Armonia deriva dal verbo greco harmózo, cioè “congiungo, compongo”, dal calco harmós, “giuntura”. Ciò che è sottaciuto nell’etimologia riaffiora nel mito: attraverso le origini mitiche di Armonia, Eraclito addita una pratica conoscitiva che nel disgiungere e nel congiungere ha il suo asse cardinale. Toccherà a Platone insistervi nel Fedro.
Anche nel secondo frammento eracliteo permane lo scenario mitico: «Armonia che da un estremo ritorna all’altro estremo come è nell’arco e nella lira». Alle nozze di Armonia con Cadmo sono presenti le dodici divinità olimpiche, a testimoniare l’intero ciclo del corso solare: sono nozze cosmiche. Armonia riceve in dono da Ermete una lira, da Atena una veste aurea e la madre di Giasone la inizia ai misteri eleusini. Eraclito allude con gli «estremi» ai poli del tempo, principio e fine, del cosmo, i solstizî, e dell’esistenza, vita e morte. L’armonia, ritornando all’altro estremo, trascende dunque la sfera umana e la stessa temporalità.

Della narrazione mitica Eraclito trattiene il motivo della lira, aggiungendovi l’attributo d’Apollo, l’arco. A partire da questi elementi, va letto il terzo frammento, caro agli architetti e ai musici di tutti i tempi: «armonia invisibile della visibile è migliore». Se è legittimo leggervi un analogo della dottrina pitagorica dell’armonia delle sfere, allora l’armonia visibile si darebbe nel mondo fenomenico, l’invisibile potrebbe essere còlto solo nei rapporti intelligibili che determinano il visibile. Mediante la lira è forse possibile restituire parte del senso a questo frammento: di per sé visibile, la sua forma cela gl'intimi rapporti che correlano gli accordi fra le sue corde.

Filolao, pitagorico cotoniate, celebre e per la sua scienza armonica e per aver ceduto a Platone i famosi libri di Pitagora, è il primo a precisare i rapporti numerici corrispondenti agli intervalli fra le quattro corde della lira, le cui lunghezze sono pari a sei, otto, nove e dodici unità.

Il tetracordo di Filolao e i rapporti armonici basati sulle tre consonanze in accordo d’ottava, o diapason (6 : 12 = 1 : 2), quinta, o diapente (6 : 9, 8 : 12 = 2 : 3) e quarta, o diatessaron (6 : 8, 9 : 12 = 3 : 4).

Fra la prima e l’ultima il rapporto è pari a un mezzo, o diapason (ottava); fra la prima e la terza, nonché fra la seconda e la quarta gl’intervalli sono equivalenti a due terzi, o diapente (quinta); fra la prima e la seconda, fra la terza e la quarta, infine, i rapporti sono di tre quarti, o diatessaron (quarta). Nella Roma del terzo e quarto secolo sarà Porfirio, in Armonia tolemaica, a descrivere natura e qualità delle consonanze armoniche.
L’armonia «invisibile» si fonda dunque sulle tre consonanze insite nei primi quattro numeri. Nella disciplina pitagorico platonica ciò comporta implicazioni metafisiche e cosmogoniche. Il diapason, o 1 : 2, manifesta il rapporto tra il principio immobile o «deus absconditus» e la «diade infinita», ovvero tra l’Uno e il molteplice o, scolasticamente, tra spirito e materia. In esso sono già implicite le altre due consonanze e perciò costituisce l’armonia perfetta secondo Filolao (6 : 12 = 6 : 8 + 8 : 12 o 6 : 9 + 9 : 12). Nel diapente, o 2 : 3, la materia, o archetipo femminile, è correlata al tre, principio manifesto corrispondente al nous, o intellectus, e all’archetipo maschile. Nel diatessaron, o 3 : 4, il principio manifesto s’accorda con la materia «formata», la forma entra in relazione con il solido. Le tre consonanze quindi descrivono nel loro sviluppo geometrico e musicale l’emanazione che dall’Uno procede sino al molteplice. Sono il canto d’un organismo vivente, il canto dell’universo.

Ecco Armonia, la mitica sposa, che per “sincronia” o, forse meglio, per «la simmetria nascosta della natura» sui frattali, accennata all'inizio di questo saggio, ma a maggior ragione per la riflessione di Focault che vi ha fatto seguito; il mio pensiero mi porta a Salomone biblico e il suo Cantico dei Cantici con la contemplazione della sposa:

«Volgiti, volgiti Sulammita,
Volgiti, volgiti:
vogliamo ammirarti»
«Che ammirate nella Sulammita
nella danza a due schiere?»
«Come son belli i tuoi piedi
nei sandali, figlia di principe!
Le curve dei tuoi fianchi sono come monili,
opera di mano d'artista...

Le nozze

Ed è ora un frenetico daffare del “matematico architetto” in me, che mi spinge ad allestire un nuovo  scenario dell'Arco di Costantino, una “pietra” ritenuta “filosofale” come presa da tristezza fino ad oggi, per la sua incompiutezza.

Quella «strana idea del mattino» in relazione allo scenario delle montagne di Maroon Belles, l'immagine iniziale, mi suggerisce, con la persuasione di un lampo abbagliante, come far salire sull'altare i due sposi congiunti. E se non tramite i due pentagrammi, quello della geometria e della musica col tetracordo di Filolao?
Ecco, si potrebbe dire che sia il mitico Narciso, qui come rinato. Egli si compiace con sé stesso e senza alcuna tristezza, perché non c'è “rischio di fallimento” con un matematico in lui di eccezionale statura preso dalla sublime armonia musicale del riflesso di sé.

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