Una Progressione Geometrica E I Fiori Della Schlumbergera

Cari ragazzi e cari lettori, riporto di seguito un interessante articolo dell'amico Bruno riguardante una progressione geometrica e...i fiori della schlumbergera. Sì avete capito bene! I fiori di una schlumbergera..., diciamo così, "numerica". Leggete e rimarrete piacevolmente colpiti come è capitato a me.

Scrive Bruno:

Alcune sere fa, mi sono accorto che la mia schlumbergera aveva appena schiuso due dei fiori che stava preparando da diversi giorni. Chiaramente l'ho fotografata subito, non ho nemmeno aspettato la luce naturale del giorno dopo. Eccola qui:

Vive in bagno, dove la allevo con il metodo idroponico (nel contenitore c'è acqua, argilla espansa e uno specifico concime)  pur essendo una cactacea.
Faccio una parentesi. Ogni volta che penso all'effetto unificante dell'acqua resto stupefatto   Se il vaso fosse più grande, accanto alla mia schlumbergera potrei mettere un filodendro, una dracena, una begonia e magari anche un'aspidistra, tutte piante che è quasi impossibile mantenere in uno stesso vaso con la terra.

Mentre contemplavo la pianta e i suoi fiori, a un certo punto mi è apparsa nella mente (woom!) questa relazione:

Cosa dite, notate anche voi una certa somiglianza? 

Oppure la vedo solo io? 

In ogni caso, probabilmente saprete che questa uguaglianza è stata considerata anche dal matematico Euclide nei suoi Elementi, soprattutto quando ci parla della regola per ottenere i famosi  numeri perfetti  (Libro IX, Proposizione 36), affascinanti creature dell'insieme dei numeri naturali non ancora del tutto svelate dai matematici.

Un fiore della schlumbergera.

Riprendo l'uguaglianza:

che per me è bella come la mia pianta

I numeri che vediamo a sinistra  del segno "=", cioè:

posso scriverli anche così, spingendomi un po' più avanti nella sequenza:

Essi non sono altro che gli elementi di una progressione geometrica, ossia una successione di numeri che condividono questa proprietà:

se calcoliamo il rapporto di due termini consecutivi qualsiasi si ottiene sempre lo stesso risultato (nel nostro caso è 2, quando dividiamo il termine maggiore per l'altro, oppure è 0,5 se facciamo il contrario).

Ecco, mentre ammiravo la mia schlumbergera e percorrevo con la mente  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ... , mi sono accorto che anche in questa successione vi sono dei piccoli fiori

Guardate qui.

Prendo dalla sequenza i seguenti cinque termini consecutivi  512, 1024, 2048, 4096  e  8192, quattro dei quali hanno lo stesso numero di cifre e il rimanente ne ha una in meno. Quindi scrivo:

Adesso prendo i termini  524288, 1048576, 2097152, 4194304  e  8388608 (sempre cinque, sempre consecutivi, quattro con la stessa quantità di cifre e uno con una cifra in meno) e poi scrivo:

I numeri che leggete sopra e sotto il segno di frazione sono "interi", nel senso che devono essere considerati come 4023 (quattromilaventitrè) o 52231 (cinquantaduemiladuecentotrentuno), ma al loro interno ho creato una piccola separazione perché così si vede meglio da quali numeri sono formati.

Simpatico, no?  A me sembra gradevole anche graficamente

Affiancare due numeri per ottenerne un altro non è come moltiplicarli o sommarli semplicemente! La cosa, tuttavia, si spiega in fretta con una piccola osservazione, che però preferisco lasciare a voi.

Lungo la nostra schlumbergera "numerica" si può invero cogliere una INFINITÀ di simili fiorellini, nonostante questo fatto sia un po' meno immediato da comprendere. Peraltro, va detto, non tutte le progressioni geometriche con termini interi permettono di comporre delle doppie uguaglianze come quelle appena viste.  In generale, è possibile farlo con la seguente famiglia di successioni:

dove a è un numero dispari positivo qualsiasi. Tale sequenza deriva da quella iniziale, in un certo senso ne riunisce tutti i "multipli".

Nelle progressioni geometriche di questo tipo allora, e solo in queste, posso trovare infinite quaterne di termini con lo stesso numero di cifre (io farei così), quattro termini e non più di quattro

Se da una parte non è per niente difficile dimostrare le cose che ho detto,  forse è meno facile spiegare come si possano immaginare certe configurazioni partendo da una pianta,  ma questo è un altro discorso

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Straordinario! Non trovate?