Cari ragazzi e cari lettori, con il 30 dicembre è arrivata puntuale la seconda edizione del Carnevale della Fisica, ospitata questo mese dall'originale jolek blog di Fabio De Sicot.
Molto interessanti i contributi dei partecipanti!
Audite, audite quello che il buon Fabio scrive di Scientificando:
"io spero solo che non sia la prima volta che sentiate nominare questo sito. perchè, in caso contrario, non vi dovrete andare a visitare solo i link del carnevale, ma anche i post passati. (non è un consiglio… è una simpatica imposizione!). perchè annarita ruberto è una di quelle risorse delle quali oggi in rete non si potrebbe fare a meno. e se non avete almeno una volta scaricato una sua unità di apprendimento, o un suo tool, ma sopratutto un learning object, non potete dire di voi stessi “sono un nerd con la n maiuscola!”
Aula Virtuale
mercoledì 30 dicembre 2009
Buon Anno Con Il Carnevale Della Fisica #2
Ti invito a promuovere, condividere, segnalare questo articolo, se lo hai apprezzato.
Semplice, basta cliccare sui bottoni social.
E se ancora non l'hai fatto, puoi sottoscriverti ai feed
per essere sempre aggiornato/a, se lo desideri.
Grazie.
martedì 29 dicembre 2009
I Numeri Primi E Internet
Cari lettori, (ragazzi per voi questo post non è facile da capire,...però se volete leggerlo! Non si sa mai...)
Nel corso della ventesima edizione del Carnevale della Matematica, ospitato da questo blog, c'è stata una marea di contributi interessanti. Di questi, riporto integralmente il contributo di Mauretto, che ha dato il consenso.
Grazie, Mauro!
I numeri primi e Internet
Ai matematici e filosofi greci che tanto tempo fa iniziarono a studiare i numeri primi e le loro proprietà, certo non poteva passare per la mente che, oltre duemila anni dopo, quei loro studi (con i contributi di tanti altri matematici che seguirono) sarebbero stati utilizzati per rendere più sicure le transazioni commerciali ai tempi nostri... Eppure è così, e vediamo come, attraverso questa carrellata sulla storia del numero primo...
1. I numeri primi per gli antichi greci
In principio era l’1. Da esso, aggiungendo un’unità per volta, è possibile creare tutti i numeri interi (che d’ora in poi chiamerò anche naturali) che si vogliono, basta averne il tempo e la voglia... Ma non tutti i naturali, pur avendo lo stesso progenitore, per così dire, sono uguali; per esempio esistono i pari e i dispari, i perfetti, difettivi e perfettivi ecc. Una delle caratterizzazioni principali dei naturali è quella che li suddivide in primi e composti. Vengono detti primi tutti quelli che sono divisibili soltanto per se stessi e per 1, composti tutti gli altri (l’1, di per sé, è un caso particolare: rientrerebbe nella definizione appena data, ma i matematici non lo considerano primo, per ragioni logiche, ma che qui adesso non sto a specificare).
Già Euclide, vissuto nel IV-III secolo p.e.v., si era posto il problema di quanti fossero i numeri primi, ovvero, per meglio dire, se essi fossero in numero limitato o no. Dimostrò con un procedimento semplicissimo (anche se coinvolge un tipo di ragionamento, quello per assurdo, che risulta abbastanza ostico a chi non è addentro in questioni di matematica o di logica) che essi sono in numero infinito, e che dunque non esiste un numero primo più grande di tutti. Dimostrò inoltre che ogni numero composto ammette una e una sola scomposizione in fattori primi (a meno dell'ordine dei fattori, naturalmente).
Eratostene, altro matematico greco (vissuto un secolo circa dopo Euclide) si pose il problema di determinare quali fossero i numeri primi e quali quelli composti. Inventò, a tale scopo un sistema ingegnoso; il procedimento è il seguente: si supponga di voler trovare tutti i numeri primi fino a 1000; allora, scriviamo tutti questi numeri a partire da 2 fino a 1000 in un elenco; poi, partiamo da 2 e cominciamo a cancellare tutti i multipli di 2 (il 2 escluso); poi cominciamo da 3 (il primo che ancora non è stato cancellato) e cancelliamo (setacciamo) tutti i multipli di 3; e così via, partendo dal primo numero che non è stato cancellato, cancelliamo tutti i suoi multipli (escluso lui stesso). Proseguiamo così fino ad arrivare all’ultimo numero della nostra lista, 1000. I numeri che restano sono i numeri primi non maggiori di 1000. È come se si utilizzassero dei setacci a maglie via via più larghe: il primo lascia passare soltanto i numeri non multipli di 2, il secondo soltanto i non multipli di 3, e così via. Il procedimento viene effettivamente chiamato “crivello (setaccio) di Eratostene”.
Dopo i greci, c’è stato un lungo periodo di stasi, nella ricerca sui numeri primi. Per trovare un altro matematico che se ne sia occupato, bisogna arrivare addirittura al XVII secolo, al francese Pierre de Fermat e al suo coevo e conterraneo Marin Mersenne.
I due (oltre a numerosi altri argomenti) si occuparono principalmente di trovare una formula, un procedimento che fornisse numeri primi, dato che il crivello di Eratostene era sì efficace, ma pochissimo efficiente. Fermat arrivò alla formula
Egli credeva che questa formula fornisse soltanto numeri primi, mentre già fallisce per n = 5, dando un numero composto. D’altronde non aveva certo a disposizione le moderne calcolatrici, e a mano era praticamente impossibile controllare se 4 294 967 295 (il valore dell’espressione sopra con n = 5) fosse primo o composto...
Mersenne, invece, pervenne all’ancor più efficace (ed efficiente)
che fornisce moltissimi numeri primi. Il più grande che sia stato a oggi trovato è 242 643 801 - 1, un numero di 12 837 064 cifre!
Ma il contributo più importante (almeno dal punto di vista dell’argomento di questo post) che Fermat diede alla teoria dei numeri primi è quello che oggi viene chiamato “piccolo teorema di Fermat” (per distinguerlo da quello più famoso, del quale ho già parlato in questo post). Tale teorema stabilisce che
che si legge “a alla p è congruo ad a modulo p” affermando con ciò che, prendendo un qualsiasi numero a, elevandolo a una potenza prima p, ed eseguendo infine una divisione per lo stesso p, si ottiene un resto uguale al numero originario. Questo teorema costituisce la base della moderna tecnica crittografica, della quale parlerò oltre.
Toccò poi a Eulero, un matematico svizzero, che, oltre a confutare o dimostrare alcune delle affermazioni fatte da Fermat sui numeri primi, si imbatté a un certo punto dei suoi studi nel calcolo della somma infinita (detta anche serie armonica)
e dimostrò che divergeva, cioè che la somma era infinita; ma, generalizzando, decise di studiare cosa avveniva se ogni termine veniva elevato al quadrato:
oppure, in genere, a un esponente maggiore di 1:
con n > 1. Ebbene, Eulero dimostrò che, nel caso in cui l'esponente fosse maggiore di 1, la serie improvvisamente convergeva.
Una serie di queste, in particolare, destò in Eulero e negli altri matematici particolare stupore; era quella in cui l’esponente valeva 2. Lo svizzero, dopo numerosi calcoli, dimostrò che
un’espressione che legava la somma degli inversi di tutti i quadrati al rapporto tra una circonferenza e il suo diametro… una scoperta quasi mistica!
Cosa ancora più importante, però, dimostrò che la serie armonica poteva essere espressa in termini di prodotti di fattori contenenti in qualche modo i numeri primi, cioè che:
(dove al denominatore, nel membro di destra, compaiono tutti i numeri primi) ovvero, scritto in termini matematici più compatti,
Dove quel simbolo strano (una pi greca maiuscola) che vedete nel membro di destra si chiama produttorio ed è l’analogo della sommatoria (che è il simbolo a sinistra, una sigma maiuscola), ma per i prodotti.
E poi… poi arrivò Riemann, e fu tutta un’altra musica…
2. I numeri primi ai tempi nostri
Bernhard Riemann era un matematico tedesco che insegnava all’Università di Gottinga; verso la metà del XIX secolo, si occupava soprattutto di geometria non euclidea. Quasi improvvisamente nell’ambiente matematico iniziarono a circolare dei tipi di numeri, introdotti dal francese Cauchy, un po’ “strani”, che servivano a risolvere alcune equazioni polinomiali (ricordate questo post su Galois, vero? ); erano i numeri complessi, cioè i numeri della forma a + b • i, dove a e b sono numeri reali, mentre i = √(-1). Riemann ne restò talmente affascinato che iniziò a studiare il comportamento delle funzioni “normali” quando le variabili, invece che essere numeri reali, erano numeri complessi.
Tra l’altro, cominciò a studiare il comportamento di questa funzione:
(quel simbolo strano che vedete a sinistra è una zeta greca maiuscola, che noi matematici normalmente leggiamo “zita” per distinguerla dalla zeta dell’alfabeto latino, meno che quando la leggiamo nel caso di questa funzione, dove ridiventa “zeta”, ed esattamente “zeta di Riemann”… siamo un po’ pazzi noi matematici, vero? ). Comunque, come avrete notato, è proprio la funzione studiata da Eulero, soltanto che l’esponente dei naturali, invece di essere un numero reale, è un numero complesso (sì, coi numeri complessi si possono eseguire esattamente le stesse operazioni che sui numeri reali, a parte qualche minima eccezione…).
Insomma, Riemann iniziò a studiare questa funzione e si accorse di parecchie particolarità; innanzitutto che essa assumeva il valore 0 per certi determinati valori della variabile complessa s, e precisamente i punti 2, 4, 6 ecc. Questa caratteristica era abbastanza evidente a occhio, per così dire, e Riemann chiamò questi gli “zeri banali” della funzione zeta che da lui prese il nome (in matematica gli “zeri” di una funzione sono i valori della variabile per i quali essa assume valore 0). Molto più interessante si rivelò invece la ricerca degli “zeri non banali”.
La funzione zeta di Riemann è in effetti abbastanza sfuggente all’analisi, e soltanto dopo molte pene il tedesco si accorse che gli zeri non banali sembravano addensarsi su una particolare retta, detta poi “retta critica”, quella di ascissa ½, sicché le soluzioni sembravano essere tutte della forma ½ + b • i.
Ma torniamo ora, per un attimo, ai numeri primi. Circa mezzo secolo prima di Riemann, un altro matematico tedesco suo predecessore all’università di Gottinga, Carl Friedrich Gauss, aveva investigato sul “numero” dei numeri primi, cioè su quanti ce ne fossero in un intervallo dato. Egli, visto che fino a quel momento non si era riusciti a trovare nessuna formula che restituisse tutti e soli i numeri primi, passò all’analisi della frequenza dei numeri primi all’interno dei naturali ovvero (concetto più o meno analogo) alla probabilità che dato un numero qualsiasi, questo fosse primo.
Esaminando le tavole dei numeri primi che circolavano, e calcolandone diverse migliaia lui stesso (scrisse a un suo corrispondente: “ogni volta che ho un attimo di tempo libero mi dedico alla ricerca di numeri primi”), stimò, in prima battuta, che il numero dei primi non superiori al numero x, da lui indicato con il simbolo π(x), fosse circa uguale a
dove ln x rappresenta il logaritmo naturale (in base e) di x. Questa congettura di Gauss venne migliorata dal matematico francese Legendre, che approssimò la frequenza dei numeri primi con la formula
che, in effetti, era più aderente alla quantità richiesta. Permettetemi però questa digressione: quella di Legendre è una formula decisamente più brutta (nel senso di “pesante”), pur se migliore, di quella di Gauss, e io sono convinto che la Natura (intesa in senso spinoziano) abbia la facoltà di scegliere, tra due possibili soluzioni alle sue leggi, quella più bella, elegante e comprensibile…
Tant’è, infatti, che lo stesso Gauss trovò un’approssimazione migliore di quella di Legendre e, addirittura, infinitamente più elegante! Questa:
(dove il simbolo ~ vuol dire “circa uguale a”).
Anche Riemann si era dedicato allo studio della frequenza dei numeri primi e, tentando di migliorare la stima effettuata da Gauss, arrivò alla stupefacente connessione tra la frequenza dei numeri primi e la funzione zeta, nel senso che aggiungendo o togliendo alla stima di Gauss una quantità determinata in base agli zeri della funzione zeta, quel segno di “quasi uguale” diventava un “uguale” vero e proprio!
