Curve Celebri: Arbelos Di Archimede O Coltello Del Calzolaio

Cari ragazzi di 3° B e cari lettori, vi propongo una delle curve geometriche celebri: l'arbelos di Archimede (Dentro la Storia: Archimede, per saperne di più su questo grande della scienza). Leggete con attenzione quanto segue. Lunedì ne parleremo a scuola.

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"...abbiamo una collezione di lemmi che è giunta fino a noi attraverso l'arabo. [...] I lemmi non possono, tuttavia, essere  stati scritti da Archimede, nella loro forma attuale, perché il suo nome è ivi citato in terza persona  più di una volta. ... anche se è molto probabile che alcune delle proposizioni  siano da attribuirsi ad Archimede, ad esempio, quelle riguardanti le figure geometriche chiamate rispettivamente arbelos (letteralmente coltello del calzolaio) e salinon  (probabilmente una saliera) ..." Thomas L. Heath, The Works of Archimedes

Si reputa che Archimede di Siracusa (Αρχιμήδης ο Συρακούσιος) (287-212 aC) sia stato il primo matematico a studiare le proprietà della curva denominata "Arbelos".  Il termine arbelos significa in greco "coltello del calzolaio", e questo termine è attribuito alla zona colorata di azzurro in figura, che assomiglia alla lama di un coltello usato dagli antichi calzolai.

"La parola greca: o (a) / rbhlos [ arbelos; di  genere  masch.] significa coltello del calzolaio (h è il simbolo utilizzato per eta).  Dalla stessa radice arb-abbiamo anche: h (a) rbu / lh [di genere fem. ]: un tipo di scarpe (mezzo-stivale; come il mezzo stivale del soldato).  Questa parola sopravvive nel greco moderno, ma nella sua forma dorica, cioè con la finale alfa (a) invece di eta (h): h (a) rbu / la" Antreas P. Hatzipolakis

Un calzolaio con un  arbelos  che taglia la pelle per calzature

 (The Cambridge illustrated history of ancient Greece, a cura di Paul Cartledge, Cambridge University Press, 1998)

L’arbelos è l’area colorata di azzurro, nella figura precedente.  La posizione della tacca D è arbitraria, e può essere posizionata ovunque lungo il diametro AB.
La lunghezza della semicirconferenza di diametro AB  è  uguale alla somma delle lunghezze delle due semicirconferenze più piccole, rispettivamente di diametro AD e DB.
Se consideriamo la perpendicolare per D, che interseca la prima semicirconferenza nel punto C, vi è associato un cerchio azzurro, come  mostrato nella figura seguente, che ha la stessa area dell’arbelos.

I cerchi A1 e A2, iscritti nelle due parti dell’ arbelos ADC e CDB,  sono chiamati cerchi gemelli di Archimede e la loro area è la stessa.  Il  cerchio S, che racchiude i cerchi gemelli A1 e A2,  ha la stessa area dell’arbelos. 

 I cerchi gemelli di Archimede (Java applet)

Se consideriamo la tangente alle due semicirconferenze di diametro AB e BC in E ed F, allora i segmenti EF e BD sono della stessa lunghezza, poiché essi sono diametri di un cerchio avente come centro il punto di intersezione di EF e BD.

I cerchi gemelli di Archimede e un fratello (applet Java)
 

EF = BD

Dal punto B ed EF può essere costruito un cerchio che ha la stessa area dei due cerchi gemelli di Archimede. Quindi in realtà non ci sono solo 2, bensì 3 cerchi di Archimede.

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Sulle proprietà dell'arbelos non è finita. Compatibimente con gli impegni, ve ne proporrò altre!

Fonte