Pi Greco: Un Numero Decimale Illimitato Non Periodico

Cari ragazzi, con voi di 2° B abbiamo trattato  i numeri razionali e quelli irrazionali, i tempi sono quindi maturi per cominciare a prendere confidenza con un numero straordinario, il pi greco,  π . Con voi di 3° B abbiamo finito la geometria del cerchio, e di pi greco ne avete sentito parlare abbastanza, ma non è mai troppo approfondirne la conoscenza! Vediamo un po’!

Pi greco è uno degli esempi più noti, se non il più noto, di numero decimale illimitato non periodico. Esso, in geometria, esprime il rapporto esistente tra la misura di una circonferenza e la misura del suo diametro.

Voi di terza avete già svolto un’attività con cui avete misurato e confrontato le circonferenze, corrispondenti a diversi oggetti fisici, e i rispettivi diametri. Con le approssimazioni, dovute agli errori di misurazione, avete ottenuto sempre un valore vicino a 3…e qualcosa.


Ovvero il rapporto che avete ottenuto fra la lunghezza di qualsiasi circonferenza (piccola, grande e di qualsivoglia dimensione) e quella del suo diametro,  è un numero decimale illimitato non periodico, chiamato appunto pi greco:

π = lunghezza circonferenza/lunghezza diametro

Il π è un numero decimale illimitato in quanto la divisione che lo genera non dà mai resto zero. Ma soprattutto è un numero non periodico. Più precisamente è un numero irrazionale trascendente, ma il suo significato pieno lo acquisirete più avanti negli studi, quando sarete entrati in possesso delle conoscenze necessarie per comprenderlo.
Per adesso a noi interessa la sua natura di numero decimale illimitato non periodico, che lo colloca tra i numeri irrazionali pur non derivando come questi da un'estrazione  di radice  non esatta.

Procedendo con la divisione, avete visto, voi di terza, che le cifre decimali continuano a succedersi senza regolarità, cambiando imprevedibilmente.
Il calcolo di π ha sempre interessato ed affascinato i matematici di ogni tempo.

I Babilonesi, ad esempio, utilizzavano il valore 3,125 approssimando  la lunghezza della circonferenza con il perimetro dell’esagono inscritto.

Gli Egiziani, già nel 2000 a.C. utilizzavano il valore 3,16049.
Nella Bibbia si dà indirettamente un valore di π = 3 nel libro dei Re quando si descrivono le dimensioni di un grande bacino di bronzo “ di dieci cubiti da un orlo all’altro, rotondo; la sua altezza era di cinque cubiti e la sua circonferenza di di trenta cubiti” ( da questa descrizione si ricava che  π = 30/10 = 3).

Archimede, calcolando il perimetro di esagoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio, e raddoppiando ogni volta il numero di lati, arrivò a calcolare il perimetro dei poligoni inscritti e circoscritti di 96 lati, ottenendo un valore approssimato di  π compreso fra 3,1408  e 3,1428.
La ricerca delle cifre decimali ha appassionato i matematici nel corso dei secoli e, con il passare del tempo, sono stati trovati valori approssimati di π con precisione sempre maggiore:

Nel 1579 Viète calcolò 9 decimali esatti.

Nella seconda metà del Cinquecento Ludolph van Ceulen ne trovò 25.

Nel XVIII secolo si conoscevano 140 cifre.

John Dase nel 1844 ne calcolò 205.

William Shanks nel 1853 ne trovò 607 ( scoprì solo più tardi che le ultime 80 erano sbagliate).

Quello che sorprende in questa ricerca è che tutte queste persone svolgevano i loro calcoli con carta e penna con evidente fatica e necessità di controlli per evitare errori.
L’avvento del computer ha segnato la svolta nella ricerca delle cifre decimali. A partire da Von Neumann, che ottenne 2073 cifre decimali con 70 ore di elaborazione, vennero costruiti programmi sempre più potenti fino ad arrivare al luglio del 1997 quando il matematico Giapponese Yasumasa Kanada, docente dell’università di Yokio, è riuscito a trovare la 5 539 607 552-esima cifra decimale. Il suo record è stato polverizzato da quello del francese Fabrice Bellard che, nell’ottobre del 1997, è riuscito ad ottenere la trilionesima cifra decimale.

Nel 1999, utilizzando il sistema di numerazione binario e senza calcolare nessuna delle cifre decimali precedenti, il matematico Percival ha ottenuto una precisione di 40 000 000 000 000 cifre decimali.

Per capire quanto lungo è questo numero basta pensare che se ciascuna cifra occupa un millimetro, la catena delle cifre decimali si estende per 51 milioni di chilometri!


E adesso alcune curiose tecniche per memorizzare il pi greco.

1) "Tre imperfettibile è degno archetipo di quella serie che svela, volgendo circolare, mirabil relazione".

2)" Ave o Roma, o madre gagliarda di latine virtù, che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza".

Contando le lettere di ogni parola della frase si individuano le prime 14 (e 19 nel secondo caso) cifre decimali di π: 3,14159265358979.

Una forma mnemonica più avanzata è "Che n'ebbe d'utile Archimede, da ustori vetri, sua somma scoperta? Umanitade incerta, infantile, che ad ogni progenie vede negato il divin vero. Ma non combatte già la terrema fragilità."

Altre curiosità legate alla cultura del pi greco.

- Il 14 marzo si celebra il "giorno di pi greco", in quanto nella sua scrittura anglosassone (3/14) esso ricorda l'approssimazione più comune di π. Come giorno dell'approssimazione di pi greco si è proclamato il 22 luglio, in quanto 22/7 è una frazione molto semplice che fornisce un'accettabile approssimazione per il rapporto fra una qualsiasi circonferenza e il suo diametro.

- Tracciando una linea che divide a metà il numero si otterrà un rapporto molto vicino al valore di , precisamente   

Si tratta della miglior approssimazione razionale con meno di cinque cifre nel numeratore e nel denominatore.

- Sebbene sia diffusamente riconosciuta la denominazione "pi greco", è grammaticalmente più corretta la forma "pi greca". Infatti, le lettere vengono considerate di genere femminile: così come diciamo la alfa, la beta e non il alfa e il beta, dovremmo dire la pi e per concordanza quindi, la pi greca.

Siti sulla storia di π

J J O'Connor e E F Robertson: A history of Pi. Mac Tutor project

Alla ricerca del valore di Pi

PlanetMath: Pi

Alcuni siti ove è possibile convertire le cifre del pi greco in una sequenza musicale.

Possiamo ascoltare la musica collegandoci a questi link, dove vengono illustrati anche i vari metodi adottati per la conversione.

http://www.avoision.com/experiments/pi10k/pi10k.html

Il sito offre anche la possibilità di comporre delle personali musiche del pi greco.

http://www.kenjikojima.com/pi/htmlFiles/index.html

Un sorprendente chorus pi giapponese.

http://piworld.de/piworld/_piphon.htm

La sinfonia del pi greco, la π - phony

Insomma ragazzi, avrete un po' di tempo da spendere per leggere e visitare i link.