Ma… e qui sorge un grande “ma”, un immenso “ma”, starei per dire: quello che ho detto nel paragrafo precedente è vero “se e soltanto se” gli zeri non banali della funzione zeta stanno tutti su quella famosa retta “critica” di ascissa ½. Dal momento in cui Riemann enunciò questa congettura (quella sugli zeri), decine, ma che dico, centinaia di matematici hanno tentato di dimostrarla, eppure nessuno c’è riuscito.
Addirittura, nel 1900, un altro matematico tedesco, David Hilbert, il più geniale dell’epoca, inserì l’ipotesi di Riemann tra i “problemi del secolo”, quelli che nel corso del novecento, appunto, avrebbero dovuto essere risolti; ebbene, è passato un secolo e rotti, e l’ipotesi di Riemann è ancora lì, perenne “teorema di Fermat”, a sfidare i matematici. E non è che nel frattempo le cose non siano andate avanti: ormai sono stati calcolati decine di miliardi di zeri non banali della funzione zeta, e tutti giacciono sulla retta di ascissa ½; è stato dimostrato che oltre il 40% degli zeri è su quella retta; è stato dimostrato che gli zeri su quella retta sono infiniti, ma (sapete bene come vanno le cose con i “numeri infiniti”, se avete letto questo mio racconto) ancora nessuna dimostrazione può garantire che qualche zero sperduto non si trovi al di fuori di essa…
3. Numeri primi e crittografia
Compiuto questo excursus nella storia dei numeri primi, veniamo ora al cuore di quella che è la seconda parte del titolo di questi post: Internet, e più precisamente la sicurezza dei dati nella rete.
Non farò qui la storia della crittografia, ma dimostrerò semplicemente perché la trasmissione dei dati in Internet può (ancora?) considerarsi sicura.
Il metodo attraverso il quale si realizza tale sicurezza si chiama RSA (dalle iniziali dei cognomi dei suoi inventori: Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman). È un sistema “a chiave pubblica”, nel senso che lo strumento per codificare un qualsiasi messaggio può essere noto a tutti, mentre è “privato”, ovvero nascosto, lo strumento per decodificarlo: quest’ultimo è noto soltanto al destinatario del messaggio stesso. Vediamo in pratica come funziona, con un esempio costruito appositamente. Supponiamo che ci siano due persone, Alice e Bruna, e che la seconda debba spedire un messaggio cifrato alla prima; per comodità di calcolo, farò semplicemente consistere tale messaggio nel numero “7”.
Prima di tutto, Alice costruisce la “chiave pubblica”; la crea prendendo due numeri primi ed eseguendone il prodotto; nella realtà i numeri scelti sono molto grandi, ma noi, sempre per comodità di calcolo, supponiamo che siano 5 e 11: la prima parte della chiave pubblica è allora 55 e questo numero viene comunicato a Bruna, senza alcun timore che qualcun altro lo possa scoprire, perché, come vedremo è, con quasi assoluta certezza, inutilizzabile. Secondariamente, Alice esegue il prodotto (5 – 1) • (11 – 1) = 40; questo numero costituisce la sua “chiave privata” e viene tenuto segreto perché è quello che serve a decodificare il messaggio.
Dopodiché Alice cerca il minimo naturale che non abbia fattori comuni con la chiave privata (40); in questo caso è il numero 3: questo costituisce la seconda parte della chiave pubblica e anch’esso viene comunicato a Bruna.
Infine Alice calcola il numero inverso di 3 (la seconda parte della chiave pubblica) nell'aritmetica modulare di ordine 40 (la prima parte della chiave privata), cioè il più piccolo numero x per il quale vale 3 • x ≡ 1 (mod. 40) , vale a dire il minimo numero che, moltiplicato per 3, dia resto 1 quando diviso per 40; in questo caso x = 27, e questa sarà la seconda parte della chiave privata.
A questo punto Bruna conosce la chiave pubblica (divisa in due parti) e la utilizza per eseguire il seguente calcolo: 73 mod. 55, cioè eleva 7 alla terza potenza e calcola il resto della divisione del risultato per 55, ottenendo 13, che costituisce il “messaggio cifrato” da inviare ad Alice.
Questa, una volta ricevuto il numero 13, esegue il calcolo 1327 mod. 55, cioè eleva 13 alla ventisettesima potenza e calcola il resto della divisione per 55 (in realtà non c’è proprio bisogno di elevare a quella potenza enorme, c’è un sistema più rapido, ma tralascio volutamente alcuni tecnicismi). Il risultato è 7, cioè il messaggio originario di Bruna!
Tutto questo procedimento, che mi ha richiesto quasi una pagina per l’esposizione, e a voi qualche minuto, più o meno, per la lettura, in realtà viene eseguito in pochi millesimi di secondo da un qualsiasi calcolatore, anche di media potenza.
E allora, per concludere, vediamo la caratteristica fondamentale del sistema RSA reale, quella che lo rende praticamente inespugnabile. Nel mio esempio ho volutamente utilizzato numeri piccoli, ma le aziende che commerciano su Internet (nonché i servizi segreti, grandi utilizzatori di crittografia!) utilizzano attualmente “chiavi pubbliche” che sono il prodotto di due numeri primi di 160-320 cifre (e i servizi segreti utilizzano, quasi sicuramente, numeri primi di 600 cifre e oltre…); dunque, se è facile, dato il numero 55 del mio esempio, scoprire che i suoi fattori primi sono 5 e 11, per i numeri “reali” di centinaia di cifre tale compito è decisamente al di là delle attuali possibilità, anche con i supercalcolatori che ci sono oggi in circolazione; e senza “fattorizzazione” non si può in alcun modo risalire alla chiave privata e al messaggio non cifrato.
Quest’ultima considerazione vale però finché perdura lo stato di relativa incertezza riguardante l’ipotesi di Riemann; nel momento in cui venisse scoperto uno “zero non banale” al di fuori della “retta critica” (ipotesi altamente improbabile) oppure quando (più probabilmente, in un futuro forse non troppo lontano) verrà dimostrata matematicamente la validità dell’ipotesi, il problema della fattorizzazione di numeri con parecchie centinaia di cifre sarà enormemente più facile e bisognerà trovare un altro sistema per codificare i messaggi che debbono rimanere segreti. Ma, nel frattempo, non è che i crittografi (coloro che si occupano di tecniche di occultamento di messaggi) stiano con le mani in mano: altri metodi di crittazione sono in fase di studio avanzata, e sono basati su “biliardi ellittici”, “tamburi quantistici”, “calcolatori cellulari” e altri aggeggi simili, direttamente dai romanzi di fantascienza!
4. Considerazioni finali (con una sorpresina)
Un’ultima annotazione, che non so quanto sia originale (anche se lo spero vivamente); mentre stavo scrivendo questo post, mi sono messo un po’ a giocherellare con il crivello di Eratostene (quello menzionato all’inizio); sorseggiavo l’ennesimo caffè della giornata (dato che sono un pedissequo sostenitore dell’affermazione del matematico ungherese Paul Erdős, secondo il quale “un matematico è una macchina semplice che trasforma caffè in teoremi…”), quando ho scoperto una cosa che non mi pare di aver trovato altrove nella letteratura da me consultata; è una sciocchezzuola, ma ve la propongo così come m’è venuta in mente.
Dunque: dopo secoli di studio sui numeri primi non si è arrivati a una formula che restituisca soltanto numeri primi; esistono formule complicatissime che dànno numeri primi: quelle di Fermat e Mersenne, per esempio, ma non solo; ben quattro matematici (tali Jones, Sato, Wada e Wiens, sconosciuti, credo, per altro che non sia il motivo che vi vado a esporre…) nel 1976 si sono messi insieme per creare questo mostro di espressione
in 26 variabili (le lettere a, b, …, z) e di grado 25! Sostituendo alle lettere numeri naturali qualsiasi, se il risultato è un numero positivo, allora è anche un numero primo (ed esistono valori delle variabili che ritornano ogni primo possibile); peccato che il più delle volte quell’espressione ritorni un numero negativo…
A parte le mostruosità, dicevo che non sembra esistere un sistema per sapere a priori, dato un numero primo, quale sarà il successivo. A me sembra, tuttavia, di aver trovato un metodo a posteriori, che consiste in questo: esaminiamo con attenzione il metodo del crivello di Eratostene (amo molto, casomai non si fosse capito, questo ritorno alle origini, alla matematica “semplice”…).
Se osserviamo attentamente cosa succede quando cancelliamo i multipli di ogni numero, notiamo questo fatto: il primo a venire cancellato è il quadrato del numero stesso (il 4 è il primo multiplo del 2, il 9 è il primo multiplo del 3 − dato che il 6 è già stato cancellato come multiplo di 2 −, il 25 è il primo multiplo del 5 e così via).
Il fenomeno particolare si nota quando si va a cancellare il secondo multiplo: per il 2 il secondo multiplo è il 6 (= 2 • 3), per il 3 è il 15 (= 3 • 5), per il 5 è il 35 (= 5 • 7), per il 7 è il 77 (= 7 • 11)… Il secondo a essere sottoposto a cancellazione è un numero che, diviso per quello da cui ha origine l’eliminazione, restituisce il numero primo successivo!
È come se la Natura (intesa sempre nel senso spinoziano del termine), fornendoci i numeri primi e celandoci contemporaneamente la loro distribuzione, avesse nascosto dentro ognuno una traccia che porta al successivo; come se, consigliata magari da Charles Perrault, ci avesse detto: “Non ti dico come sono distribuiti i numeri primi, ma, come Pollicino, briciola dopo briciola, da ogni numero primo puoi risalire al successivo!” o ancora come se, consigliata da un botanico quale Lamarck, ci fornisse, insieme con ogni numero primo, il seme dal quale far nascere il successivo, o ancora come se, su suggerimento di un grande von Karajan, ogni numero primo desse il “la” a un altro numero primo, a un altro strumento di quell’orchestra infinita; dato che, come ebbe ad affermare il matematico e logico tedesco Leopold Kronecker, “Dio [ anche se io direi la Natura…] ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo”.
Nel corso della ventesima edizione del Carnevale della Matematica, ospitato da questo blog, c'è stata una marea di contributi interessanti. Di questi, riporto integralmente il contributo di Mauretto, che ha dato il consenso.
Grazie, Mauro!
**********
I numeri primi e Internet
Ai matematici e filosofi greci che tanto tempo fa iniziarono a studiare i numeri primi e le loro proprietà, certo non poteva passare per la mente che, oltre duemila anni dopo, quei loro studi (con i contributi di tanti altri matematici che seguirono) sarebbero stati utilizzati per rendere più sicure le transazioni commerciali ai tempi nostri... Eppure è così, e vediamo come, attraverso questa carrellata sulla storia del numero primo...
1. I numeri primi per gli antichi greci
In principio era l’1. Da esso, aggiungendo un’unità per volta, è possibile creare tutti i numeri interi (che d’ora in poi chiamerò anche naturali) che si vogliono, basta averne il tempo e la voglia... Ma non tutti i naturali, pur avendo lo stesso progenitore, per così dire, sono uguali; per esempio esistono i pari e i dispari, i perfetti, difettivi e perfettivi ecc. Una delle caratterizzazioni principali dei naturali è quella che li suddivide in primi e composti. Vengono detti primi tutti quelli che sono divisibili soltanto per se stessi e per 1, composti tutti gli altri (l’1, di per sé, è un caso particolare: rientrerebbe nella definizione appena data, ma i matematici non lo considerano primo, per ragioni logiche, ma che qui adesso non sto a specificare).
Già Euclide, vissuto nel IV-III secolo p.e.v., si era posto il problema di quanti fossero i numeri primi, ovvero, per meglio dire, se essi fossero in numero limitato o no. Dimostrò con un procedimento semplicissimo (anche se coinvolge un tipo di ragionamento, quello per assurdo, che risulta abbastanza ostico a chi non è addentro in questioni di matematica o di logica) che essi sono in numero infinito, e che dunque non esiste un numero primo più grande di tutti. Dimostrò inoltre che ogni numero composto ammette una e una sola scomposizione in fattori primi (a meno dell'ordine dei fattori, naturalmente).
Eratostene, altro matematico greco (vissuto un secolo circa dopo Euclide) si pose il problema di determinare quali fossero i numeri primi e quali quelli composti. Inventò, a tale scopo un sistema ingegnoso; il procedimento è il seguente: si supponga di voler trovare tutti i numeri primi fino a 1000; allora, scriviamo tutti questi numeri a partire da 2 fino a 1000 in un elenco; poi, partiamo da 2 e cominciamo a cancellare tutti i multipli di 2 (il 2 escluso); poi cominciamo da 3 (il primo che ancora non è stato cancellato) e cancelliamo (setacciamo) tutti i multipli di 3; e così via, partendo dal primo numero che non è stato cancellato, cancelliamo tutti i suoi multipli (escluso lui stesso). Proseguiamo così fino ad arrivare all’ultimo numero della nostra lista, 1000. I numeri che restano sono i numeri primi non maggiori di 1000. È come se si utilizzassero dei setacci a maglie via via più larghe: il primo lascia passare soltanto i numeri non multipli di 2, il secondo soltanto i non multipli di 3, e così via. Il procedimento viene effettivamente chiamato “crivello (setaccio) di Eratostene”.
