Come Si Calcola L'Area Del Triangolo?

Mezzani di 2° B, riporto la relazione di Marco N. e Davide  di 2° B che hanno ricavato la formula per calcolare l’area della superficie di un triangolo generico a partire dal confronto con l’area della superficie di un rettangolo.

L’attività è stata svolta a classe intera e  quasi tutti i ragazzi sono pervenuti  individualmente alla formula base * altezza /2. Le relazioni di Marco e Davide sono però le più complete.



La consegna per lo svolgimento dell’attività è stata la seguente:
"
Riflettere su come pervenire ad una formula che ci permetta di calcolare l’area della superficie di un generico  triangolo a partire dal confronto con poligoni di cui sappiamo già calcolare l’area."

L’attenzione dei  ragazzi  si  è subito concentrata sul rettangolo e sul parallelogrammo.

Così descrivono il procedimento Davide e  Marco.

Abbiamo disegnato un triangolo acutangolo scaleno ABC perché la formula deve valere in generale.

Successivamente abbiamo disegnato il rettangolo ACED come in figura. E' evidente che il rettangolo e il triangolo hanno la base e l'altezza congruenti. Abbiamo, quindi, osservato che il rettangolo è scomponibile in quattro triangoli rettangoli che risultano due a due congruenti.



Dimostriamo la congruenza dei triangoli AHB e ADB; il procedimento vale anche per gli altri due triangoli BHC e BEC.

Abbiamo rilevato che i  due triangoli AHB e ADB  risultano congruenti perché hanno tutti gli elementi ordinatamente congruenti:

1. gli angoli di vertice H e D sono retti per costruzione;
2. gli angoli* BAD e ABH sono congruenti perché alterni interni tra le rette parallele, passanti rispettivamente per i punti A, D e per  i punti H e B, tagliate dalla retta trasversale passante per A e B;
3. gli angoli ABD e BAH sono congruenti tra loro perché complementari di angoli tra loro congruenti (quelli colorati in rosso);
4. i cateti AD e HB sono congruenti per come li abbiamo costruiti;
5. i cateti DB e AH risultano congruenti anch’essi per costruzione;
6. hanno, inoltre, in comune l’ipotenusa.

In realtà, possiamo notare  immediatamente che i due triangoli considerati sono congruenti  per il secondo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, avendo l’ipotenusa in comune e un angolo acuto congruente (quello colorato in rosso).

In definitiva, si vede con chiarezza che il triangolo è equivalente alla metà del rettangolo, e, poiché sappiamo già che:
 

Area del rettangolo = b * h

l’area del triangolo si calcolerà dividendo per due il prodotto  precedente:

Area triangolo = (b* h)/2

BRAVI RAGAZZI!


Andate a vedere alcune applet di Geogebra, realizzate da maestra Renata; la quarta, "Formula per calcolare l'area del triangolo", risulta utile per osservare dinamicamente quello che voi avete ricavato per dimostrazione.

Grazie Renata!

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*Nella notazione degli angoli, i ragazzi non sono riusciti ad inserire il simbolo di vertice nella lettera centrale, ma sanno bene come si scrive! Vero, ragazzi?