La Relazione di Eulero: La 2° Formula Più Bella

Cari lettori, vi presento di seguito un bell'articolo, tratto da "Gli studenti di oggi", in cui zar, in forma dialogica, offre una dimostrazione della famosa formula di Eulero.

Reputo motivante questo approccio dialogato nel trattare un argomento di carattere matematico e per questo indiscutibilmente portatore di un valore didattico aggiunto.

Ragazzi di terza B, il post ci tornerà utile tra non molto quando inizieremo lo studio dei solidi geometrici e, in particolare, dei solidi platonici.

Complimenti zar, come al solito.




_________________________________

Della più bella formula della matematica non ne parliamo nemmeno. La seconda, invece, è questa:

Fatti vedere sabato alle 2.

“Uh, sì, bella formula davvero”.

“È solo un sistema mnemonico che i matematici usano per ricordarsi la formula giusta”.

“Ah, avevo dimenticato lo humor da Vero Matematico. La formula, allora quale sarebbe?”.

“Questa: F + V = S + 2”.

“È decisamente meglio la frase, in effetti”.

“Se tu hai un poliedro semplice con F facce, V vertici e S spigoli, allora vale quella formula, che si chiama formula di Eulero, o relazione di Eulero”.

“Carina. Cosa sarebbe un poliedro semplice?”.

“Un poliedro senza buchi, cioè una figura come questa”.

“Essere senza buchi è una definizione matematica?”.

“Sì, anche se i Veri Matematici lo dicono in un modo un po' diverso. Dicono che la figura può essere deformata con continuità, cioè senza tagli o strappi, in una sfera”.

“Come se fosse un oggetto di gomma?”.

“Esattamente. Per ogni poliedro vale la formula di Eulero, indipendentemente dal numero di facce e dal numero di lati per faccia. È una formula assolutamente generica”.

“E, data la sua genericità, avrà una dimostrazione complicatissima”.

“No, anzi, la dimostrazione è semplice ed è anche istruttiva, perché spiega un concetto molto importante utilizzato in matematica, il concetto di invariante”.

“E cosa sarebbe?”.

“Te lo spiego subito. Partiamo dall'inizio, esprimendo la formula di Eulero in questo modo: F + V - S = 2”.

“Va bene, hai portato a sinistra la S, è semplice”.

“Adesso ci concentriamo sull'espressione F + V - S”.

“Va bene. Che dobbiamo fare?”.

“Prendiamo il nostro poliedro generico, per esempio quello della figura di prima, e ne togliamo una faccia, per esempio quella che nella figura è indicata con AGF”.

“Ok, quella che nella figura è dietro”.

“Dobbiamo immaginare il nostro poliedro come se fosse vuoto”.

“Ok, togliendo una faccia possiamo vedere il suo interno, come se fosse una scatola con un buco”.

“Ottimo. Ora immaginiamo che questa scatola sia fatta di gomma. La possiamo deformare e stendere su un piano”.

“Va bene, ma non cambiano le cose?”.

“Guarda, deformando e stendendo su un piano si ottiene questa figura. Il numero di facce, di vertici oppure di spigoli è cambiato?”.

“Uhm, sembra di no. No, in effetti no, i segmenti che vedevo prima ci sono ancora tutti”.

“Molto bene. Quindi l'espressione F + V - S, rispetto a prima, non è cambiata”.

“No, è sempre la stessa”.

“Bene. Adesso osserviamo che nella nostra figura non tutti i poligoni che si vedono sono triangoli”.

“Ah, no. La figura iniziale era un poliedro, non avevi specificato che le facce dovevano essere triangolari”.

“Infatti. Allora facciamo in questo modo: tracciamo vari segmenti fino a che non otteniamo solo triangoli. Possiamo farlo come vogliamo, per esempio così”.



“Ok, ora ci sono solo triangoli, ma la figura è diversa”.

“È vero che è diversa, ma concentrati su F + V - S. Ogni volta che tracciamo un segmento, cosa succede alla figura?”

“Bè, abbiamo un segmento in più, quindi S aumenta di 1”.

“Certo. Ma tracciando un segmento in più, abbiamo anche una faccia in più, quindi anche F aumenta di 1. Mentre non cambiamo il numero di vertici”.

“Uhm, quindi passiamo da F + V - S a (F + 1) + V - (S + 1). Ehi, rimane uguale!”.

“Bravo. I Veri Matematici dicono che l'espressione F + V - S è un invariante: tracciando i segmenti che servono per ottenere solo triangoli il suo valore non cambia”.

“Bello! E adesso che facciamo?”.

“Adesso cominciamo a cancellare qualche triangolo, seguendo alcune regole. Per prima cosa, osserviamo che i triangoli presenti nella figura possono avere un solo lato oppure due verso l'esterno”.

“Bè, no. In questa figura tutti i triangoli che formano il bordo esterno hanno un solo lato che sta sul bordo”.

“Hai detto bene: in questa figura. In generale però non è detto che sia così, dobbiamo tener presente anche l'altra possibilità”.

“Ah, va bene”.

“A questo punto, cancelliamo un triangolo togliendo un lato che si affaccia all'esterno. Per esempio, cancelliamo il lato AG. Ecco la figura”.




“Allora, provo a fare i conti. Abbiamo perso un lato, quindi S diminuisce di 1. Ma abbiamo anche perso una faccia, quindi F diminuisce di 1. Il tuo invariante diventa (F - 1) + V - (S - 1). Ehi, non è cambiato nemmeno questa volta”.

“Già. Ora vado avanti un altro po' per mostrarti un triangolo con due lati affacciato sul bordo: cancello prima il lato DG poi il lato DE. Ecco qua”.

“Ah, ecco come si fa ad avere triangoli che hanno sul bordo due lati! E adesso come facciamo a eliminarlo?”.

“Nel caso di triangoli con due lati sul bordo, dobbiamo eliminare entrambi i lati”.

“Va bene. In questo caso allora perdiamo una faccia e due lati, quindi F diminuisce di 1 mentre S diminuisce di 2”.

“Non ti dimenticare del punto D”.

“Ah, giusto. Perdiamo anche un punto. Quindi abbiamo (F - 1) + (V - 1) - (S - 2)... anche in questo caso rimane uguale a F + V - S. La figura dovrebbe essere questa”.

 

“Esatto. Ora possiamo andare avanti, eliminando triangoli su triangoli. In questo procedimento perderemo spigoli, facce e vertici, ma il valore di F + V - S non cambierà mai”.

“E fino a che punto andiamo avanti?”.

“Fino a che non rimarrà un solo triangolo. A questo punto, quanto vale l'espressione F + V - S?”.

“Bè, un triangolo ha una faccia, tre vertici e tre spigoli, quindi F + V - S = 1+3-3 = 1. Il tuo invariante vale 1”.

“E quindi valeva uno anche all'inizio”.

“Ma allora la formula che mi hai detto è sbagliata. Dicevi che doveva risultare 2!”.

“Hai dimenticato il primo triangolo, quello che abbiamo tolto per poter schiacciare la figura su un piano. Il poliedro iniziale ha una faccia in più”.

“Uh, è vero. Inizialmente allora F + V - S  valeva 2. Quindi la formula è giusta”.

“Già. C.V.D.”.

“C'è una battuta sulla sigla C.V.D.”.

“Ah sì? Non la conosco”.

“Sai cosa significa per un ingegnere C.V.D.?”.

“Cosa?”.
...
_________________________________________

Consulta la sezione"Materiali didattici", su questo blog.