Dopo i greci, c’è stato un lungo periodo di stasi, nella ricerca sui numeri primi. Per trovare un altro matematico che se ne sia occupato, bisogna arrivare addirittura al XVII secolo, al francese Pierre de Fermat e al suo coevo e conterraneo Marin Mersenne.
I due (oltre a numerosi altri argomenti) si occuparono principalmente di trovare una formula, un procedimento che fornisse numeri primi, dato che il crivello di Eratostene era sì efficace, ma pochissimo efficiente. Fermat arrivò alla formula
Egli credeva che questa formula fornisse soltanto numeri primi, mentre già fallisce per n = 5, dando un numero composto. D’altronde non aveva certo a disposizione le moderne calcolatrici, e a mano era praticamente impossibile controllare se 4 294 967 295 (il valore dell’espressione sopra con n = 5) fosse primo o composto...Mersenne, invece, pervenne all’ancor più efficace (ed efficiente)
che fornisce moltissimi numeri primi. Il più grande che sia stato a oggi trovato è 242 643 801 - 1, un numero di 12 837 064 cifre!Ma il contributo più importante (almeno dal punto di vista dell’argomento di questo post) che Fermat diede alla teoria dei numeri primi è quello che oggi viene chiamato “piccolo teorema di Fermat” (per distinguerlo da quello più famoso, del quale ho già parlato in questo post). Tale teorema stabilisce che
che si legge “a alla p è congruo ad a modulo p” affermando con ciò che, prendendo un qualsiasi numero a, elevandolo a una potenza prima p, ed eseguendo infine una divisione per lo stesso p, si ottiene un resto uguale al numero originario. Questo teorema costituisce la base della moderna tecnica crittografica, della quale parlerò oltre.
Toccò poi a Eulero, un matematico svizzero, che, oltre a confutare o dimostrare alcune delle affermazioni fatte da Fermat sui numeri primi, si imbatté a un certo punto dei suoi studi nel calcolo della somma infinita (detta anche serie armonica)
e dimostrò che divergeva, cioè che la somma era infinita; ma, generalizzando, decise di studiare cosa avveniva se ogni termine veniva elevato al quadrato:oppure, in genere, a un esponente maggiore di 1:con n > 1. Ebbene, Eulero dimostrò che, nel caso in cui l'esponente fosse maggiore di 1, la serie improvvisamente convergeva.Una serie di queste, in particolare, destò in Eulero e negli altri matematici particolare stupore; era quella in cui l’esponente valeva 2. Lo svizzero, dopo numerosi calcoli, dimostrò che
un’espressione che legava la somma degli inversi di tutti i quadrati al rapporto tra una circonferenza e il suo diametro… una scoperta quasi mistica!Cosa ancora più importante, però, dimostrò che la serie armonica poteva essere espressa in termini di prodotti di fattori contenenti in qualche modo i numeri primi, cioè che:
(dove al denominatore, nel membro di destra, compaiono tutti i numeri primi) ovvero, scritto in termini matematici più compatti,Dove quel simbolo strano (una pi greca maiuscola) che vedete nel membro di destra si chiama produttorio ed è l’analogo della sommatoria (che è il simbolo a sinistra, una sigma maiuscola), ma per i prodotti.E poi… poi arrivò Riemann, e fu tutta un’altra musica…
2. I numeri primi ai tempi nostri
Bernhard Riemann era un matematico tedesco che insegnava all’Università di Gottinga; verso la metà del XIX secolo, si occupava soprattutto di geometria non euclidea. Quasi improvvisamente nell’ambiente matematico iniziarono a circolare dei tipi di numeri, introdotti dal francese Cauchy, un po’ “strani”, che servivano a risolvere alcune equazioni polinomiali (ricordate questo post su Galois, vero? ); erano i numeri complessi, cioè i numeri della forma a + b • i, dove a e b sono numeri reali, mentre i = √(-1). Riemann ne restò talmente affascinato che iniziò a studiare il comportamento delle funzioni “normali” quando le variabili, invece che essere numeri reali, erano numeri complessi.
Tra l’altro, cominciò a studiare il comportamento di questa funzione:
(quel simbolo strano che vedete a sinistra è una zeta greca maiuscola, che noi matematici normalmente leggiamo “zita” per distinguerla dalla zeta dell’alfabeto latino, meno che quando la leggiamo nel caso di questa funzione, dove ridiventa “zeta”, ed esattamente “zeta di Riemann”… siamo un po’ pazzi noi matematici, vero? ). Comunque, come avrete notato, è proprio la funzione studiata da Eulero, soltanto che l’esponente dei naturali, invece di essere un numero reale, è un numero complesso (sì, coi numeri complessi si possono eseguire esattamente le stesse operazioni che sui numeri reali, a parte qualche minima eccezione…).
Insomma, Riemann iniziò a studiare questa funzione e si accorse di parecchie particolarità; innanzitutto che essa assumeva il valore 0 per certi determinati valori della variabile complessa s, e precisamente i punti 2, 4, 6 ecc. Questa caratteristica era abbastanza evidente a occhio, per così dire, e Riemann chiamò questi gli “zeri banali” della funzione zeta che da lui prese il nome (in matematica gli “zeri” di una funzione sono i valori della variabile per i quali essa assume valore 0). Molto più interessante si rivelò invece la ricerca degli “zeri non banali”.
La funzione zeta di Riemann è in effetti abbastanza sfuggente all’analisi, e soltanto dopo molte pene il tedesco si accorse che gli zeri non banali sembravano addensarsi su una particolare retta, detta poi “retta critica”, quella di ascissa ½, sicché le soluzioni sembravano essere tutte della forma ½ + b • i.
Ma torniamo ora, per un attimo, ai numeri primi. Circa mezzo secolo prima di Riemann, un altro matematico tedesco suo predecessore all’università di Gottinga, Carl Friedrich Gauss, aveva investigato sul “numero” dei numeri primi, cioè su quanti ce ne fossero in un intervallo dato. Egli, visto che fino a quel momento non si era riusciti a trovare nessuna formula che restituisse tutti e soli i numeri primi, passò all’analisi della frequenza dei numeri primi all’interno dei naturali ovvero (concetto più o meno analogo) alla probabilità che dato un numero qualsiasi, questo fosse primo.
Esaminando le tavole dei numeri primi che circolavano, e calcolandone diverse migliaia lui stesso (scrisse a un suo corrispondente: “ogni volta che ho un attimo di tempo libero mi dedico alla ricerca di numeri primi”), stimò, in prima battuta, che il numero dei primi non superiori al numero x, da lui indicato con il simbolo π(x), fosse circa uguale a
dove ln x rappresenta il logaritmo naturale (in base e) di x. Questa congettura di Gauss venne migliorata dal matematico francese Legendre, che approssimò la frequenza dei numeri primi con la formula
che, in effetti, era più aderente alla quantità richiesta. Permettetemi però questa digressione: quella di Legendre è una formula decisamente più brutta (nel senso di “pesante”), pur se migliore, di quella di Gauss, e io sono convinto che la Natura (intesa in senso spinoziano) abbia la facoltà di scegliere, tra due possibili soluzioni alle sue leggi, quella più bella, elegante e comprensibile…Tant’è, infatti, che lo stesso Gauss trovò un’approssimazione migliore di quella di Legendre e, addirittura, infinitamente più elegante! Questa:
(dove il simbolo ~ vuol dire “circa uguale a”).Anche Riemann si era dedicato allo studio della frequenza dei numeri primi e, tentando di migliorare la stima effettuata da Gauss, arrivò alla stupefacente connessione tra la frequenza dei numeri primi e la funzione zeta, nel senso che aggiungendo o togliendo alla stima di Gauss una quantità determinata in base agli zeri della funzione zeta, quel segno di “quasi uguale” diventava un “uguale” vero e proprio!
Ma… e qui sorge un grande “ma”, un immenso “ma”, starei per dire: quello che ho detto nel paragrafo precedente è vero “se e soltanto se” gli zeri non banali della funzione zeta stanno tutti su quella famosa retta “critica” di ascissa ½. Dal momento in cui Riemann enunciò questa congettura (quella sugli zeri), decine, ma che dico, centinaia di matematici hanno tentato di dimostrarla, eppure nessuno c’è riuscito.
Addirittura, nel 1900, un altro matematico tedesco, David Hilbert, il più geniale dell’epoca, inserì l’ipotesi di Riemann tra i “problemi del secolo”, quelli che nel corso del novecento, appunto, avrebbero dovuto essere risolti; ebbene, è passato un secolo e rotti, e l’ipotesi di Riemann è ancora lì, perenne “teorema di Fermat”, a sfidare i matematici. E non è che nel frattempo le cose non siano andate avanti: ormai sono stati calcolati decine di miliardi di zeri non banali della funzione zeta, e tutti giacciono sulla retta di ascissa ½; è stato dimostrato che oltre il 40% degli zeri è su quella retta; è stato dimostrato che gli zeri su quella retta sono infiniti, ma (sapete bene come vanno le cose con i “numeri infiniti”, se avete letto questo mio racconto) ancora nessuna dimostrazione può garantire che qualche zero sperduto non si trovi al di fuori di essa…
3. Numeri primi e crittografia
Compiuto questo excursus nella storia dei numeri primi, veniamo ora al cuore di quella che è la seconda parte del titolo di questi post: Internet, e più precisamente la sicurezza dei dati nella rete.
Non farò qui la storia della crittografia, ma dimostrerò semplicemente perché la trasmissione dei dati in Internet può (ancora?) considerarsi sicura.
Il metodo attraverso il quale si realizza tale sicurezza si chiama RSA (dalle iniziali dei cognomi dei suoi inventori: Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman). È un sistema “a chiave pubblica”, nel senso che lo strumento per codificare un qualsiasi messaggio può essere noto a tutti, mentre è “privato”, ovvero nascosto, lo strumento per decodificarlo: quest’ultimo è noto soltanto al destinatario del messaggio stesso. Vediamo in pratica come funziona, con un esempio costruito appositamente. Supponiamo che ci siano due persone, Alice e Bruna, e che la seconda debba spedire un messaggio cifrato alla prima; per comodità di calcolo, farò semplicemente consistere tale messaggio nel numero “7”.
Prima di tutto, Alice costruisce la “chiave pubblica”; la crea prendendo due numeri primi ed eseguendone il prodotto; nella realtà i numeri scelti sono molto grandi, ma noi, sempre per comodità di calcolo, supponiamo che siano 5 e 11: la prima parte della chiave pubblica è allora 55 e questo numero viene comunicato a Bruna, senza alcun timore che qualcun altro lo possa scoprire, perché, come vedremo è, con quasi assoluta certezza, inutilizzabile. Secondariamente, Alice esegue il prodotto (5 – 1) • (11 – 1) = 40; questo numero costituisce la sua “chiave privata” e viene tenuto segreto perché è quello che serve a decodificare il messaggio.
Dopodiché Alice cerca il minimo naturale che non abbia fattori comuni con la chiave privata (40); in questo caso è il numero 3: questo costituisce la seconda parte della chiave pubblica e anch’esso viene comunicato a Bruna.
Infine Alice calcola il numero inverso di 3 (la seconda parte della chiave pubblica) nell'aritmetica modulare di ordine 40 (la prima parte della chiave privata), cioè il più piccolo numero x per il quale vale 3 • x ≡ 1 (mod. 40) , vale a dire il minimo numero che, moltiplicato per 3, dia resto 1 quando diviso per 40; in questo caso x = 27, e questa sarà la seconda parte della chiave privata.
A questo punto Bruna conosce la chiave pubblica (divisa in due parti) e la utilizza per eseguire il seguente calcolo: 73 mod. 55, cioè eleva 7 alla terza potenza e calcola il resto della divisione del risultato per 55, ottenendo 13, che costituisce il “messaggio cifrato” da inviare ad Alice.
Questa, una volta ricevuto il numero 13, esegue il calcolo 1327 mod. 55, cioè eleva 13 alla ventisettesima potenza e calcola il resto della divisione per 55 (in realtà non c’è proprio bisogno di elevare a quella potenza enorme, c’è un sistema più rapido, ma tralascio volutamente alcuni tecnicismi). Il risultato è 7, cioè il messaggio originario di Bruna!
