Sequenze Numeriche E Procedimenti Ricorsivi

Cari ragazzi e cari lettori,

l'amico Bruno ci ha regalato un altro interessante post, in cui approfondisce l'analisi di alcuni procedimenti ricorsivi...ma, senza lungaggini, leggete direttamente quello che scrive in proposito.

Scrive Bruno:

Le tabelle numeriche mi attraggono moltissimo e da tempo, anche se qualche volta mi fanno ammattire 
Pensate che ancor oggi trovo affascinante la cosiddetta tavola pitagorica e, per quanto essa sia stata esplorata in lungo e in largo dagli appassionati, c’è sempre qualcosa con cui riesce a stupirmi.

Quando ho visto il post  “Numeri Quadrati, Numeri Rettangolari...Numeri Figurati” di Annarita, mi è venuta in mente una proprietà di certi numeri che considero piuttosto interessante per cui vorrei accennarvela.

Diversi anni fa mi capitò di studiare una tabella formata dalle somme delle successive potenze dei primi numeri naturali, intendo questo gioiello:

(Il simbolo S, presente nell'ultima colonna a destra, sta per il simbolo di sommatoria )

La determinazione dei numeri che compongono questa bella matrice ha attirato tanti matematici, alcuni dei quali molto grandi, e anche in rete si può trovare del buon materiale tecnico o divulgativo.

Ma ora vi domando:  "Voi sapete che ogni riga di questa tabella può essere dedotta da quella che la precede attraverso un procedimento ricorsivo molto facile da cogliere e da applicare?"

Vediamo come.  Innanzitutto scriviamo i primi numeri naturali:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …

Ogni elemento di questa sequenza coincide con il proprio numero d’ordine, cioè:

1  è il  1°  elemento
2  è il  2°  elemento
3  è il  3°  elemento
4  è il  4°  elemento,  così via.

Bene, adesso moltiplichiamo ogni elemento per il rispettivo numero d’ordine e poi sottraiamo al prodotto così ottenuto la somma dei termini che lo precedono, cioè:

1x1-(niente, perché prima di 1 non c’è niente) = 1
2x2-1 = 3
3x3-(1+2) = 6
4x4-(1+2+3) = 10, etc.

Un numero dopo l’altro, si viene a formare sotto i nostri occhi questa nuova sequenza:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …

in cui compaiono i famosi numeri triangolari, la seconda riga della tabella vista sopra. Qui vediamo che:

1    è  il   1°  elemento
3    è  il   2°  elemento
6    è  il   3°  elemento
10  è  il   4°  elemento,  etc.

Ora rifacciamo i passi analizzati in precedenza, cioè moltiplichiamo ciascun elemento per il proprio numero d’ordine e sottraiamo al risultato la somma dei termini che lo precedono:

1x1-(niente) = 1
3x2-1 = 5
6x3-(1+3) = 14
10x4-(1+3+6) = 30

e poi, ancora:

15x5-(1+3+6+10) = 55
21x6-(1+3+6+10+15) = 91,  etc.

Riepilogando, abbiamo le tre sequenze:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, …

ossia le prime tre righe della nostra tabella.

Si può dimostrare che questa proprietà vale in generale, e infatti io mi sono divertito a farlo. 
Però qui tralascio la dimostrazione perché quello che vorrei mettere in evidenza, in realtà,  è il procedimento ricorsivo che abbiamo applicato:

• data la successione numerica  a1, a2, a3, a4 …, ai, …,  moltiplichiamo ciascun termine ai  per  i  (il suo numero d’ordine)  e  sottraiamo dal prodotto la somma di tutti i termini che precedono ai.

Questo procedimento, forse non ve lo sareste aspettato, permette di vedere delle connessioni non ovvie e molto interessanti fra diverse famiglie di numeri.

Prima di andare avanti, dico una cosa su Oeis.  Oeis è l’acronimo di “On-Line Encylopedia of Integer Sequences”, un sito web dove sono registrate tutte le sequenze studiate dai matematici e le relative proprietà conosciute. Questo portentoso archivio di numeri discende da un’altra importante opera pubblicata nel 1973 dal matematico  N. J. A. Sloane,  intitolata  “A Handbook of Integer Sequences”.

“Un matematico che incontri una successione che lo mette in imbarazzo”- scrisse Martin Gardner  riferendosi a questo manuale- “non ha più bisogno di spendere ore a cercare la sua formula generativa, basta che cerchi la successione nel libro di Sloane”.
Oeis è un parco meraviglioso di numeri a disposizione di tutti 

Tornando al nostro procedimento ricorsivo, mi sono divertito ad applicarlo a parecchie sequenze numeriche e ogni volta ricavavo sequenze ancora sconosciute oppure già registrate in Oeis, ma delle quali non sempre veniva segnalato il collegamento con i numeri di partenza.

Tanto per fare un esempio, esiste un simpatico modo per dedurre una serie infinita di numeri piramidali dai numeri poligonali.  Eccovi lo schema:

I numeri piramidali n-gonali derivano dalla sovrapposizione dei primi numeri n-gonali. In questo senso, i numeri triangolari possono essere visti come la sovrapposizione dei primi numeri naturali, e ciò spiega la loro presenza anche nella colonna destra dello schema.

In generale,  se consideriamo

 

come l’n-esimo numero poligonale con  d+2  lati  e  poi consideriamo

 

come l’n-esimo numero piramidale formato dai primi numeri poligonali con  2·(d+1)  lati, non è difficile verificare la seguente relazione, che un giorno è saltata fuori dalle mie allegre esplorazioni:

Svolgete per credere!

Le tabelle seguenti permettono di apprezzare numericamente l’uguaglianza appena scritta nel passaggio dalla prima riga alla seconda.
La terza riga, invece, contiene delle sequenze ottenute applicando il procedimento ricorsivo ai numeri piramidali nella seconda riga: quelle contrassegnate con [§ ] sono registrate in Oeis e questo mette già in luce delle connessioni che non appaiono evidenti o scontate.

Facciamo una piccola osservazione.  La sequenza:

1, 17, 80, 240, 565, 1141, 2072, 3480, 5505, 8305, …  (@)

che leggiamo nella terza riga della quarta tabella non è inserita in Oeis, eppure…essa deriva, in fondo, dai numeri pentagonali:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145

nello stesso modo in cui la sequenza:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, …

deriva dai numeri naturali, cioè nello stesso modo in cui:

1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, …

deriva dai numeri triangolari, che è anche quello che porta a:

1, 13, 58, 170, 395, 791, 1428, 2388, 3765, 5665, …

partendo dai numeri quadrati oppure a:

1, 21, 102, 310, 735, 1491, 2716, 4572, 7245, 10945, …

partendo dai numeri esagonali.

L’armonia è la stessa, però la sequenza (@) non si trova ancora in Oeis in cui non vi è nemmeno l’ombra! Ciò ovviamente non significa che sia inutile, ma che semplicemente non è stata ancora presa in esame o messa in relazione con altre sequenze già note.
Chissà, magari questa potrebbe essere un’occasione per provare a studiare un po’ la simpatica  sequenza  “chiocciola” 

Il procedimento ricorsivo visto, dunque, oltre a permetterci di comporre la tabella delle somme delle potenze dei numeri naturali, ci offre uno stimolante punto di vista per indagare le connessioni esistenti fra moltissimi altri tipi di numeri.

AGGIORNAMENTO

Le sequenze numeriche e i procedimenti ricorsivi qui illustrati sono stati inseriti in Oeis come "B. Berselli, A description of the recursive method in Comments lines: website Matem@ticamente (in Italian).

Questo il link: http://oeis.org/A000537