Un Racconto Ispirato Al Paradosso Del Grand Hotel Di Hilbert

Cari ragazzi e cari lettori,

leggete con attenzione il delizioso racconto che l'amico Mauro Piadi ha scritto per questo blog e per cui lo ringrazio sinceramente.

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Rispondo volentieri all'invito dell'amica Annarita di scrivere qualcosa per Matem@ticamente. Avevo chiesto se avesse preferenze sul tema e sul taglio da dare al mio scritto, ma lei, amica impareggiabile, mi ha lasciato totale libertà di manovra. Dunque, mi sono messo a pensare su cosa scrivere... non certo di didattica della matematica, dato che non è il mio settore (sono un matematico sì, ma ahimé non l'ho mai insegnata), né di storia della matematica, dato che già ne scrivo abbastanza sul mio blog), ci voleva un'idea, sì ma quale? Allora mi sono messo a girellare un po' su Wikipedia cercando l'illuminazione e... eccola! Mi sono imbattuto nel paradosso del Grand Hotel di Hilbert; seduta stante mi sono messo a pensare a un racconto che illustrasse quel paradosso, incurante del fatto che già un grande scrittore di fantascienza come Stanisław Lem e il matematico Ian Stewart, continuatore della meritoria opera di Courant e Robbins "Che cos'è la Matematica?", avessero già scritto sul tema.
Ed ecco il risultato della mia fatica (?): spero che vi divertirete a leggerlo, come io mi son divertito a scriverlo.

Un albergo straordinario

Erano ormai le due di notte quando riuscii finalmente ad aprire la porta di casa, gettare in un angolo il giubbotto antigravitazionale e stendermi sul letto ad aria. La festa organizzata in onore del mio professore di galattografia comparata per il suo 200° anno di insegnamento era durata veramente troppo: tutti quegli arzilli due-trecentenni suoi colleghi non avevano fatto altro che ballare indiavolati gli ultimi balli modaioli che arrivavano da ogni parte dell'universo, conosciuto o meno. Io, per conto mio, preferisco mille volte uno spettacolo tri-vi nella comodità del mio appartamento. È proprio vero che le differenze generazionali contano...
Comunque, finalmente riuscii a chiudere gli occhi. Mi sembrò che fosse passato meno di un minuto, quando il trillo dello psicocell mi trapanò il cranio. Letteralmente, visto che come tutti ormai ce l'ho impiantato nel cranio. Con il solito comando mentale ordinai alla cornetta di alzarsi (mi sono sempre chiesto da dove derivi quest'espressione che usano tutti, visto che non ci sono manopole o cornette per videoparlare...). Era il mio amico A98Y56T, che sapevo impiegato su I8N7HHH, un pianeta di un sistema della costellazione della Lira; incurante del fatto che la trasmissione sub-eterica rende nota l’ora locale del destinatario, mi apostrofò così:

- Ehi, amico! Non mi dire che stavi dormendo!
- Io? Dormire? Eehhh... Ma che ore sono? - risposi farfugliando.
- Beh, non importa, comunque. Ascolta, qui c'è bisogno del tuo aiuto, stiamo impazzendo. Corri al più vicino teletrasporto e raggiungimi appena possibile!
- Ma... ma... ma...
- Non sono tua madre! – Esclamò - Per tutti i neumanniani, sbrigati, qui siamo nella palta!
E chiuse immediatamente la comunicazione.

Ora, dovete sapere che A98Y56T è praticamente mio fratello di latte: ci conosciamo da quando siamo nati, abbiamo frequentato le stesse scuole, condiviso le stesse ragazze (e le relative delusioni)  ecc. Dunque non potevo certo abbandonarlo a se stesso in un momento delicato. D'altronde ormai l'Università aveva chiuso per il periodo estivo, altri impegni non ne avevo e perciò decisi seduta stante di raggiungerlo e di vedere in quale guaio si fosse cacciato stavolta. Dopo una rapida doccia di aria tiepida, indossai il giubbotto antigravitazionale e impostai le coordinate del vicino centro di teletrasporto.
Lì arrivato, fornii all'impiegato di turno le coordinate che A98Y56T aveva provveduto a inviarmi subito dopo la telefonata e mi avvicinai al tubo per il teletrasporto. Quando le pareti trasparenti in poli-vetro mi si chiusero intorno, presi un profondo respiro e cercai di star fermo il più possibile, per facilitare il lavoro dello scanner molecolare che analizzava la composizione del mio corpo e la trasmetteva sub-etericamente al ricevitore. Dopo pochi istanti si accese una luce rossa e una voce sintetizzata mi avvertì:

