Equazioni Diofantee: Risoluzione Di Un Caso

Pubblico un interessante contributo dell'amico Bruno sulle equazioni diofantee, in cui si cimenta nella risoluzione di un'equazione specifica.

Leggiamo su wikipedia:

In matematica, un'equazione diofantea (chiamata anche equazione diofantina) è un'equazione in una o più incognite con coefficienti interi di cui si ricercano le soluzioni intere. L'aggettivo diofanteo si riferisce al matematico greco antico del III secolo Diofanto di Alessandria, che studiò equazioni di questo tipo e fu uno dei primi matematici ad introdurre il simbolismo nell'algebra.

Un nome tradizionale dato allo studio di tali equazioni è analisi diofantea. I problemi che essa cerca di risolvere sono:

Esistono delle soluzioni?
Esistono delle soluzioni oltre a quelle che è facile trovare (ad esempio per ispezione diretta)?
Esistono finite o infinite soluzioni?
È possibile, in teoria, trovare una lista di tutte le soluzioni?
È possibile in pratica calcolare direttamente tutte le soluzioni?
Il campo dell'approssimazione diofantea si occupa invece delle disuguaglianze diofantee: si suppone ancora che le variabili siano intere, ma alcuni coefficienti possono essere numeri irrazionali, e il segno di uguaglianza viene sostituito da limiti inferiori e superiori.

Ma adesso passiamo al contributo di Bruno!

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Forse ad alcuni di voi una cosa come questa dirà assai poco o potrebbe addirittura risultare fastidiosa:

In pratica,  con questa scrittura si chiede di trovare tutti i multipli di 7 e di 5 che, sommati fra loro oppure sottratti l'uno dall'altro, forniscano come risultato 153.

Quest'oggetto si chiama equazione lineare indeterminata o diofantea. Diofanteo deriva da Diofanto di Alessandria, un matematico greco antico vissuto nel III secolo che si interessò alle soluzioni razionali e intere di certe equazioni.

Non sono un matematico e non sempre capisco la matematica (be', questo succede anche ai matematici veri e propri), tuttavia non mi spavento mai, di solito, davanti a un problema matematico. Se ho tempo provo a risolverlo e se non ci riesco non mi demoralizzo: o mi propongo di tornarci sopra in seguito  oppure  passo a un altro problema. Un po' come si fa con la Settimana Enigmistica  
Ecco, la tendenza a non demoralizzarmi mi ha permesso di continuare a coltivare l'interesse per certi problemi di matematica. A volte ho trovato delle soluzioni di "routine" (si dice così quando ci si limita ad applicare le regole già note), altre volte ho invece trovato vie meno ordinarie e non spiegate nei libri.

A me accadde di sentir parlare delle equazioni lineari diofantee quand'ero poco più che un ragazzino.
Un giorno lessi la recensione di un libro portentoso, tuttora ristampato per il successo ottenuto, e lo comprai per curiosità. Si trattava di "Che cos'è la matematica?" di R. Courant ed H. Robbins.
Fra le pagine di quel libro avvenne la mia folgorazione per tale argomento  

Forse non avete idea di quanti metodi siano stati scovati per risolvere questo tipo di equazioni! Di esse si sono occupati grandi matematici come Eulero, Gauss, Lagrange, e anche una quantità impensabile di docenti, studenti e appassionati, tutti intenti a trovare delle risoluzioni alternative. Un successone, insomma! Quasi come il Teorema di Pitagora, nella cui dimostrazione si sono cimentati e divertiti anche politici e artisti.
Più sotto, spiego perché dico che le equazioni lineari diofantee hanno attratto tante persone.

Ovviamente... ho provato anch'io a cercare un metodo risolutivo generale  ,  ma se volete conoscerlo posso rinviarvi a un post che ho lasciato nel forum di BASE Cinque (un bellissimo sito di matematica ricreativa) a cui ho partecipato quando avevo un po' di tempo e dove mi sono divertito parecchio. In questo post do una traccia della mia idea    e tra poco  applicherò il mio criterio all'equazione data.

Qui volevo solo dirvi, e così concludo, che la matematica può avere argomenti stimolanti e istruttivi per ognuno di noi, nessuno escluso, e a qualsiasi livello!
In un mondo dove i pensieri delle persone scoppiettano sempre più spesso come fuochi d'artificio o  petardi, probabilmente può essere molto utile imparare a portare sempre con sé anche un po' di matematica.

Piesse.   Una curiosità:  l'attuale logo di  BASE Cinque  l'ho disegnato io

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Diversi anni fa comprai da un robivecchi una cinquantina di copie del Supplemento al Periodico di Matematica risalenti al primo decennio del secolo scorso. Su questo giornalino scrivevano studiosi, insegnanti e studenti e gli argomenti interessavano la matematica insegnata all'epoca nelle scuole superiori. Venivano messi a concorso dei problemi che i ragazzi cercavano di risolvere e gli insegnanti correggevano o commentavano. Alcuni di questi problemi attiravano spesso le considerazioni successive di altri insegnanti, appassionati o studenti, che venivano poi spedite alla redazione per la pubblicazione. Ecco, sfogliando questi Supplementi ho trovato numerosissimi contributi sulla risoluzione generale delle equazioni lineari diofantee, ma proprio tanti, e non lo avrei mai immaginato!
Se volete vedere alcuni metodi per risolvere in numeri interi l'equazione scritta all'inizio, e magari non avete voglia di studiarla per conto vostro, potete entrare qui.

30 ottobre 2008. Accolgo l'invito di Annarita di matem@ticamente e di seguito scrivo il mio procedimento risolutivo.

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Riscriviamo l'equazione:

7x+5y  = 153

dove le incognite  x  e  y  rappresentano dei numeri interi.
Sappiamo che tali incognite non possno essere al tempo stesso pari o dispari perché altrimenti il risultato sarebbe un numero pari. Però non possiamo decidere quale di esse sia pari e quale dispari. Tuttavia possiamo affermare questo:

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  se abbiamo due numeri interi non contemporaneamente pari oppure dispari, chiamiamoli a e b, riusciamo sempre trovare altri due numeri interi, che chiameremo p e q, mediante i quali possiamo porre:
  a = p+q   e   b = p-q+1.
  Ricavando p e q , infatti, otteniamo:
  p = ½(a+b-1)  e  q = ½(a-b+1) .
  Poiché le espressioni a+b-1 e a-b+1 corrispondono sempre a dei numeri pari, essendo a e b non contemporaneamente pari o dispari, p e q sono senz'altro interi e sono unici.
  
  

A questo punto, allora, scriviamo:

x = p+q  e  y = p-q+1

e sostituiamo le incognite nella nostra equazione:

7(p+q)+5(p-q+1) = 153

da cui ricaviamo:

12p+2q = 148

cioè:

6p+q = 74.

Il coefficiente di una delle due variabili è ora unitario, quindi:

q = 74-6p.

Così possiamo dire che:

x = 74-5p  e  y = 7p-73

dove p è un numero intero scelto a piacere.

Il problema è risolto!

Vediamo che per le incognite x e y  abbiamo ottenuto una forma ben precisa e grazie a essa, volendo, potremmo facilmente determinare le soluzioni intere solo positive dell'equazione proposta.

Il criterio mostrato è generalizzabile e permette di raggiungere uno scopo importante: quello di ridurre i coefficienti delle incognite fino a renderne almeno uno unitario.
Se siete arrivati fin qui, forse potete fare un salto nel post di BASE Cinque che ho richiamato sopra per un approfondimento

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