Tutto questo procedimento, che mi ha richiesto quasi una pagina per l’esposizione, e a voi qualche minuto, più o meno, per la lettura, in realtà viene eseguito in pochi millesimi di secondo da un qualsiasi calcolatore, anche di media potenza.
E allora, per concludere, vediamo la caratteristica fondamentale del sistema RSA reale, quella che lo rende praticamente inespugnabile. Nel mio esempio ho volutamente utilizzato numeri piccoli, ma le aziende che commerciano su Internet (nonché i servizi segreti, grandi utilizzatori di crittografia!) utilizzano attualmente “chiavi pubbliche” che sono il prodotto di due numeri primi di 160-320 cifre (e i servizi segreti utilizzano, quasi sicuramente, numeri primi di 600 cifre e oltre…); dunque, se è facile, dato il numero 55 del mio esempio, scoprire che i suoi fattori primi sono 5 e 11, per i numeri “reali” di centinaia di cifre tale compito è decisamente al di là delle attuali possibilità, anche con i supercalcolatori che ci sono oggi in circolazione; e senza “fattorizzazione” non si può in alcun modo risalire alla chiave privata e al messaggio non cifrato.
Quest’ultima considerazione vale però finché perdura lo stato di relativa incertezza riguardante l’ipotesi di Riemann; nel momento in cui venisse scoperto uno “zero non banale” al di fuori della “retta critica” (ipotesi altamente improbabile) oppure quando (più probabilmente, in un futuro forse non troppo lontano) verrà dimostrata matematicamente la validità dell’ipotesi, il problema della fattorizzazione di numeri con parecchie centinaia di cifre sarà enormemente più facile e bisognerà trovare un altro sistema per codificare i messaggi che debbono rimanere segreti. Ma, nel frattempo, non è che i crittografi (coloro che si occupano di tecniche di occultamento di messaggi) stiano con le mani in mano: altri metodi di crittazione sono in fase di studio avanzata, e sono basati su “biliardi ellittici”, “tamburi quantistici”, “calcolatori cellulari” e altri aggeggi simili, direttamente dai romanzi di fantascienza!
4. Considerazioni finali (con una sorpresina)
Un’ultima annotazione, che non so quanto sia originale (anche se lo spero vivamente); mentre stavo scrivendo questo post, mi sono messo un po’ a giocherellare con il crivello di Eratostene (quello menzionato all’inizio); sorseggiavo l’ennesimo caffè della giornata (dato che sono un pedissequo sostenitore dell’affermazione del matematico ungherese Paul Erdős, secondo il quale “un matematico è una macchina semplice che trasforma caffè in teoremi…”), quando ho scoperto una cosa che non mi pare di aver trovato altrove nella letteratura da me consultata; è una sciocchezzuola, ma ve la propongo così come m’è venuta in mente.
Dunque: dopo secoli di studio sui numeri primi non si è arrivati a una formula che restituisca soltanto numeri primi; esistono formule complicatissime che dànno numeri primi: quelle di Fermat e Mersenne, per esempio, ma non solo; ben quattro matematici (tali Jones, Sato, Wada e Wiens, sconosciuti, credo, per altro che non sia il motivo che vi vado a esporre…) nel 1976 si sono messi insieme per creare questo mostro di espressione
in 26 variabili (le lettere a, b, …, z) e di grado 25! Sostituendo alle lettere numeri naturali qualsiasi, se il risultato è un numero positivo, allora è anche un numero primo (ed esistono valori delle variabili che ritornano ogni primo possibile); peccato che il più delle volte quell’espressione ritorni un numero negativo…A parte le mostruosità, dicevo che non sembra esistere un sistema per sapere a priori, dato un numero primo, quale sarà il successivo. A me sembra, tuttavia, di aver trovato un metodo a posteriori, che consiste in questo: esaminiamo con attenzione il metodo del crivello di Eratostene (amo molto, casomai non si fosse capito, questo ritorno alle origini, alla matematica “semplice”…).
Se osserviamo attentamente cosa succede quando cancelliamo i multipli di ogni numero, notiamo questo fatto: il primo a venire cancellato è il quadrato del numero stesso (il 4 è il primo multiplo del 2, il 9 è il primo multiplo del 3 − dato che il 6 è già stato cancellato come multiplo di 2 −, il 25 è il primo multiplo del 5 e così via).
Il fenomeno particolare si nota quando si va a cancellare il secondo multiplo: per il 2 il secondo multiplo è il 6 (= 2 • 3), per il 3 è il 15 (= 3 • 5), per il 5 è il 35 (= 5 • 7), per il 7 è il 77 (= 7 • 11)… Il secondo a essere sottoposto a cancellazione è un numero che, diviso per quello da cui ha origine l’eliminazione, restituisce il numero primo successivo!
È come se la Natura (intesa sempre nel senso spinoziano del termine), fornendoci i numeri primi e celandoci contemporaneamente la loro distribuzione, avesse nascosto dentro ognuno una traccia che porta al successivo; come se, consigliata magari da Charles Perrault, ci avesse detto: “Non ti dico come sono distribuiti i numeri primi, ma, come Pollicino, briciola dopo briciola, da ogni numero primo puoi risalire al successivo!” o ancora come se, consigliata da un botanico quale Lamarck, ci fornisse, insieme con ogni numero primo, il seme dal quale far nascere il successivo, o ancora come se, su suggerimento di un grande von Karajan, ogni numero primo desse il “la” a un altro numero primo, a un altro strumento di quell’orchestra infinita; dato che, come ebbe ad affermare il matematico e logico tedesco Leopold Kronecker, “Dio [ anche se io direi la Natura…] ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo”.
Ti invito a promuovere, condividere, segnalare questo articolo, se lo hai apprezzato.
Semplice, basta cliccare sui bottoni social.
E se ancora non l'hai fatto, puoi sottoscriverti ai feed
per essere sempre aggiornato/a, se lo desideri.
Grazie.
lunedì 28 dicembre 2009
Area Del Trapezio
Mezzani di 2°B, vi avevo promesso un'applet di Geogebra sull'area del trapezio che abbiamo trattato prima delle vacanze, ed ho mantenuto la promessa, approntando due file dinamici: il primo sull'area di un generico trapezio, il secondo sull'area di un trapezio rettangolo con l'uso degli slider.
Ti invito a promuovere, condividere, segnalare questo articolo, se lo hai apprezzato.
Semplice, basta cliccare sui bottoni social.
E se ancora non l'hai fatto, puoi sottoscriverti ai feed
per essere sempre aggiornato/a, se lo desideri.
Grazie.
sabato 26 dicembre 2009
Angoli: Complementari, Supplementari, Esplementari
Piccoli di 1°B, come promesso a scuola, vi lascio tre applet di Geogebra sugli angoli di tre diverse tipologie: complementari, supplementari, esplementari.
Seguite le indicazioni contenute nei file per avviare le tre animazioni.
Seguite le indicazioni contenute nei file per avviare le tre animazioni.
Ti invito a promuovere, condividere, segnalare questo articolo, se lo hai apprezzato.
Semplice, basta cliccare sui bottoni social.
E se ancora non l'hai fatto, puoi sottoscriverti ai feed
per essere sempre aggiornato/a, se lo desideri.
Grazie.
lunedì 21 dicembre 2009
Storie Di Numeri Di Tanto Tempo Fa - Capitolo 3
Cari ragazzi e cari lettori, ecco a voi il terzo capitolo di "Storie di numeri di tanto tempo fa". Qualcuno a scuola era impaziente. Adesso è accontentato...
Buona lettura!
CAPITOLO III
«Qual è la storia di stasera?» chiese Burlona non appena entrò nella stanza e si mise all’inpiedi davanti al fuoco, mentre la Folla accostava le sedie.
«Storia? Chi ha detto che ci sarà una storia?» chiese quello dallo strano libro dopo aver girato un’altra pagina.
«Ci racconti sempre una storia» rispose Burlona. «Non ce ne siamo persi nenache una da quando abbiamo iniziato.»
«Ma abbiamo iniziato solo due sere fa.»
«Sì, e con questa fanno tre» disse George.
«Ma ci dobbiamo fermare qualche volta» rispose il Cantastorie, «e questa è la volta buona.»
«Oh, ci sono ancora tante cose che vogliamo sapere» disse Burlona.
«Cosa vorresti sapere?»
«Quello che ci racconterai» rispose Burlona.
«Allora,» disse il Cantastorie, «questa storia parla di Hippias, Daniel e Titus.»
E questa è la storia che raccontò.
Molti anni dopo che Chang aveva imparato a scrivere i numeri a casa sua sulle rive del fiume Giallo, Lugal in Mesopotamia e Ahmes nei pressi del tempio sul Nilo, viveva in Grecia un ragazzo noto con il nome di Hippias.
Il mondo adesso invecchiava abbastanza da avere i soldi da utilizzare nei negozi. In questo modo i mercanti non solo barattavano le loro mercanzie come facevano ai tempi di Chang, Lugal e Ahmes ma le vendevano per monete di rame e d’argento. Questo è il motivo per cui c’era un maggiore bisogno di numeri rispetto ai secoli scorsi. Hippias giocava vicino all’Acropoli ad Atene e imparò come i mercanti scrivessero i numeri su un rotolo di pergamena. Non solo erano stati inventati nuovi modi di scrivere i numeri ma era stato inventato qualcosa di nuovo su cui scrivere. Per un po’ la gente provò ad utilizzare lunghe strisce di pelle cucite assieme e arrotolate e su di esse scrivevano con un pennello bagnato nell’inchiostro nero. Poi scoprirono che potevano sbiancare e rendere più resistenti le pelli di pecora e di vitello in modo da renderle più adatte alla scrittura. Ciò venne fatto per la prima volta in una città chiamata Pergamon, nell’Asia Minore, e dal nome di questa città deriva la parola “pergamena”. Fu molti secoli dopo Hippias che il mondo cominciò ad utilizzare la carta.
Hippias imparò a scrivere i numeri sulla pergamena, utilizzando i caratteri greci che erano molto diversi dai nostri numerali.
Se Hippias voleva scrivere un numero tipo 2977, doveva utilizzare quindici lettere greche; quindi capite che l’aritmetica deve essere stata molto più difficile per i ragazzi greci di quanto non lo sia per voi.
Con il passare degli anni, ci fu un tempo in cui la gente sentiva il bisogno di un modo più semplice per scrivere i numeri da usare nei negozi di Atene. Dovette nascere un altro piccolo Hippias, non più tardi di quando Paolo predicava ad Atene circa duemila anni fa e scriveva su un rotolo di pergamena le lettere dell’alfabeto greco per rappresentare i numeri. Il nome greco della prima lettera era alfa e la seconda lettera veniva chiamata beta. Quando Hippias imparò l’ABC, in realtà imparò l’alfa-beta e da questo nome deriva oggi la parola “alfabeto”.
Mentre Hippias imparava a scrivere i numeri ad Atene, un ragazzo di nome Daniel viveva alle pendici del Monte degli Ulivi. Questo ragazzo si recava tutti i giorni a Gerusalemme con la frutta che suo padre vendeva al mercato. Doveva sapere scrivere i numeri in quanto doveva scrivere il prezzo dei meloni e dei fichi su piccole tavolette e metterle sul banco della frutta del padre. Fu per questo motivo che il padre di Daniel gli insegnò i numeri più piccoli che tutti dovevano conoscere. A quei tempi, tuttavia, la gente non aveva granché bisogno di numeri superiori a dieci; raramente venivano usati i numeri superiori a qualche migliaio.
I numerali che Daniele aveva imparato erano solo le prime lettere dell’alfabeto greco.
Potete immaginare che questo modo di scrivere i numeri deve aver reso le moltiplicazioni e le divisioni molto difficili.
Mentre Hippias giocava per le strade di Atene e Daniel trasportava la frutta dal Monte degli Ulivi a Gerusalemme, Titus giocava per le strade di Roma e frequentava una scuola vicino al grande Foro della città.
Il maestro mostrava ai ragazzi il modo in cui gli antichi romani scrivevano i numeri e gli insegnò anche i numerali che venivano usati nei negozi di Roma.
Se Titus avesse voluto scrivere un numero superiore a un milione, avrebbe avuto molti grattacapi visto che a quei tempi la gente aveva raramente bisogno di numeri superiori a qualche centinaio e a qualche migliaio. Probabilmente Titus avrebbe scritto un numero così grande a lettere.