- Attenzione, il trasferimento sta per avere luogo. Rimanere immobili, prego... 5... 4... 3... 2... 1... Ora!

Chiusi gli occhi, avvertii il solito leggero formicolio, li riaprii e mi ritrovai in un tubo praticamente identico a quello dal quale ero partito, salvo il fatto che di là dal tubo in poli-vetro c'era A98Y56T, che mi osservava con un sorriso che gli allargava il volto. Si aprirono gli sportelli del tubo e ci gettammo uno nelle braccia dell'altro, inscenando la danza di benvenuto che era il nostro pegno d'amicizia. Finiti i convenevoli, lo apostrofai:

- Allora qual è questo guaio megagalattico dal quale non riesci a uscire?
- Il problema sta nell'albergo del quale come ben sai sono il direttore. T'avevo detto che ha un numero infinito di stanze, vero?
- Sì, ricordo che me l'hai accennato...
- Bene, devi sapere che in questo momento tutte le stanze sono occupate...
- Ottimo, vuol dire che gli affari vanno a gonfie vele! – Lo interruppi.
- Sì certo, ma proprio oggi ci è capitato fra capo e collo un problema: si è presentato un nuovo cliente... e non possiamo rifiutarlo. Pensa che è il voivoda del pianeta RHT5M4, un mondo a pochi parsec da qui, sul quale speriamo di poter aprire presto un altro albergo, sempre con infinite stanze; capisci bene che non possiamo negargli una stanza!
- Vedo, vedo... Ma la soluzione è banale!
- Come banale? Ma se ti ho detto che abbiamo tutte le stanze occupate...
- Ascoltami: il tuo albergo ha infinite stanze, no?
- Sì, certo.
- Bene, allora prendi il cliente della stanza 1 e lo sposti nella 2, quello della 2 lo sposti nella 3, quello della 3 nella 4 e così via! Se le stanze fossero in numero finito non potresti rimediare, ma così invece tutti avranno la loro bella stanza e il tuo voivoda lo puoi mettere nella 1 che si è liberata!
- Cavoli! Certo, si tratta di un numero infinito di spostamenti, ma basta avvertire tutti i clienti contemporaneamente e funzionerà! Grazie, amico mio, sapevo che non mi avresti deluso! Ma ora andiamo in albergo, così potrai vedere come mi sono sistemato bene...

E fu così che venni coinvolto in quello che da allora in poi considerai il caso dell'albergo straordinario. A98Y56T mi diede alloggio nel suo appartamento, visto che tutte le stanze erano occupate e non voleva certo disturbare tutti i clienti con un nuovo ordine di spostamento collettivo, dopo quello eseguito per soddisfare il voivoda di RHT5M4...
Passai davvero qualche giorno da favola, nell'albergo del mio amico: vitto e alloggio spesati, divertimenti gratuiti come d'obbligo in tutti i pianeti di quel sistema, donne a profusione (e le donne di quel sistema ve le raccomando davvero, se vi capita di farci un salto: il loro gioco preferito si chiama "afferra la luna nel pozzo", ora non ve lo posso spiegare, ma è un tipo di attività estremamente interessante!), videoteche fornitissime... insomma, il meglio per passare giorni rilassanti!
Un giorno, però, tornando dal solepark (una sorta del nostro lunapark, ma molto più bollente) trovai il mio amico in lacrime appoggiato al banco del concierge.

