Quanto Pesa Il Pesce?

Il problema, che sto per presentare, è un problema che propongo spesso in prima per fare emergere gli elementi fondamentali della gestione cognitiva in ambito matematico, al fine di poterli riconoscere in sé e nei ragazzi, e, al tempo stesso, di proporre all'attenzione dei colleghi alcune meta-strategie valide ad affrontare e superare gradualmente alcuni scogli che immancabilmente si presentano nell'approccio ai problemi matematici.

Fondamentalmente tre sono gli aspetti su cui insistere:
1. la molteplicità e l'intreccio delle “rappresentazioni” dello stesso problema, e quindi delle possibili strategie risolutive;

2. la variazione mirata dei dati e dei vincoli presenti nel testo del problema;

3. la ricerca di situazioni problematiche, parzialmente o totalmente isomorfe al problema in esame, all’interno dell'esperienza di vita quotidiana di ogni singolo alunno.

E' indispensabile, infatti, considerare che le chiavi didattiche, atte a favorire nei ragazzi lo sviluppo di un personale senso della matematica, si ritrovano proprio in questi stessi aspetti cognitivi.

La mera riproposizione di esempi standard è perfettamente inutile. Astrarre e trasferire sono infatti gli aspetti più difficili da insegnare/apprendere a scuola, ma con un lavoro specificamente pensato e concretizzato in interventi ad hoc, l'obiettivo può essere perseguito.

Il problema del pesce è noto in ambito accademico e nei corsi di formazione in didattica della matematica.

Ecco il testo.

La coda di un pesce pesa 4 kg; il peso del tronco uguaglia quello della testa e della coda insieme; il peso della testa uguaglia quello di metà tronco più la coda. Quanto pesa il pesce?

Il problema potrebbe essere utilmente proposto a partire dalla 4°/5° elementare, in classi abituate a ragionare precocemente in un determinato modo, e nella scuola secondaria di 1° e 2° grado.

Partiamo dalla scuola superiore. In tale ambito, il problema pò essere risolto con un semplice sistema di equazioni lineari, come segue.

Nella relazione:

P = t + T + c

P rappresenta il pesce, t la testa, T il tronco, e c la coda;  c= 4 kg.

Con i miei ragazzi, abbiamo rappresentato e risolto spazialmente il problema. Metodo utilizzabile utilmente anche in 4°/5° elementare.

La strategia risolutiva più semplice consiste nel rappresentare l'intero pesce in termini di un determinato numero di code, di cui è noto il peso.

P = t + T + c;      c = 4 kg;    T = t + c;       t = T/2 + c

L'intero pesce risulta equivalente a otto code, e, poichè il peso di una coda è di 4 kg, il peso del pesce sarà di 32 kg!

La soluzione può essere rappresentata geometricamente mediante la seguente immagine, che ho realizzato con Geogebra. L'intera figura, che rappresenta il pesce, risulta formata da otto triangoli rettangoli congruenti, che rappresentano otto code. Per la precisione, la testa, rappresentata da un trapezio isoscele, contiene 3 triangoli-code; il tronco è rappresentato da un quadrato, composto da 4 triangoli-code; il triangolo finale rappresenta la coda.

In genere, i ragazzi,forniscono inizialmente una soluzione a base spaziale non metrica.




Aggiornamento del 16/01/2010

I ragazzi della 1° B e della 2° B, hanno affrontato il problema in classe, in questi giorni, pervenendo alla sua soluzione mediante una rappresentazione grafica semplice ed efficace, che propongo di seguito. L'immagine è stata realizzata con GeoGebra anche questa volta.




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