Numeri Felici

Cari ragazzi e cari lettori, lo sapevate che la felicità non è una condizione di esclusiva competenza umana, ma appartiene anche alla matematica? Sì, non sto scherzando! Esistono infatti i numeri felici;)

Osserviamoli, pertanto, un po’ da vicino per capire quando un numero è…felice!

Se iteriamo il processo di sommare i quadrati delle cifre di un numero naturale, otteniamo un ciclo oppure finiamo con "1".

Ad esempio, iniziamo con 4:

4^2 = 16,
1^2 + 6^2 = 37
3^2 + 7^4 = 58... si finisce nel ciclo o loop

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4…

Adesso  iniziamo con 7:

7^2 = 49,
4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97
9^2 + 7^2 =  81 + 49 = 130
1^2 + 3^2 + 0^2 = 1 + 9 + 0 = 10
1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1

7, 49, 97, 130, 10, 1.

Consideriamo anche la sequenza per il 13:

 1^2 + 3^2 = 10
 1^2 + 0^2 = 1.

I numeri che come il 7 e il 13 generano sequenze che terminano in "1" sono noti come Numeri Felici mentre quelli che come il 4 non danno mai 1 sono numeri infelici.

Possiamo quindi affermare che un numero si dice felice se sommando i quadrati delle sue cifre e ripetendo la somma dei quadrati per tutti i numeri che si ottengono, alla fine risulta 1.

Se un numero non è felice,  la sequenza  delle somme dei quadrati delle cifre non ha mai termine, perché si ripete ciclicamente da un certo punto in poi.

Una  ricerca su calcolatore fino a 10^20 ha fatto ipotizzare che circa il 12% dei numeri sia felice, sebbene non esista ancora dimostrazione di ciò. È comunque evidente che i numeri felici sono infiniti.

Se un numero è felice, allora tutti i numeri della sua sequenza sono felici; se un numero è infelice, tutti i numeri della sua sequenza sono infelici.

Facendo un po' di calcoli, possiamo determinare i NF tra i primi 100 naturali:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100

e, tra questi, i numeri felici primi sono: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97.

Tra questi cento NF esiste, inoltre, una sola coppia di numeri felici consecutivi, ossia 31 e 32.

Osserviamo inoltre che se è felice 49 lo è pure 94, com’è facile verificare:

9^2 + 4^2 = 81 + 16 = 97
9^2 + 7^2 = 81 + 49 = 130
1^2 + 3^2 + 0^2 = 1 + 9 + 0 = 1 + 9+ 0 = 10
1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1

In generale, possiamo dunque affermare che ogni permutazione delle cifre di un numero felice darà ancora un numero felice. Questo deriva ovviamente dalla proprietà commutativa dell’addizione.

I primi tre numeri felici consecutivi sono: 1880, 1881 e 1882.

La prima banda di numeri felici, di cinque numeri consecutivi felici è: 44488, 44489, 44490, 44491 e 44492.

I numeri felici furono sottoposti all'attenzione di Reg Allenby, un matematico britannico e Senior Lecturer in pure mathematics alla Leeds University, da sua figlia, che ne era venuta a conoscenza a scuola, ma la loro origine potrebbe essere russa (Guy 2004:§E34).

Nell'episodio 42 di Doctor Who, è utilizzata una sequenza di NF (313, 331, 367, 379) come codice per sbloccare un dispositivo sigillato all'interno di una navicella spaziale sul punto di entrare in collisione con un sole.

Potete notare che tutti i numeri primi nella forma 10^n + 3 e 10^n + 9 sono felici.

A giugno 2007, il più grande numero primo felice conosciuto (che è anche il dodicesimo primo più grande conosciuto) è 4847 × 2^3321063 + 1. La sua espansione decimale ha 999.744 cifre. Tale numero è stato scoperto nel 2005 da Richard Hassler nell'ambito del progetto di calcolo distribuito Seventeen or Bust, mentre Jens K. Andersen lo ha identificato come più grande primo felice conosciuto nel giugno 2007.

Consultate i numeri felici da 1 a 10 000.

A questo indirizzo potete verificare online se un numero è felice!

Risorse in rete sui numeri felici:

- Walter Schneider, Mathews: Happy Numbers.

- Weistein, Eric W., "Happy Number" da MathWorld.

- Happy Numbers al "The Math Forum".

- Guy, Richard (2004), Unsolved Problems in Number Theory (terza edizione), Springer-Verlag, ISBN 0-387-20860-7 

E per concludere ecco i numeri felici in Excel dal sito www.nrich.maths.org.

Scaricate dallo stesso sito:

- il file Happy Numbers con la sequenza delle somme dei quadrati delle cifre relative ai numeri felici compresi tra 1 e 200;

- il file Excel Happy Number Mapping, in cui la colonna A presenta il numero da mappare, le colonne B, C, e D, le singole cifre, e la colonna E la mappatura.

- il file Happy_Numbers_coloured.xls, contenente la sequenza delle somme dei quadrati delle cifre, ottenuta con l'impiego della formattazione condizionale. Nel caso dei numeri felici si arriva ad 1, mentre nel caso dei numeri infelici si arriva al loro primo loop.