Equazione Logistica O Modello di Verhulst E Diffusione Del Virus H1N1

Poco fa, mi sono imbattuta serendipicamente, come capita di frequente in rete, in un post interessante sul blog di Murray Borne intitolato  H1N1 and the Logistic Equation ("H1N1 e l'equazione logistica"), in cui è spiegato come una funzione logistica può essere utilizzata per modellizzare la diffusione di un virus o una malattia in una determinata popolazione. Murray Borne scrive nel suo post che le equazioni logistiche "result from solving certain Differential Equations (a topic in calculus)".

Per far afferrare il senso dell'argomento a quanti non sono docenti di matematica, riporto da wikipedia la definizione di equazione logistica:

"Una funzione logistica o curva logistica" descrive una curva ad S di crescita di alcuni tipi di popolazioni P. All'inizio la crescita è quasi esponenziale, successivamente rallenta, diventando quasi lineare, per raggiungere una posizione asintotica dove non c'è più crescita.

Come si vedrà in seguito, la libera evoluzione di una popolazione P può essere modellata con un termine di crescita +rKP (una percentuale di P). Ma quando, come la popolazione cresce, alcuni membri di P (descritti mediante il termine − rP²) interferiscono l'un l'altro ponendosi in competizione per le risorse (modellato da K, quale può essere chiamato il il collo di bottiglia, o capacità portante k che limita la crescita). Questa competizione diminuisce il tasso di crescita, finché la popolazione P cessa di crescere (questo è chiamato maturità).

Una funzione logistica è definita mediante la seguente formulazione:

con i seguenti parametri reali a, m, n, e τ. Queste funzioni trovano applicazioni in una vasta gamma di campi, dalla biologia all'economia. [Continua a leggere ]

L'equazione logistica, conosciuta anche come modello o equazione di Verhulst,fu pubblicata per la prima volta da Pierre F. Verhulst nel 1838,dopo aver letto  An Essay on the Principle of Population di Thomas Malthus

Verhulst derivò la sua équation logistique  per descrivere le auto-limitazioni di crescita di una popolazione biologica. L'equazione viene talvolta chiamata equazione di Verhulst-Pearl dopo che è stata riscoperta nel 1920. Alfred J. Lotka dedusse l'equazione ancora nel 1925, chiamandola legge di crescita di una popolazione.

Murray Borne, nel suo articolo, fa ricorso al modello di Verhulst  per mostrarne una applicazione concreta al caso della diffusione del virus H1N1, the spread of swine flu in Mexico last spring. Vedi il grafico seguente. E' questo un efficace, e abbastanza semplice, esempio di come la matematica sia utilizzata per modellizzare diverse e numerose situazioni che si incontrano nella vita reale.

Un esempio questo che i docenti della scuola superiore potrebbero utilizzare per aiutare i propri alunni a comprendere come la matematica sia impiegata spesso  nella vita reale, favorendone così una visione  meno astratta! Un tale approccio potrebbe risultare stimolante e motivante per molti studenti, soprattutto quando si trovano legami con alcuni  argomenti "caldi", come l'influenza H1N1 in questo periodo.

Se volete approfondire, leggete anche l'articolo Predicting the spread of AIDS using differential equations.