- Ehi, che diamine t'ha preso? - Lo apostrofai.
- Sono rovinato... sarò licenziato... buahhhh...
- Ma cosa è successo?
- Sta arrivando una delegazione interplanetaria di filologi roweenniani e non so dove metterli!
- Beh, utilizza lo stesso sistema che ti ho già suggerito! Dovrai fare più avvisi, ma...
- NO! Non mi sono spiegato bene - ribatté lui -, questi filologi sono in numero... infinito!
Cavoli! Certo la situazione era davvero grave... Cominciai a riflettere come risolvere il problema quando, improvvisamente, ebbi una folgorazione!
- Tranquillo, smetti di piangere, ho la soluzione!
- Dai, non mi dire... e qual'è?
- Avverti tutti i clienti di spostarsi nella camera di numero doppio rispetto a quella che occupano attualmente: l'1 nella 2, il 2 nella 4, il 3 nella 6 e così via; saranno occupate tutte le camere pari e avrai libere quelle dispari per gli infiniti filologi roweenniani!
- È vero! Fantastico! Sei un portento, amico mio!

E fu così che, per la seconda volta, salvai il mio amico da un possibile licenziamento. A quel punto decisi di tornarmene a casa, cominciavo a sentire un po' di nostalgia per tutto quello che avevo lasciato su Terra... Salutai A98Y56T con il nostro consueto balletto di addio, mi infilai nel teletrasportatore e in men che non si dica mi ritrovai a casa.
Parecchi mesi dopo...
Driiinnn... Maledizione, di nuovo lo psicocell! Compresi però subito che era A98Y56T e risposi immediatamente.

- Aiuto, aiuto, aiuto!
- ???
- Ti prego, ti prego, ti prego!
- Ho capito, devo precipitarmi da te, vero?
- SÌ!!!
E allora, solita trafila: giubbotto antigravitazionale, teletrasportatore... un'oretta dopo ero nel suo albergo.

- ¿Que pasa, hombre?

(Ah già, non vi avevo ancora detto che io e A98Y56T eravamo appassionati di archeolingue e ogni tanto ci dilettavamo a parlarne qualcuna...)

- Succede che ora sono veramente rovinato! Una situazione senza via d'uscita! Me tapino!
- Se hai finito di lamentarti, potresti magari spiegarmi qual è il problema, magari una soluzione la troviamo anche stavolta!
- No, no, stavolta non puoi farci nulla... – Affermò, sempre più disperato.
- Ma tu dimmi... su, da bravo...
- Allora, devi sapere che dall'ultima volta che sei stato qui la mia compagnia si è ingrandita, abbiamo messo su un numero infinito di alberghi, tutti con infinite stanze e sono tutti pieni...
- Beh, di bene in meglio, direi: guadagni infiniti!
- Sì, ma ora viene il dramma: il proprietario della ditta ha deciso di ridurre le attività e di chiudere tutti gli alberghi, meno il mio!
- E a te cosa importa? Se il tuo rimane aperto...
- Già, ma lo stesso proprietario ha deciso che tutti gli infiniti ospiti degli infiniti alberghi dovranno essere alloggiati QUI! E se rifiuto mi licenzia! E nessuna delle due soluzioni che mi hai fornito la volta precedente stavolta può funzionare! Sob! Uaaahhh! Fra due giorni arrivano tutti e io non so dove metterli! Sob! Buahhh!

E giù una fontana di infinite lacrime... Certo, lo capivo poverino, in quell'albergo aveva profuso tutte le sue energie e ritrovarsi improvvisamente senza lavoro non era certo un'esperienza gradevole.

- Ascolta, io mi ritiro a pensare; posso utilizzare la stanza dell'altra volta?
- Sì, certo...
E cominciai a pensare a una possibile soluzione del problema che assillava il mio amico... Dopo poche ore di intenso lavorio mentale, udii la voce di A98Y56T che chiedeva se poteva disturbarmi.

