Il Problema Del "Piccolo Gauss"

Cari ragazzi della futura 2°B e cari lettori, ecco a voi un problema "storico" la cui risoluzione è attribuita a Gauss.

Ma chi è stato Gauss? Carl Friedrich Gauss fu uno dei più grandi matematici di tutti i tempi; fu addirittura soprannominato il "Principe dei matematici". Nacque in Germania nel 1777 e morì nel 1855. Già da bambino, a soli 9 anni, manifestò la sua grande passione per questa materia.



Vediamo l'episodio che mise in luce la sua genialità!

Via via che leggete il brano, cimentatevi anche voi nel rispondere alle domande che furono poste a Gauss.
Una mattina il maestro della classe del piccolo Gauss doveva completare al più presto alcune relazioni didattiche. Pensò allora di assegnare ai suoi alunni un esercizio, non particolarmente difficile, ma che li tenesse impegnati a lungo: nel frattempo avrebbe portato a termine le sue relazioni.

L'esercizio era: "Determina la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 12."

Dopo pochi attimi il piccolo Gauss si presentò al maestro con il quaderno, su cui stava scritto con ordine:

1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10+ 11+ 12= 78

"Hai fatto troppo in fretta per averlo fatto con criterio. Sicuramente è un caso che tu abbia messo proprio il risultato esatto! (Il maestro conosceva già il risultato dell'esercizio). Torna a sederti e determina la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 50 ".

Il maestro era così convinto di avere assegnato un lavoro molto lungo e di riuscire a lavorare in pace per un bel po'. Ma dopo pochissimo tempo, ecco di nuovo il piccolo Gauss presso la cattedra per esibire soddisfatto il suo lavoro:

1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10+...+ 49+ 50= 1275

"Questa volta è proprio impossibile che tu abbia fatto i calcoli in così poco tempo: hai messo certamente un numero a caso" sbottò il maestro seccato di non riuscire a lavorare in pace.

"No"- disse il piccolo Gauss- "Guardi, signor maestro, se ne convincerà anche lei!"

Prese un gesso e cominciò a scrivere alla lavagna i numeri naturali da 1 a 25, poi scrisse gli altri, da 26 a 50, sotto i precedenti, ma nell'ordine inverso:

 1     2     3    4    5    6    7     8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25

50  49  48  47  46  45  44  43  42  41   40  39   38   37   36   35   34   33   32   31   30   29   28   27   26  

"Disponendo i numeri in questo modo ho formato tante coppie, precisamente 25 coppie. Ogni coppia di numeri ha come somma 51. Per trovare la somma di tutti i numeri basta allora moltiplicare il valore di ogni coppia per il numero delle coppie: 51 * 25 = 1275" 

"Sei stato fortunato, ragazzo, ti ho dato da addizionare 50 numeri, che hai potuto disporre in coppie. Ma, se ti avessi dato da addizionare tutti i numeri naturali da 1 a 27, come avresti fatto?"

Il piccolo Gauss ci pensò su appena un attimo, poi rispose: "Avrei fatto così!"

             1            2            3            4             5            6            7        8          9         10        11         12       13
27       26          25         24          23           22         21         20      19        18        17        16         15       14

27*14 = 378

A quel punto il maestro si rese conto di avere per alunno un genio!

E finalmente! Vero ragazzi?

Che cosa ne pensate? Se ne avete voglia, cimentatevi con lo stesso esercizio, considerando un intervallo numerico formato dai numeri che vanno da 1 al numero che più vi piace!

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Bibliografia di riferimento: "Matematica lezione per lezione"- Aritmetica 1- A.Mondadori Scuola