Numeri Palindromi

Cari ragazzi e cari lettori, dopo i numeri felici  e "Il segreto del 57 e altre magie" vi propongo un’altra curiosità matematica: i numeri palindromi!
Nello studio dell’italiano, penso abbiate incontrato il termine “palindromo” . In ogni caso, vediamo di cosa si tratta.
Il palindromo (dal greco antico πάλιν "indietro" e δρóμος "corsa", col significato "che corre all'indietro") è una sequenza di caratteri che, letta al contrario, rimane identica. Il concetto si riferisce principalmente a parole, frasi e numeri. Secondo una leggenda l'inventore e il primo virtuoso del genere sarebbe stato il poeta greco Sotade, vissuto ad Alessandria d'Egitto nel III secolo.

Esempi di termini palindromi sono i seguenti:

 re-ma-re, Ma-rem-ma, Ne-ro-ne

Passiamo adesso dai palindromi sillabici ai palindromi numerici, la curiosità matematica che ci interessa, con alcuni esempi:

1991; 2002; 2112; 2992; 357753; 1288821.

Rilevate facilmente che i numeri elencati hanno la caratteristica di essere letti da sinistra a destra e viceversa rimanendo identici a se stessi come se fossero riflessi in uno specchio!

Un numero palindromo è un numero scritto in modo che la disposizione delle cifre sia simmetrica rispetto al centro del numero: a1a2a3 ...|... a3a2a1.

Tutti i numeri con una sola cifra sono palindromi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
I numeri palindromi di due cifre sono nove: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

Ci sono 90 numeri palindromi con 3 cifre e 90 con 4 cifre.

I numeri palindromi minori di 104  sono 199  mentre sono 1099 i numeri palindromi minori di 105.
Osserviamo alcuni comportamenti curiosi.

Scriviamo in fila, a partire da 1, un numero pari ( in questo caso sei) di numeri consecutivi, ad esempio: 123456. Proseguiamo aggiungendo la sequenza 54321, ovvero rendiamo palindromo il numero considerato, ritornando nuovamente a 1, ottenendo: 12345654321.

Il palindromo 12345654321 è divisibile per 11, che è a sua volta un numero palindromo.
Il quoziente della divisione 12345654321/ 11 = 1122332211 è ancora un numero palindromo.
1122332211/11= 102030201 è un numero palindromo, dove è interposto uno zero in ogni coppia di cifre!

Il numero palindromo 4.211.672.540.455.378.958.718.869.999.688.178.598.735.540.452.761.124 formato da 52 cifre è un quadrato perfetto.

Inoltre 2211^3 = 10.662.526.601

Sommando tutti i numeri naturali da 1 al palindromo 3.654.345.456.545.434.563 si ottiene ancora un numero palindromo: 6.677.120.357.887.130.286.820.317.887.530.217.766.

Esiste anche una interessante congettura sui palindromi che non è stata ancora dimostrata, ed è così formulata:
 “Considerare un numero e invertire le  cifre che lo compongono. Sommare quindi a quello iniziale il numero così ottenuto. Se la somma non è un palindromo, ripetere il procedimento. E’ vero che reiterando il procedimento, a partire da un numero qualunque, si ottiene un palindromo?”

Applichiamo il procedimento al numero 87:
1. Invertendo sue cifre, otteniamo 78
2. effettuiamo la somma tra 87 e 78, ottenendo
87 + 78 = 165 non palindromo
3. ripetiamo il procedimento invertendo le cifre di 165, ottenendo 561
4. sommiamo
165 + 561 = 726 non palindromo
5. ripetiamo ancora e sommiamo
726 + 627 = 1353 non palindromo
6. e ancora
1353 + 3531 = 4884  è un palindromo!

In pochi passaggi abbiamo ottenuto il numero palindromo 4884 a partire dal numero originale 87.

Applicando il procedimento ad altri numeri si otterrà nella maggior parte dei casi un numero palindromo. In effetti solo pochissimi numeri non diventano palindromi! E questo lascia insoluta la congettura indicata. Il più piccolo numero che non diventa palindromo è 196.

Il Project Euler si è interessato di risolvere il seguente problema: trovare il palindromo più grande generato dal prodotto tra due numeri di tre cifre ciascuno. Chi vuole saperne di più consulti questa pagina.

Particolari palindromi sono i primi palindromi, oggetto di ampie ricerche e approfondimenti.

Il più piccolo primo palindromo è 11, che è anche l’unico con un numero pari di cifre.
Tutti gli altri palindromi con un numero pari di cifre, sono infatti divisibili per 11.

I palindromi primi di tre cifre sono quindici: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919 e 929.
Non ne esistono con quattro o sei cifre, mentre sono 93 a cinque cifre: 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, …

Proseguiamo con le curiosità matematiche sui numeri palindromi con i repunits: numeri primi contenenti soltanto la cifra uno come, ad esempio 11.
Il più grande repunit, trovato nel 2002 è il numero: (18067^(4201)-1)/18066, formato da 17879 cifre 1.

Si possono trovare approfondimenti sui  repunits  a questa pagina web.

Ed ecco una bella piramide di numeri palindromi primi, proposta da G. L. Honaker, Jr.

Consultate:

numeri palindromi fino a 100,000 da Ask Dr. Math

Distribution of palindromes in Base b

Palindromic number

Palindromic Number Conjecture

Palindromic Prime

Puzzle 14- Pal-Primes and sum of powers

Jason Doucette - 196 Palindrome Quest / Most Delayed Palindromic Number

196 and Other Lychrel Numbers

On General Palindromic Numbers at MathPages

John Abreu's Palindrome Puzzle

 E, per finire, un gioco sui palindromi tratto dai Giochi matematici 2002:

Siamo nell'anno duemiladue. Il numero 2002 è un numero che si puo' leggere - senza che ne cambi il valore - da destra verso sinistra e da sinistra verso destra. Si dice che è un numero palindromo.
Quali saranno i prossimi dieci anni che si indicheranno con numeri palindromi?

Soluzione del gioco.
I prossimi dieci anni palindromi sono: 2112 - 2222 - 2332 - 2442 - 2552 - 2662 - 2772 - 2882 - 2992 - 3003