Quando vediamo i numerali romani su un orologio da polso o da parete, dovremmo sapere che l’Europa li ha utilizzati fino alla scoperta dell’America. Non erano di alcun aiuto nelle moltiplicazioni e nelle divisioni ma lo erano abbastanza per scrivere numeri piccoli usati negli scambi commerciali quotidiani.
A Titus piaceva dare grattacapi ad un amichetto di nome Caius, e un giorno gli fece questa domanda: «Qual è quel numero che diventa superiore a uno se ci togli uno?»
«Testa di legno» rispose Caius.
Ma quando Titus scrisse IX sulla strada di pietra e disse a Caius, «ora togli I e dimmi cosa rimane», Caius vide che in quella testa di legno c’era qualcosa di buono dopotutto.
Allora Caius, notando che avrebbe dovuto pensare a molti altri numeri che fossero adatti a quel giochino, fece la seguente domanda: «Qual è quel numero che diventa superiore a dieci se ci togli dieci?»
Titus chiese a Caius se sapeva che la metà di nove fosse quattro e Caius gli rispose che se lo stava sognando. Ma Titus puntò di nuovo sul IX e chiese a Caius di togliere la metà superiore, così vedeva se non era quattro. Allora Caius gli disse di potergli dimostrare che la metà di dodici era sette.
«Non è niente a confronto» disse Titus; «la metà di tredici è otto.»
«Troppo facile», disse Caius, «ma riesci a togliere cento da quattrocento e avere cinquecento?»
«Penso di avervi detto abbastanza per questa sera», disse il Cantastorie. «Quanti di voi sono in grado di dimostrare che la metà di dodici è sette?»
«Io» disse Emily.
«Anche io» disse un’altra mezza dozzina.
«Quanti di voi sono in grado di dimostrare che la metà di tredici è otto?»
«Tutti quanti» disse la Folla.
«Chi è in grado di dimostrare che Caius tolse cento da quattrocento e gli rimase cinquecento?»
Nessuno ci riuscì. Voi ci riuscireste?
«Chi conosce altri strani rompicapi sui numerali romani?»
«Tutti quanti» disse la Folla.
«Allora,» disse il Cantastorie, «penso che fareste meglio a compilare la Sezione Domande.»
«Se la compiliamo ci racconterai un’altra storia domani sera?» chiese Charles.
«Be’, se non la compilate, certamente non ci sarà un’altra storia» disse il Cantastorie.
SEZIONE DOMANDE
1. Ai tempi di Hippias cosa si usava per scrivere al posto della carta?
2. Perché l’invenzione dei soldi ha reso necessario che la gente sapesse contare e operare con i numeri?
3. Perché i numerali usati da Hippias non erano così convenienti come quelli usati da noi?
4. Cosa significa la parola “alfabeto” e come si lega all’espressione “imparare l’ABC”?
5. Il modo usato da Daniel per scrivere i numeri si avvicinava di più a quello di Hippias o a quello di Titus? Perché non era adatto come il nostro?
6. Quanti modi conoscete per scrivere il numero quattro a numeri romani?
7. Perché i numeri romani non sono adatti a fare i calcoli come invece lo sono i nostri?
8. Dove avete visto l’utilizzo pratico dei numeri romani, al di fuori dell’attività scolastica?
9. Se non sapeste utilizzare i nostri numerali, quali preferireste utilizzare tra quelli che avete letto?
10. Titus e Caius hanno scoperto delle cose divertenti legate ai numerali. Caius ha detto di poter dimostrare che la metà di dodici è sette. Come ha fatto? Riuscireste, allo stesso modo, a dimostrare che la metà di tredici è otto?
RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI CON LE MANI
Tratta da un libro stampato quasi quattrocento anni fa. Essa illustra il modo in cui venivano rappresentati i numero con le mani.
Già pubblicati
Prefazione 1 e Prefazione 2
Buona lettura!
STORIE
DI NUMERI
DI TANTO TEMPO FA
DI NUMERI
DI TANTO TEMPO FA
di David Eugene Smith
(Traduzione di Anna Cascone)
CAPITOLO III
Come Hippias, Daniel e Titus scrivevano i numeri
«Qual è la storia di stasera?» chiese Burlona non appena entrò nella stanza e si mise all’inpiedi davanti al fuoco, mentre la Folla accostava le sedie.
«Storia? Chi ha detto che ci sarà una storia?» chiese quello dallo strano libro dopo aver girato un’altra pagina.
«Ci racconti sempre una storia» rispose Burlona. «Non ce ne siamo persi nenache una da quando abbiamo iniziato.»
«Ma abbiamo iniziato solo due sere fa.»
«Sì, e con questa fanno tre» disse George.
«Ma ci dobbiamo fermare qualche volta» rispose il Cantastorie, «e questa è la volta buona.»
«Oh, ci sono ancora tante cose che vogliamo sapere» disse Burlona.
«Cosa vorresti sapere?»
«Quello che ci racconterai» rispose Burlona.
«Allora,» disse il Cantastorie, «questa storia parla di Hippias, Daniel e Titus.»
E questa è la storia che raccontò.
Molti anni dopo che Chang aveva imparato a scrivere i numeri a casa sua sulle rive del fiume Giallo, Lugal in Mesopotamia e Ahmes nei pressi del tempio sul Nilo, viveva in Grecia un ragazzo noto con il nome di Hippias.
Il mondo adesso invecchiava abbastanza da avere i soldi da utilizzare nei negozi. In questo modo i mercanti non solo barattavano le loro mercanzie come facevano ai tempi di Chang, Lugal e Ahmes ma le vendevano per monete di rame e d’argento. Questo è il motivo per cui c’era un maggiore bisogno di numeri rispetto ai secoli scorsi. Hippias giocava vicino all’Acropoli ad Atene e imparò come i mercanti scrivessero i numeri su un rotolo di pergamena. Non solo erano stati inventati nuovi modi di scrivere i numeri ma era stato inventato qualcosa di nuovo su cui scrivere. Per un po’ la gente provò ad utilizzare lunghe strisce di pelle cucite assieme e arrotolate e su di esse scrivevano con un pennello bagnato nell’inchiostro nero. Poi scoprirono che potevano sbiancare e rendere più resistenti le pelli di pecora e di vitello in modo da renderle più adatte alla scrittura. Ciò venne fatto per la prima volta in una città chiamata Pergamon, nell’Asia Minore, e dal nome di questa città deriva la parola “pergamena”. Fu molti secoli dopo Hippias che il mondo cominciò ad utilizzare la carta.
Hippias imparò a scrivere i numeri sulla pergamena, utilizzando i caratteri greci che erano molto diversi dai nostri numerali.
Se Hippias voleva scrivere un numero tipo 2977, doveva utilizzare quindici lettere greche; quindi capite che l’aritmetica deve essere stata molto più difficile per i ragazzi greci di quanto non lo sia per voi.
Con il passare degli anni, ci fu un tempo in cui la gente sentiva il bisogno di un modo più semplice per scrivere i numeri da usare nei negozi di Atene. Dovette nascere un altro piccolo Hippias, non più tardi di quando Paolo predicava ad Atene circa duemila anni fa e scriveva su un rotolo di pergamena le lettere dell’alfabeto greco per rappresentare i numeri. Il nome greco della prima lettera era alfa e la seconda lettera veniva chiamata beta. Quando Hippias imparò l’ABC, in realtà imparò l’alfa-beta e da questo nome deriva oggi la parola “alfabeto”.
Mentre Hippias imparava a scrivere i numeri ad Atene, un ragazzo di nome Daniel viveva alle pendici del Monte degli Ulivi. Questo ragazzo si recava tutti i giorni a Gerusalemme con la frutta che suo padre vendeva al mercato. Doveva sapere scrivere i numeri in quanto doveva scrivere il prezzo dei meloni e dei fichi su piccole tavolette e metterle sul banco della frutta del padre. Fu per questo motivo che il padre di Daniel gli insegnò i numeri più piccoli che tutti dovevano conoscere. A quei tempi, tuttavia, la gente non aveva granché bisogno di numeri superiori a dieci; raramente venivano usati i numeri superiori a qualche migliaio.
I numerali che Daniele aveva imparato erano solo le prime lettere dell’alfabeto greco.
Potete immaginare che questo modo di scrivere i numeri deve aver reso le moltiplicazioni e le divisioni molto difficili.
Mentre Hippias giocava per le strade di Atene e Daniel trasportava la frutta dal Monte degli Ulivi a Gerusalemme, Titus giocava per le strade di Roma e frequentava una scuola vicino al grande Foro della città.
Il maestro mostrava ai ragazzi il modo in cui gli antichi romani scrivevano i numeri e gli insegnò anche i numerali che venivano usati nei negozi di Roma.
Se Titus avesse voluto scrivere un numero superiore a un milione, avrebbe avuto molti grattacapi visto che a quei tempi la gente aveva raramente bisogno di numeri superiori a qualche centinaio e a qualche migliaio. Probabilmente Titus avrebbe scritto un numero così grande a lettere.
Quando vediamo i numerali romani su un orologio da polso o da parete, dovremmo sapere che l’Europa li ha utilizzati fino alla scoperta dell’America. Non erano di alcun aiuto nelle moltiplicazioni e nelle divisioni ma lo erano abbastanza per scrivere numeri piccoli usati negli scambi commerciali quotidiani.
A Titus piaceva dare grattacapi ad un amichetto di nome Caius, e un giorno gli fece questa domanda: «Qual è quel numero che diventa superiore a uno se ci togli uno?»
«Testa di legno» rispose Caius.
Ma quando Titus scrisse IX sulla strada di pietra e disse a Caius, «ora togli I e dimmi cosa rimane», Caius vide che in quella testa di legno c’era qualcosa di buono dopotutto.
Allora Caius, notando che avrebbe dovuto pensare a molti altri numeri che fossero adatti a quel giochino, fece la seguente domanda: «Qual è quel numero che diventa superiore a dieci se ci togli dieci?»
Titus chiese a Caius se sapeva che la metà di nove fosse quattro e Caius gli rispose che se lo stava sognando. Ma Titus puntò di nuovo sul IX e chiese a Caius di togliere la metà superiore, così vedeva se non era quattro. Allora Caius gli disse di potergli dimostrare che la metà di dodici era sette.
«Non è niente a confronto» disse Titus; «la metà di tredici è otto.»
«Troppo facile», disse Caius, «ma riesci a togliere cento da quattrocento e avere cinquecento?»
«Penso di avervi detto abbastanza per questa sera», disse il Cantastorie. «Quanti di voi sono in grado di dimostrare che la metà di dodici è sette?»
«Io» disse Emily.
«Anche io» disse un’altra mezza dozzina.
«Quanti di voi sono in grado di dimostrare che la metà di tredici è otto?»
«Tutti quanti» disse la Folla.
«Chi è in grado di dimostrare che Caius tolse cento da quattrocento e gli rimase cinquecento?»
Nessuno ci riuscì. Voi ci riuscireste?
«Chi conosce altri strani rompicapi sui numerali romani?»
«Tutti quanti» disse la Folla.
«Allora,» disse il Cantastorie, «penso che fareste meglio a compilare la Sezione Domande.»
«Se la compiliamo ci racconterai un’altra storia domani sera?» chiese Charles.
«Be’, se non la compilate, certamente non ci sarà un’altra storia» disse il Cantastorie.
SEZIONE DOMANDE
1. Ai tempi di Hippias cosa si usava per scrivere al posto della carta?
2. Perché l’invenzione dei soldi ha reso necessario che la gente sapesse contare e operare con i numeri?
3. Perché i numerali usati da Hippias non erano così convenienti come quelli usati da noi?
4. Cosa significa la parola “alfabeto” e come si lega all’espressione “imparare l’ABC”?
5. Il modo usato da Daniel per scrivere i numeri si avvicinava di più a quello di Hippias o a quello di Titus? Perché non era adatto come il nostro?
6. Quanti modi conoscete per scrivere il numero quattro a numeri romani?
7. Perché i numeri romani non sono adatti a fare i calcoli come invece lo sono i nostri?
8. Dove avete visto l’utilizzo pratico dei numeri romani, al di fuori dell’attività scolastica?
9. Se non sapeste utilizzare i nostri numerali, quali preferireste utilizzare tra quelli che avete letto?
10. Titus e Caius hanno scoperto delle cose divertenti legate ai numerali. Caius ha detto di poter dimostrare che la metà di dodici è sette. Come ha fatto? Riuscireste, allo stesso modo, a dimostrare che la metà di tredici è otto?
RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI CON LE MANITratta da un libro stampato quasi quattrocento anni fa. Essa illustra il modo in cui venivano rappresentati i numero con le mani.
**********
Già pubblicati
Prefazione 1 e Prefazione 2
Ti invito a promuovere, condividere, segnalare questo articolo, se lo hai apprezzato.
Semplice, basta cliccare sui bottoni social.
E se ancora non l'hai fatto, puoi sottoscriverti ai feed
per essere sempre aggiornato/a, se lo desideri.
Grazie.
domenica 20 dicembre 2009
Circonferenze E Cerchi Concentrici
Cari ragazzi di tutte le classi, ecco per voi un'applet di Geogebra rilassante che è utile a tutti. Non ci sono formule 
, ma i grandoni di 3°B possono riflettere su vari aspetti.
Clic per raggiungere la pagina web con il file dinamico. Seguite le istruzioni per avviare l'animazione e ripassate anche i seguenti post:
Pi greco: un numero decimale illimitato non periodico
Circonferenze
Lunghezza della circonferenza
, ma i grandoni di 3°B possono riflettere su vari aspetti.Clic per raggiungere la pagina web con il file dinamico. Seguite le istruzioni per avviare l'animazione e ripassate anche i seguenti post:
Pi greco: un numero decimale illimitato non periodico
Circonferenze
Lunghezza della circonferenza
Ti invito a promuovere, condividere, segnalare questo articolo, se lo hai apprezzato.
Semplice, basta cliccare sui bottoni social.
E se ancora non l'hai fatto, puoi sottoscriverti ai feed
per essere sempre aggiornato/a, se lo desideri.
Grazie.
giovedì 17 dicembre 2009
Area Del Trapezio [Test Online]
Mezzani di 2° B, ancora lavoro per voi. Questa mattina, a scuola, abbiamo imparato a calcolare l'area del trapezio. Oltre agli esercizi assegnati sul manuale, potete esercitarvi con un test online assegnato nella classe virtuale.
Ti invito a promuovere, condividere, segnalare questo articolo, se lo hai apprezzato.
Semplice, basta cliccare sui bottoni social.
E se ancora non l'hai fatto, puoi sottoscriverti ai feed
per essere sempre aggiornato/a, se lo desideri.
Grazie.
mercoledì 16 dicembre 2009
Ancora Sugli Angoli Convessi E Concavi
Piccoli di 1°B, insistiamo ancora sui concetti di angolo concavo e convesso perché fa sempre bene!
Maestra Renata, che con GeoGebra è una maga, ci ha regalato un'applet, in cui la convessità e la concavità di un angolo sono evidenti, grazie all'animazione e al cambiamento di colore.
Clic qui per aprire il file dinamico. Cliccando sul triangolino, che vedete in basso a sinistra, potete avviare l'animazione del secondo angolo; invece, agendo manualmente sui punti in evidenza lungo i lati del primo angolo, potete passare dall'angolo convesso a quello concavo, e viceversa, a vostro piacere.
Grazie, maestra Renata!
Clic qui per andare a giocare con Angolino (il bambino spigolino!. Questa è mia!), la cui simpatica faccina vedete di seguito, nell'immagine. Nella stessa pagina, troverete il link alla seconda attività con Angolino.
Buon divertimento!
Post correlati, su questo blog.
Angoli, Angoli...e ancora Angoli.
Angolo Concavo E Convesso
Maestra Renata, che con GeoGebra è una maga, ci ha regalato un'applet, in cui la convessità e la concavità di un angolo sono evidenti, grazie all'animazione e al cambiamento di colore.
Clic qui per aprire il file dinamico. Cliccando sul triangolino, che vedete in basso a sinistra, potete avviare l'animazione del secondo angolo; invece, agendo manualmente sui punti in evidenza lungo i lati del primo angolo, potete passare dall'angolo convesso a quello concavo, e viceversa, a vostro piacere.
Grazie, maestra Renata!
Clic qui per andare a giocare con Angolino (il bambino spigolino!
. Questa è mia!), la cui simpatica faccina vedete di seguito, nell'immagine. Nella stessa pagina, troverete il link alla seconda attività con Angolino.Buon divertimento!
Post correlati, su questo blog.
Angoli, Angoli...e ancora Angoli.
Angolo Concavo E Convesso
Ti invito a promuovere, condividere, segnalare questo articolo, se lo hai apprezzato.
Semplice, basta cliccare sui bottoni social.
E se ancora non l'hai fatto, puoi sottoscriverti ai feed
per essere sempre aggiornato/a, se lo desideri.
Grazie.
lunedì 14 dicembre 2009
Carnevale Della Matematica # 20
Cari ragazzi e cari lettori, il 14 del mese è arrivato puntuale e con esso anche il Carnevale della Matematica. Oggi festeggiamo la 20° edizione, che chiude il 2009! Possiamo quindi chiamarlo il Carnevale della Matematica di fine anno! Prima di iniziare, vorrei ringraziare MATEpristem dell'Unibocconi che ha segnalato questa edizione negli Eventi di Dicembre, e Maddmaths del portale SIMAI che ha fatto la stessa cosa. Ne approfitto per segnalare il Congresso SIMAI 2010.
E adesso, si parte!!!
Secondo consuetudine, sono andata un po' in giro a raccogliere informazioni sulla mascotte dell'evento, il numero 20, e ho trovato diverse "cosine carucce"!
20 è il numero naturale dopo il 19 e prima del 21. È un numero composto con i seguenti divisori: 1, 2, 4, 5 e 10.
Poiché la somma dei relativi fattori è 22 > 20, è un numero abbondante
È un numero tetraedrico, la somma dei primi quattro numeri triangolari.
È un numero di Harshad
È un numero colombiano
È il secondo numero semi-perfetto, perché somma di alcuni dei suoi fattori: 20 = 10 + 5 + 4 + 1
In Chimica, è il numero atomico del calcio (Ca).
In Astronomia, 20 Massalia è il nome di un asteroide battezzato così in onore della città di Marsiglia.
In Biologia, è il numero di amminoacidi, denominati proteinogenici.
In Numerologia, è la base del Sistema di numerazione maya e del Sistema di numerazione gallico.
Nelle scienze esoteriche, il 20 indica: medianità. Protezione miracolosa. Guarigione da una grave malattia. Numero che protegge la salute. Il Salmo numero 20 serve per avere fortuna negli affari e ottenere buoni guadagni dal proprio lavoro. Se vi interessa lo trovate qui. Il 20 è nell'elenco dei numeri fortunati:
1 - 3 - 4 -7 - 9 - 10 - 17 - 19 - 20 - 21 - 23 - 24 - 25 - 27 - 30 - 31 - 34 - 36 - 37 - 40 - 45 - 46 - 52 - 54 - 55 - 59 - 61 - 63 - 64 - 70 - 72
Nel gioco degli scacchi, entrambi i giocatori hanno 20 prime mosse tra cui scegliere. È l'età in cui si diventa maggiorenni in Giappone.
Sono termini collegati al numero "venti" secondo le indicazioni che troverete nei link:
Sistema numerico vigesimale
Ventimiglia
PKNA #20 è il ventesimo numero del fumetto PKNA - Paperinik New Adventures, pubblicato il 20 marzo1998.
Euro Top 20 (all'inizio chiamata European Top 20) è un programma di MTV Europe che offre (in lingua inglese) su tutti i canali MTV d'Europa le 20 hit più ascoltate e vendute in Europa.
Vediamo invece che cosa ha in serbo il 14 dicembre, giorno del 20° Carnevale della Matematica.
1900 - Max Planck pubblica i suoi studi sulla teoria quantistica.
1902 - Posa del primo cavo telegrafico attraverso l'Oceano pacifico.
Passa a miglior vita:
1989 - Andrej Sakharov, fisico sovietico (n. 1921)
Il 14 dicembre è il 348° giorno del Calendario Gregoriano (il 349° negli anni bisestili). Mancano 17 giorni alla fine dell'anno.
1902 - Posa del primo cavo telegrafico attraverso l'Oceano pacifico.
Passa a miglior vita:
1989 - Andrej Sakharov, fisico sovietico (n. 1921)
Il 14 dicembre è il 348° giorno del Calendario Gregoriano (il 349° negli anni bisestili). Mancano 17 giorni alla fine dell'anno.
Il 14 dicembre, nella liturgia cristiana, è il quattordicesimo giorno dell'avvento.Da resources hunter, non potevo non andare a caccia di alcuni interessanti articoli e risorse, che ho trovato sul web.
L'arte delle bolle di sapone, di John M. Sullivan
Superfici minime con Mathematica, di Stewart Dickson
Superfici minime scolpite da Brent Collins
Superfici minime, di Tamara Munzner
Recreational Mathematics di David Eppstein
Games & Puzzles della America Association of Artificial Intelligence.
Games of no chance (più di 35 articoli di importanti matematici)
On Line Encyclopedia of Integer Sequences
Wolfram Alpha il motore di ricerca computazionale, ideato dal noto matematico Stephen Wolfram che vi aiuta a risolvere quesiti matematici di qualunque tipo. Consultate gli esempi di Algebra.
MATCOS, un linguaggio ideato e costruito, da utilizzare nelle scuole, per:
- avviare lo studente ad acquisire piena consapevolezza delle potenzialità del computer, utilizzando la matematica;
- imparare la matematica in modo più attivo, più partecipe, perciò più costruttivo e proficuo utilizzando il computer.
Wolfram Alpha il motore di ricerca computazionale, ideato dal noto matematico Stephen Wolfram che vi aiuta a risolvere quesiti matematici di qualunque tipo. Consultate gli esempi di Algebra.
MATCOS, un linguaggio ideato e costruito, da utilizzare nelle scuole, per:
- avviare lo studente ad acquisire piena consapevolezza delle potenzialità del computer, utilizzando la matematica;
- imparare la matematica in modo più attivo, più partecipe, perciò più costruttivo e proficuo utilizzando il computer.
Scaricate e provate la versione demo di MATCOS: MATCOS versione demo.
Fun4thebrain un sito free che dedica una grande attenzione e spazio ai giochi matematici, dedicati ai più piccoli e divisi in livelli di difficoltà. Sito in lingua Inglese ma molto intuitivo.
Concludo questa lunga introduzione con una dedica al numero matematico per eccellenza, sua maestà pi greco, che è anche il logo di Matem@ticaMente. Si tratta di un bellissimo video musicale, grazie al quale potrete gustare la canzone del pi greco "The Pi Pi Mathematical Pi Song!" scritta da Antoni Chan e Ken Ferrier.
E adesso apriamo le danze dei contributi, che sono numerosi e molto interessanti.
1. Apre questa 20° edizione una presenza prestigiosa, MATEpristem dell'Unibocconi, che ci onora con uno splendido contributo di Renato Betti* Pavel Florenskij: fede e matematica. Riprendo dall'introduzione dell'articolo: "Pavel Aleksandrovič Florenskij è vissuto in Russia a cavallo fra ‘800 e ‘900. Era un prete ortodosso e un matematico per prima formazione. Due modi d’essere che, lungi dall’essere distanti, danno sostanza all’unità della sua persona. Oggi Florenskij è più noto come teologo, filosofo, linguista, semiologo e perfino critico d’arte."
Il "pezzo" si sviluppa in sei passaggi:
I. La Matematica dentro di noi
II. I tempi e il clima culturale
III. Gli anni giovanili
IV. I due mondi
V. Gli studi di matematica
VI. Le ultime vicende.
2. Una new entry di eccellenza con il mitico e storico Matematicamente.it. Antonio Bernardo, il suo curatore, ha scelto per noi Il gioco della torre di Hanoi e il Manuale di matematica con licenza creative commons, di cui sono già disponibili alcuni capitoli.
3. Daniele Gouthier ci invia un imperdibile ricordo di Troisi e la segnalazione di documenti sulla riforma della scuola: Ancora matematica in parlamento e La proposta dei matematici al Parlamento italiano. Conclude con preziosi consigli su alcune Letture matematiche adatte a ragazzi di terza media...e non solo!
4. Maestra Renata di Splash ragazzi ci propone un ricco contributo didattico relativo ad una efficace sintesi di alcune attività sui quadrilateri, in classe quarta e quinta.
5. Da una seconda new entry, Erasmo Modica del blog Matematica, ecco in arrivo I fondamenti della letteratura di Raymond Queneau. Nell'articolo viene descritto come, facendo riferimento all’opera di Hilbert I Fondamenti della Geometria, Queneau provi ad esplorare i fondamenti della letteratura, utilizzando le strutture assiomatiche proprie della matematica.