- Senti, so che tu sei molto più bravo di me in queste cose, ma forse la soluzione l'ho trovata io! - Affermò, appena entrato.
- Sentiamo. – Feci, quasi incredulo.
- Potrei fare così: spostare l'ospite della stanza 1 nella 1000, spostare l'ospite della 2 nella stanza 2000, quello della 3 nella 3000, e così via; e poi per gli altri alberghi fare così: l'ospite della stanza 1 del primo albergo nella stanza 1001, quello della 2 nella 2001, quello della 3 nella 3001...
- No, caro. - Feci, dopo una rapida riflessione - Arrivati al milleunesimo albergo, non sapresti più dove metterli; ricordi cosa rispose l'imperatore Traiano quando gli proposero di dare il suo nome a un mese del calendario, visto che la stessa proposta era stata fatta a Giulio Cesare e Ottaviano Augusto, e da loro accettata? Traiano rispose: "E cosa offrirete al tredicesimo Cesare?" No, mi spiace ma così non può funzionare...
- Accidenti...
- Aspetta, però, forse m'è venuta un'altra idea! Numeriamo tutti gli alberghi, visto che le stanze sono già numerate, e assegniamo le stanze in questo modo: se m il numero dell'albergo e n il numero della stanza, a ogni ospite daremo la stanza 2^m*3^n; in questo modo avremo sempre stanze libere e nessuna stanza occupata due volte!
- È vero, aspetta, fammi controllare...
Pensò qualche minuto e poi fece:
- No, non va... il proprietario mi ucciderebbe, se lasciassi tutte quelle stanze libere!

In effetti, riflettei anch'io sul fatto che tutte le stanze corrispondenti a numeri che non potevano essere espressi nella forma 2^m *3^n (e sono tanti, anzi tantissimi; già gli stessi numeri primi sono infiniti!) non sarebbero state occupate!
Un'altra mezz'ora a pensare ad altre possibili combinazioni e, improvvisamente... lampo di genio!

- Trovato! Useremo la numerazione a quadrati...
- ??? - Fu la sua espressione sbigottita.
- Come prima, numeriamo gli alberghi (le stanze lo sono già); poi costruiamo questa tabellina:

- E ora sistemiamo gli ospiti secondo i quadrati! - Dissi, trionfante.
- Cosa? - Non capiva.
- Nella stanza 1 mettiamo l'ospite di (1,1), cioè della prima stanza del primo albergo; nella 2 mettiamo l'ospite di (1,2), cioè della seconda stanza del primo albergo; nella 3 mettiamo l'ospite di (2,2), la seconda stanza del secondo albergo, e nella 4 l'ospite di (2,1), la prima stanza del secondo albergo. In questo modo avremo sistemato gli ospiti del quadrato in alto a sinistra con lato 2. Dopo di che mettiamo l'ospite di (1,3) nella stanza 5, di (2,3) nella stanza 6, di (3,3) nella 7, di (3,2) nella 8, di (3,1) nella 9… e così via!
- Ma ci sarà spazio per tutti? - Fece lui dubbioso.
- Naturalmente. Dopotutto, così sistemiamo gli ospiti delle prime n stanze dei primi n alberghi nelle prime n^2 stanze. Quindi, prima o poi ogni ospite riceverà una stanza. Possiamo anche calcolare facilmente quale stanza sarà: se l'ospite occupa la stanza n nell'hotel m, allora se n ≥ m occuperà la stanza numero (n - 1)^2 + m, e se n < m, la numero m^2 - n + 1!

E fu così che risolsi il caso dell'albergo straordinario. In mio onore, A98Y56T organizzò un ricevimento al quale invitò tutti gli ospiti. Ma, naturalmente, anche il ricevimento ebbe i suoi problemi. Gli ospiti delle stanze pari arrivarono in ritardo di mezz'ora, e quando comparvero si scoprì che tutte le sedie erano occupate, nonostante il mio amico avesse organizzato le cose in modo che ci fosse una sedia per ogni ospite. Si dovette attendere che tutti si spostassero in nuovi posti per liberare la quantità necessaria di sedie (naturalmente, nella sala non venne portata nessuna sedia in più). Più tardi, quando iniziarono a servire il gelato, si scoprì che ognuno aveva due porzioni, nonostante il cuoco avesse di fatto preparato solo una porzione a testa. Spero che a questo punto siate in grado di immaginare da soli come questo possa essere successo...
Alla fine del ricevimento schizzai nel centro di teletrasporto e tornai su Terra. Non ne potevo più di alberghi e insiemi infiniti...