Parliamo Di Algebra

Cari ragazzi della futura terza B, dopo due anni di esplorazioni nell’Aritmetica e nella Geometria, tra numeri e figure, nel prossimo anno scolastico, che inizierà a Settembre 2009, avremo a che fare con l’Algebra!

Per non lasciare nel mistero il suo significato, consultiamo il Dizionario Collins della Matematica, dove possiamo leggere che l’Algebra è “la branca della Matematica elementare che generalizza l’aritmetica utilizzando variabili che assumono valori numerici”. Semplificando, possiamo dire che: se non si conosce una quantità, la si indica con un simbolo e poi si fanno i calcoli con le operazioni dell’Aritmentica. In questo modo saremo in grado di risolvere tutto molto più semplicemente.
Ad esempio Euclide, nella proposizione 1 del II libro degli Elementi, parla della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, usando la seguente figura geometrica

la quale ci dice che un rettangolo di lati dati, di cui uno solo diviso in un numero qualunque di segmenti arbitrari, è equivalente (nel senso che ha la stessa area) alla somma dei rettangoli aventi per lati quello non diviso ed i singoli segmenti in cui era suddiviso l’altro. In simboli, oggi si scrive:

a (b + c + d) = ab + ac + ad

L’idea oggi può sembrare banale. In realtà ci sono voluti secoli per formalizzare in una scrittura il concetto che Euclide spiegava con il rettangolo precedente. Il primo scritto in cui compare tale formalismo è del  matematico arabo del IX secolo Abu Ja'far Muhammed ibn Musa al-Khwarizmi (per curiosità il nome ci dice che Abu Ja’far Muhammed era figlio, tradotto ibn, di Musa ed era originario, tradotto al, di Khwarizmi, una regione che si trova in prossimità del lago Aral). Il libro si intitola Kitab al-muhtasar fi isab al-Jabr wa al-Muqabalah, che potremmo tradurre come Libro (o trattato) sul calcolo dell’aggiustamento e del confronto.

Proprio da al-Jabr deriva  la parola “Algebra”. In questo libro compare anche l’incognita che, per la prima volta, viene chiamata “cosa”, in arabo “chei”, o anche “shay”, e che sarà così chiamata per secoli.
Dapprima altri matematici arabi studiarono equazioni e sistemi tra il IX e il X secolo, poi, verso la fine del Medioevo, i loro studi  si diffusero in Europa insieme alla notazione posizionale introdotta dagli indiani e, sotto la spinta del commercio e della finanza, calcoli e algebra si svilupparono parecchio. Ma ancora alla fine del XV secolo Fra' Luca Pacioli indicava l’incognita come “co”, da “cosa”.
Solo con il matematico e filosofo francese Cartesio, nel XVII secolo, si arriverà al calcolo letterale, molto simile a quello oggi in uso e con cui riusciamo a risolvere intere classi di problemi.
A proposito di problemi, eccone alcuni che si possono risolvere in molti modi. Vediamo qui se e come l’Algebra ci aiuta!

Primo problema.  L’Epitaffio di Diofanto: questa tomba racchiude Diofanto e, cosa meravigliosa, essa dice matematicamente quanto egli  abbia vissuto. Dio gli accordò il sesto della sua vita per l’infanzia; aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell’adolescenza; inoltre, per un  settimo fece brillare per lui la fiamma d’Imene e dopo 5 anni di matrimonio gli diede un figlio, ahimé! Unico e infelice bambino al quale la Parca non permise di vedere che la metà della vita di suo padre, Durante quattro anni ancora, consolando il suo dolore con lo studio delle cifre, Diofanto raggiunse alfine il termine della sua vita (I. Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa, Hoepli, Milano)

[Per giungere alla soluzione di questo problema, si deve impostare l’equazione:

1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + 5 + 1/2 x + 4 = x

che risolta (quando avrete imparato a farlo!) dà il valore x = 84]

Secondo problema. Il 40% degli studenti di una scuola è formato da ragazze, delle quali l’80% sono brune mentre le rimanenti sono 160. Quanti sono gli studenti di quella scuola? (F. Ciuffoli, Giochi e test logico matematici, I libri di Panorama)

[Per la soluzione si deve impostare la proporzione:

160 : x = 20 : 100, da cui x = 800 n° delle ragazze, poi 800 : y  = 40 : 100, da cui y = 2000 n° totale degli studenti.]

Terzo problema. E ora un vecchio gioco che tutti conoscete: pensa un numero, moltiplicalo per 3, sottrai 1 al totale ottenuto, moltiplica di nuovo per 3, aggiungi al risultato il numero che hai pensato all’inizio. Se si aggiunge 3 al risultato finale e lo si divide per 10 si trova esattamente il numero iniziale. Perché?

[ Soluzione: se x è il numero pensato si deve impostare il seguente calcolo:

{[(3x - 1) 3 + x] + 3} : 10 da cui (10 x -3 + 3) : 10 quindi 10 x : 10 ossia x (il numero pensato)]

"Rendere chiaro ciò che è oscuro e semplice ciò che è complesso", scrive al-Khwarizmi nelle prime pagine del suo libro: ecco a cosa serve l'algebra!

Un obiettivo affascinate! Non trovate?

[Bibliografia di riferimento: Vacca-Artuso-Bezzi, Algebra- Modelli del pensiero matematico, ATLAS]