I. La Matematica dentro di noi
II. I tempi e il clima culturale
III. Gli anni giovanili
IV. I due mondi
V. Gli studi di matematica
VI. Le ultime vicende.
2. Una new entry di eccellenza con il mitico e storico Matematicamente.it. Antonio Bernardo, il suo curatore, ha scelto per noi Il gioco della torre di Hanoi e il Manuale di matematica con licenza creative commons, di cui sono già disponibili alcuni capitoli.
3. Daniele Gouthier ci invia un imperdibile ricordo di Troisi e la segnalazione di documenti sulla riforma della scuola: Ancora matematica in parlamento e La proposta dei matematici al Parlamento italiano. Conclude con preziosi consigli su alcune Letture matematiche adatte a ragazzi di terza media...e non solo!
4. Maestra Renata di Splash ragazzi ci propone un ricco contributo didattico relativo ad una efficace sintesi di alcune attività sui quadrilateri, in classe quarta e quinta.
5. Da una seconda new entry, Erasmo Modica del blog Matematica, ecco in arrivo I fondamenti della letteratura di Raymond Queneau. Nell'articolo viene descritto come, facendo riferimento all’opera di Hilbert I Fondamenti della Geometria, Queneau provi ad esplorare i fondamenti della letteratura, utilizzando le strutture assiomatiche proprie della matematica.
6. Dioniso del Blogghetto ci invia Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 13: i matematici islamici, l'Algebra e il ritorno di Pitagora con cui continua il suo certosino percorso di ricerca storica tra Numeri e Geometria. La parte 13 è dedicata ai matematici islamici che introdussero un nuovo approccio rivoluzionario; un approccio algebrico che si spostava dalla concezione greco - platonica della matematica, essenzialmente geometrica,...ma andate a leggere!
7. Peppe Liberti di Rangle ci parla del calcolo delle variazioni nella Matematica della parsimonia.
Peppe, considerando l'argomento dal punto di vista di un Fisico teorico quale egli è, si preoccupa po' del proprio approccio alla tematica, e si augura che io sopporti??? E che voi lettori sopportiate! Possiamo rassicurarlo che non pensiamo di correre tale rischio. Vero?
8. Una terza new entry con Enrico Bo del blog Soffia il vento dell'est che ci propone i contributi:
- Cronache di Surakhis - 22: A nightmare, una sfida mentale con relativa soluzione;
- Rosa confetto, una riedizione di un vecchio giochino di logica matematica, e la sua soluzione;
- Una martire pagana, coinvolgente post sulla straordinaria figura di Ipazia d'Alessandria e il discusso film Agora del regista Alejandro Amenábar.
Peppe, considerando l'argomento dal punto di vista di un Fisico teorico quale egli è, si preoccupa po' del proprio approccio alla tematica, e si augura che io sopporti??? E che voi lettori sopportiate! Possiamo rassicurarlo che non pensiamo di correre tale rischio. Vero?
8. Una terza new entry con Enrico Bo del blog Soffia il vento dell'est che ci propone i contributi:
- Cronache di Surakhis - 22: A nightmare, una sfida mentale con relativa soluzione;
- Rosa confetto, una riedizione di un vecchio giochino di logica matematica, e la sua soluzione;
- Una martire pagana, coinvolgente post sulla straordinaria figura di Ipazia d'Alessandria e il discusso film Agora del regista Alejandro Amenábar.
9. Gaetano Barbella de Il geometra pensiero in rete ci propone due contributi:
- l'interessante e originale saggio Gli occhi di Horus. Horus è il nome greco del dio egizio HOR, una delle divinità più antiche dell’Egitto. Gli antichi egizi usavano le parti del simbolo dell'Occhio di Horus per descrivere le frazioni.
- Raffaello Sanzio - Ipazia d'Alessandria- La sapienza della scuola di Atene, un altro originale saggio nel quale, attraverso la geometria composita, il nostro amico effettua una sorta di radiografia ai raggi X per scoprire i possibili intenti che animarono l'eccelso Raffaello Sanzio nell'allestire il celebre affresco, in cui l'unica figura femminile rappresentata è lei, Ipazia.
- l'interessante e originale saggio Gli occhi di Horus. Horus è il nome greco del dio egizio HOR, una delle divinità più antiche dell’Egitto. Gli antichi egizi usavano le parti del simbolo dell'Occhio di Horus per descrivere le frazioni.
- Raffaello Sanzio - Ipazia d'Alessandria- La sapienza della scuola di Atene, un altro originale saggio nel quale, attraverso la geometria composita, il nostro amico effettua una sorta di radiografia ai raggi X per scoprire i possibili intenti che animarono l'eccelso Raffaello Sanzio nell'allestire il celebre affresco, in cui l'unica figura femminile rappresentata è lei, Ipazia.
10. Enzo Cristiani del blog Storia di un impiegato, che si definisce "asino" in matematica (Enzì sono parole tue!), in realtà amandola, partecipa al Carnevale con due contributi:
- La prosopopea del numero 1, un racconto gustoso e ironico di cui riporto l'incipit: "Nel paese di Vattelapesca era il più piccolo e tutti lo chiamavano "uno" in senso cardinale ma lui, presuntuoso ed egocentrico, sosteneva che non era vero" una spassosa metafora...indovinate su chi?
- Ho giocato 2 euro al winforlife...in cui districandosi tra permutazioni, combinazioni e disposizioni, mutuate dal calcolo combinatorio, cerca di spiegare le possibilità di vincita al winforlife...per concludere:"Ecco, queste formule servono solo a comprendere meglio come vanno le cose perchè il modo per vincere sicuro non esiste, o forse si, se si decide di giocare due euro affidandosi alle mani benedette di S. Deredano martire."
11. Francesco Scano del blog Un po' di buon vecchio cinema, fisico di formazione e quarta new entry, ci parla di Leon Battista Alberti e le sue applicazioni della geometria. Scrive Franceso nell'introduzione:"...In uno di questi trattati, intitolato Ludi Matematici, Alberti descrive alcune interessanti costruzioni geometriche che servono per valutare la lunghezza di un segmento quando uno o entrambi gli estremi non sono accessibili fisicamente. In altre parole, si tratta di metodi indiretti per misurare distanze basati su considerazioni puramente geometriche."
12. Mauro Antonetti del blog Non solo matematica..., matematico puro oltre che penna fantasiosa ed eclettica, ci delizia con un raffinato articolo su I numeri primi e Internet che è stato anche incluso nel suo volume di scritti matematici di prossima pubblicazione. Il corposo articolo è suddviso in quattro capitoli:
1. I numeri primi per gli antichi greci
2. I numeri primi ai tempi nostri
3. Numeri primi e crittografia
4. Considerazioni finali (con una sorpresina)
13. Paolo del blog Cogito ergo sum ci intrattiene con I numeri che per Cartesio non potevano esistere, districandosi con disinvoltura tra radici quadrate, piano cartesiano...e numeri immaginari!
14. Annamaria Tanzella del variegato blog Concerto narrante ci racconta, con efficacia narrativa e con fine sensibilità, la storia di Giovanna, che sin da piccola amò la matematica sino a diventare, da adulta, Un'insigne Matematica.
15. Il mitico Renatone Murelli, ex glorioso maestro in pensione, del blog Quadernone blu ci offre i suoi eccellenti programmi per i ragazzi della scuola primaria:
- Ma che problemi ci sono?
- Un po' di...Mate-Magia.
- Numeri che...si incrociano.
- Quadrati quasi...magici
- Stelle...magiche
- Cerchi...magici
- Triangoli...magici
- La Moltiplicazione Araba
Una bella scorpacciata di software vero?
16. Alberto del blog Alby 7 and 7 partecipa con un contributo dal titolo insolito -1 = 1 ???????????????????, una simpatica dimostrazione, fatta su un gioco di spostamenti con le frazioni.
12. Mauro Antonetti del blog Non solo matematica..., matematico puro oltre che penna fantasiosa ed eclettica, ci delizia con un raffinato articolo su I numeri primi e Internet che è stato anche incluso nel suo volume di scritti matematici di prossima pubblicazione. Il corposo articolo è suddviso in quattro capitoli:
1. I numeri primi per gli antichi greci
2. I numeri primi ai tempi nostri
3. Numeri primi e crittografia
4. Considerazioni finali (con una sorpresina)
13. Paolo del blog Cogito ergo sum ci intrattiene con I numeri che per Cartesio non potevano esistere, districandosi con disinvoltura tra radici quadrate, piano cartesiano...e numeri immaginari!
14. Annamaria Tanzella del variegato blog Concerto narrante ci racconta, con efficacia narrativa e con fine sensibilità, la storia di Giovanna, che sin da piccola amò la matematica sino a diventare, da adulta, Un'insigne Matematica.
15. Il mitico Renatone Murelli, ex glorioso maestro in pensione, del blog Quadernone blu ci offre i suoi eccellenti programmi per i ragazzi della scuola primaria:
- Ma che problemi ci sono?
- Un po' di...Mate-Magia.
- Numeri che...si incrociano.
- Quadrati quasi...magici
- Stelle...magiche
- Cerchi...magici
- Triangoli...magici
- La Moltiplicazione Araba
Una bella scorpacciata di software vero?
16. Alberto del blog Alby 7 and 7 partecipa con un contributo dal titolo insolito -1 = 1 ???????????????????, una simpatica dimostrazione, fatta su un gioco di spostamenti con le frazioni.
17. Paoletto Barbarossa del blog Paolo Barbarossa ritorna con Il secondo problema del millennio: le equazioni di Yang- Mills. Riporto la conclusione del contributo:" ...la teoria di Yang-Mills proposta negli scorsi anni cinquanta, è un primo passo verso una Grande Teoria Unificata. Grazie al lavoro di molti scienziati attraverso le equazioni di Yang-Mills si è arrivati a raggiungere livelli di accuratezza senza precedenti ma nessuno è riuscito a scrivere una formula che dia una soluzione generale delle equazioni. Se ci si pensa sembra davvero incredibile, la teoria scientifica più accurata del mondo è costruita su equazioni che nessuno riesce a risolvere!". Vi siete incuriositi, vero? Beh, andate a leggere il contenuto che precede, allora!
18. Maria di SKIP BLOG, quinta new entry di questa edizione del Carnevale, ci parla del Fascino della Matematica in un articolo delizioso di cui vi riporto un piccolissimo assaggio:" La matematica è misteriosa come la mente umana, è il bandolo di una matassa che si snoda per gradi ove, grazie ad un’iniziale intuizione, passo dopo passo si giunge poi alla conoscenza e, ad alti livelli, alla pura astrazione."
19. Fabio Melis del blog Il cielo di Saint-Ex, sesta new entry, ha preparato per l'evento odierno un articolo originale, centrato sulla figura del sommo Pitagora, dal titolo Un Acusmatico...che parla di Matematica. Leggete l'introduzione: "Il titolo che ho scelto per questo post va subito al sodo. In sostanza, riprendendo la dicotomia pitagorica che distingue i matematici, ovvero coloro che hanno diritto ad accedere alla conoscenza, dagli acusmatici, che invece possono stare solamente a sentire, decido di compiere una piccola rivoluzione. Così, io che matematico non sono e, anzi, in fatto di numeri proprio me ne dovrei star zitto, prendo la parola e mi impelago temerariamente nell'essenza del pensiero di Pitagora che, per l'appunto, riteneva che il numero fosse l'archè dell'universo."
20. Alberto Cane di alberto cane blog , e settima new entry, ci parla de La sindrome di Asperger, prendendo spunto dal best-seller di Mark Haddon Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte in cui è narrata in prima persona la storia di Cristopher Boone, che, trovato il cane Wellington ucciso con un forcone, comincia a indagare fino a trovare il colpevole. Il ragazzo quindicenne soffre della sindrome di Asperger, una forma particolare di autismo. Capisce tutto di matematica e pochissimo degli esseri umani. Odia il giallo e il marrone, ama il rosso e detesta essere toccato.
21. L'ottimo Gravità Zero ci invia:
- un contributo chiaro e rigoroso di Walter Caputo dal titolo esplicativo Influenza A: L'ignoranza della statistica genera mostri, in cui viene illustrato come gli effetti di una comunicazione distorta su grandi masse di popolazione possano essere molto gravi;
- un articolone di Claudio Pasqua, CHE REGALO FARE A UN MATEMATICO?, in cui si propongono, con vena ironica e divertita, soluzioni di vario genere da adottare come idee regalo per stupire un matematico, dalle t-shirt a una delle raccolte delle canzoni del matematico Tom Lehrer, e altro ancora.
