Risoluzione Dei Problemi Geometrici Con L'Ausilio Dell'Algebra: Le Fasi

Cari ragazzi e lettori interessati,

eccomi con la seconda puntata del mini corso sulla risoluzione dei problemi geometrici. Nella prima avevo fornito alcuni consigli relativi all’approccio, qui continuo con le fasi di risoluzione.

E adesso, veniamo al dunque!

Per risolvere efficacemente un problema occorre seguire alcune fasi:

1. Scelta dell’incognita (o delle incognite).
In generale si assume come incognita proprio il valore da determinare; in alcuni casi, però, può essere conveniente assumere come incognita un altro valore,  legato all’incognita del problema da una semplice relazione, perché in tal modo si ottiene un’equazione più semplice.

Non esistono, in realtà, delle norme fisse da seguire per la scelta dell’incognita ( o delle incognite), scelta che è di importanza cruciale e da cui dipende spesso,  in gran parte, la maggiore o minore difficoltà della risoluzione del problema. Solo la pratica, cari ragazzi, acquistata con lungo esercizio, può suggerire il modo migliore di scegliere l’incognita. Pertanto, sotto con i problemi!

2. Traduzione del problema in equazione (o in sistema di equazioni) o impostazione del problema.
La traduzione del problema in equazione (o sistema di equazioni) si ottiene, nei casi più semplici, traducendo in linguaggio algebrico l’enunciato del problema. In molti casi, però, la determinazione di tale equazione ( o sistema) può riuscire laboriosa; per essa, come per la scelta dell’incognita, non esistono regole fisse da seguire e solo l’esercizio costante e graduale può suggerire la via più opportuna  caso per caso.
Comunque, tenete presente che tale equazione (o sistema) deve sempre esprimere la relazione (o le relazioni) esistente fra i valori noti ( i dati del problema) e quello ( o quelli) da determinare ( l’incognita o le incognite) del problema;  relazione che può essere data esplicitamente nell’enunciato stesso del problema o può essere implicita, per effetto di teoremi o proprietà che leghino fra loro dati e incognite.

3. Risoluzione dell’equazione ottenuta (o del sistema).
La risoluzione dell’equazione ( o del sistema), in cui viene  tradotto il problema, si effettua con i procedimenti appresi in algebra e non presenta generalmente particolari difficoltà.

4. Discussione della soluzione
E adesso fate particolare attenzione: affinchè il problema abbia soluzione occorre, anzitutto, che l’equazione ( o sistema), in cui esso si traduce, non sia impossibile. Questa condizione è, però necessaria, ma non sufficiente.
Infatti, la natura dell’incognita del problema può essere tale da imporre delle limitazioni ai valori che essa può assumere, per cui può succedere che l’equazione (o sistema) abbia soluzione, ma che questa non sia accettabile come soluzione del problema a causa delle limitazioni cui mi sono riferita prima. In tal caso, perciò, il problema risulta impossibile.

Anzitutto, le misure delle grandezze geometriche, così come voi le dovete generalmente considerare, devono essere numeri reali positivi.
Inoltre, ad esempio:

a. se l’incognita è la corda di una circonferenza, tenete presente che essa deve essere minore ( o al massimo uguale)  del diametro;
b. se l’incognita è il lato di un triangolo, ricordate che deve essere minore della somma degli altri due  e maggiore della loro differenza;
c. se l’incognita è un angolo di un triangolo qualunque, deve essere minore di 180° e, se è un angolo di un triangolo rettangolo, non deve essere maggiore di 90°;
d. se l’incognita è un cateto di un triangolo rettangolo, deve essere minore dell’ipotenusa ( il lato opposto all’angolo di 90°. Ricordate?).

Ho finito, per questa puntata. Alla prossima, fornirò delle norme sulle indicazioni delle misure e, successivamente, alcuni esempi di risoluzione di problemi geometrici.

Consulta "Risorse per la risoluzione dei problemi" nella sezione "Materiali didattici"