22. Giuseppe Auletta del blog Lavagna Interattiva Multimediale ci invia quattro risorse per la matematica da lui create. Sono verifiche sulle quattro operazioni con il calcolo mentale, realizzate in power point ma fruibili anche con la LIM:
- Moltiplicazioni per la LIM;
- Divisioni per la LIM;
- Sottrazioni per la LIM;
- Addizioni per la LIM.
23. Gianluigi Filippelli del blog ScienceBackstage ci invia cinque interessanti contributi, da lui commentati come segue:
- La super morra cinese, più che matematica, è logica. Un modo complicato, nello spirito carrolliano, di reinventare un gioco vecchio come la morra cinese!
- I problemi matematici secondo l'AIM - L'American Institute of Mathematics propone una serie di liste di problemi matematici ancora aperti; da buon fisico mi soffermo sulla lagrangiana e l'equazione di Schrodinger.
- The life and times of Paul Dirac - In un certo senso è una sorta di prologo dell'articolo precedente, visto che mi soffermo sulle equazioni di Dirac e Klein-Gordon. L'articolo ha già partecipato al Carnevale della Fisica, ma viene proposto perché può essere un buon collegamento tra i due Carnevali!
- Il numero magico - Un piccolo giochino matematico ispirato direttamente dal grande Lewis Carroll.
- Il libro dei rompicati di Alice - Recensione dell'omonimo libro, tutto basato su rompicapi e giochi di logica e matematica ideati dall'autore di Alice nel Paese delle Meraviglie.
24. Anna del blog Righeblu, e ottava new entry, ci parla de L' importanza della forma... in un gustoso articolo sulla sorprendente "sapienza" geometrica delle api, che scelgono la forma esagonale per costruire le celle nei loro alveari.
25. Da CHIMICARE ci arriva La Spannometria: ovvero l'orientatività dell'esperienza!
Una breve e solo in parte ironica panoramica sull'utilizzo delle grandezze numeriche per la quantificazione delle grandezze in campo scientifico, soprattutto in chimica. Più che la classica teroria degli errori, anch'essa tautologicamente numerica, sono qui affrontate con discorsività le implicazioni psicologiche, percettive ed esperienziali con le quali l'osservatore si approccia al problema nell'atto di formulare un responso, sia esso di tipo qualitativo che quantitativo. La "spannometria", ovvero la valutazione estimativa "a spanne" della grandezza di una variabile, viene qui rivalutata come fondamentale e prezioso traguardo di un processo di conoscenza basato sull'esperienza e quindi sulla creazione di modelli mentali di risposta.
26. Maurizio Codogno, l'ideatore del Carnevale della Matematica made in Italy, ci propone da Notiziole di .mau. una recensione, Le sfide di Pitagora, e quattro notizie di povera matematica:
- Punto doppio - Come trasformare due punti in tre!
- Formula matematica per il regalo perfetto - La stupida ricerca, stavolta in stile natalizio.
- Solo il 55% - Cosa volete che sia il 55% rispetto alla totalità?
- Solo 15 punti - Le proporzioni queste sconosciute.
27. Roberto Zanasi del blog Gli studenti di oggi ci segnala i seguenti contributi:
- Un giochino matematico in cui è necessario il pensiero laterale. Ma quanto lateralmente è possibile spingersi?
- Spiegazione del giochino: con l'interpolazione polinomiale possiamo trovare leggi che spiegano qualsiasi sequenza numerica.
- Un quesito logico/matematico.
- Un demenziale video che ha come argomento l'analisi matematica.
28. Un gruppo di mie alunne di terza media, Alessia, Giulia, Federica e Martina, le più giovani partecipanti, fanno il loro ingresso nel Carnevale della Matematica con La sezione aurea raccontata dai ragazzi, un excursus sul numero che esprime la bellezza!
29. Maestra Rosalba del blog Crescere Creativamente nell'articolo Fare matematica on line e contare con le dita illustra un'esperienza didattica svolta con i suoi piccoli alunni di prima elementare, in cui viene impiegato il pc nell'approccio ai numeri. Leggete quel che afferma Rosalba in un passaggio:"Accade anche oggi a tanti bambini ed ho come l'impressione che manchi un passaggio: tra quello dal contare con le mani a quello del contare a mente. Ho visto che per insegnare il concetto di quantità oggi ai bambini si fanno disegnare con meticolosità altrettanti oggetti corrispondenti al numero. Ma non sono sicura che questo sia il metodo più efficace. Il tutto parte da una riflessione fatta osservando i bambini: imparano velocemente e detestano la ripetitività, assecondando la modernità chiedono alla didattica azione e movimento, idee complesse ma fruibili. Il web due è la forma che meglio assomiglia oggi alla modalità con il quale i bambini apprendono".
- Spiegazione del giochino: con l'interpolazione polinomiale possiamo trovare leggi che spiegano qualsiasi sequenza numerica.
- Un quesito logico/matematico.
- Un demenziale video che ha come argomento l'analisi matematica.
28. Un gruppo di mie alunne di terza media, Alessia, Giulia, Federica e Martina, le più giovani partecipanti, fanno il loro ingresso nel Carnevale della Matematica con La sezione aurea raccontata dai ragazzi, un excursus sul numero che esprime la bellezza!
29. Maestra Rosalba del blog Crescere Creativamente nell'articolo Fare matematica on line e contare con le dita illustra un'esperienza didattica svolta con i suoi piccoli alunni di prima elementare, in cui viene impiegato il pc nell'approccio ai numeri. Leggete quel che afferma Rosalba in un passaggio:"Accade anche oggi a tanti bambini ed ho come l'impressione che manchi un passaggio: tra quello dal contare con le mani a quello del contare a mente. Ho visto che per insegnare il concetto di quantità oggi ai bambini si fanno disegnare con meticolosità altrettanti oggetti corrispondenti al numero. Ma non sono sicura che questo sia il metodo più efficace. Il tutto parte da una riflessione fatta osservando i bambini: imparano velocemente e detestano la ripetitività, assecondando la modernità chiedono alla didattica azione e movimento, idee complesse ma fruibili. Il web due è la forma che meglio assomiglia oggi alla modalità con il quale i bambini apprendono".
30. Paolo Pascucci del blog Questione della decisione, e ottava new entry,ci stupisce con un contributo, la cui tematica è nuova nella rassegna del Carnevale, come si deduce dal titolo Toponeurologia ovvero: topologia della mente. Segue una breve introduzione curata dall'autore: "Due aspetti da considerare, l'influenza del lavoro di Edelman, nel ricalco del titolo Topobiologia lui e Toponeurologia io significa importanza dell'aspetto spaziale nella generazione delle forme (mentali e di aggregati cellulari), stante l'ipotesi di Edelman anche nella morfogenesi embriologica. Secondo aspetto la Topologia matematica in sè, e un suo assunto fondamentale: il permanere dell'identità in seguito alla variazione della forma. Mi è venuto da pensare subito alla stabilità della coscienza pur nel flusso informativo disturbante e informante al quale è sottoposta: e allora ho pensato, la coscienza è un oggetto topologico, una superficie 2-D la coscienza di tipo I e una superficie 3_D (cioè una 3-varietà e una 2 -varietà prima) la coscienza di tipo II, invarianti, al variare delle loro esibizioni fisiche, al variare delle loro uscite motorie e simboliche.Tutto qui. Molte cose sono da spiegare. E' un magro inizio, con molte probabilità che sia pure sbagliato."
31. Matteo, blogger boy quattordicenne del blog La Ricerca Perfetta, ci parla di Cartesio, Euclide e Pitagora.
32. In arrivo sul filo di lana, Giampaolo Mele (ennesima new entry, ho perduto il conto!) ci informa nel post In memoria di Evariste Galois che non tutti i problemi sono risolvibili!
33. Arriva trafelato, la mattina del 13 dicembre, il nostro psichiatra - psicoterapeuta dall'animo di poeta, Vincenzo Gulino del blog Einfühlung, Kairòs, e dintorni..., con un pezzo che è una vera chicca Il "Galilei siciliano": Giovan Battista Hodierna. Nell'articolo viene descritta con efficacia la straordinara figura di uno tra i più importanti astronomi della sua epoca (il 1600) che si interessò tra le atre cose anche di matematica. Egli è rimasto praticamente ignorato dalla storiografia scientifica per qualcosa come tre secoli finché l’appassionato lavoro di alcuni studiosi siciliani, intorno alla metà degli anni ’80, non ne ha posto in luce l’indubbio valore di astronomo, aggiungendo un importante paragrafo alla storia dell’astronomia.
Concludo questa lunga rassegna con i contributi di Matem@ticaMente, segnalando alcuni capitoli del libretto Number Stories of long ago di David Eugene Smith, tradotti in lingua italiana da Anna Cascone:
32. In arrivo sul filo di lana, Giampaolo Mele (ennesima new entry, ho perduto il conto!) ci informa nel post In memoria di Evariste Galois che non tutti i problemi sono risolvibili!
33. Arriva trafelato, la mattina del 13 dicembre, il nostro psichiatra - psicoterapeuta dall'animo di poeta, Vincenzo Gulino del blog Einfühlung, Kairòs, e dintorni..., con un pezzo che è una vera chicca Il "Galilei siciliano": Giovan Battista Hodierna. Nell'articolo viene descritta con efficacia la straordinara figura di uno tra i più importanti astronomi della sua epoca (il 1600) che si interessò tra le atre cose anche di matematica. Egli è rimasto praticamente ignorato dalla storiografia scientifica per qualcosa come tre secoli finché l’appassionato lavoro di alcuni studiosi siciliani, intorno alla metà degli anni ’80, non ne ha posto in luce l’indubbio valore di astronomo, aggiungendo un importante paragrafo alla storia dell’astronomia.
Concludo questa lunga rassegna con i contributi di Matem@ticaMente, segnalando alcuni capitoli del libretto Number Stories of long ago di David Eugene Smith, tradotti in lingua italiana da Anna Cascone:
Un contributo di didattica:
Una "Prova" Della Divisione (Ah! Queste Benedette Divisioni!)
Peppe Liberti, mi segnala, oltre il filo di lana, un breve articolo del Corriere della Sera di domenica 13 dicembre "Ecco la «formula del parcheggio»" che prende spunto da questo recentissimo articolo (che si trova su questo sito) sul parcheggio perfetto di questo signore.
Sono riuscita ad arrivare sino in fondo! Se doveste riscontrare qualche dimenticanza o inesattezza, vi pregherei di segnalarmelo.
Vi ricordo che il Carnevale della Matematica del 14 gennaio sarà ospitato da Chartitalia, dove troverete l'indirizzo per l'invio dei materiali.
Chi invece volesse prenotarsi per ospitare una futura edizione del Carnevale, vada a segnarsi su Matematica per tutti.
Una "Prova" Della Divisione (Ah! Queste Benedette Divisioni!)
Peppe Liberti, mi segnala, oltre il filo di lana, un breve articolo del Corriere della Sera di domenica 13 dicembre "Ecco la «formula del parcheggio»" che prende spunto da questo recentissimo articolo (che si trova su questo sito) sul parcheggio perfetto di questo signore.
Sono riuscita ad arrivare sino in fondo! Se doveste riscontrare qualche dimenticanza o inesattezza, vi pregherei di segnalarmelo.
Vi ricordo che il Carnevale della Matematica del 14 gennaio sarà ospitato da Chartitalia, dove troverete l'indirizzo per l'invio dei materiali.
Chi invece volesse prenotarsi per ospitare una futura edizione del Carnevale, vada a segnarsi su Matematica per tutti.
E per gli amanti della fisica? Il 30 dicembre la seconda edizione del Carnevale della Fisica sarà ospitata da jolek su caccia al Fotone).
Per partecipare, troverete tutte le informazioni sul gruppo di social network: carnevaledellafisica.ning.com
___________________________
* Renato Betti è docente di Geometria al Politecnico di Milano e co-direttore di Lettera Matematica PRISTEM. Si interessa di Teoria delle categorie e delle sue applicazioni alle strutture algebriche e geometriche.
Riferimenti per le informazioni sul numero 20 wikipedia.
Ti invito a promuovere, condividere, segnalare questo articolo, se lo hai apprezzato.
Semplice, basta cliccare sui bottoni social.
E se ancora non l'hai fatto, puoi sottoscriverti ai feed
per essere sempre aggiornato/a, se lo desideri.
Grazie.
Iscriviti a:
Post (Atom)
Post più popolari della settimana
Conversando con Renato
Articolo citato da Wikipedia
Jean-Pierre Houdin e la sua rivoluzionaria teoria
Contenuti vari
Matem@ticaMente è distribuito con licenza Creative Commons
Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 2.5 Italia.
