Nato a Cnido, forse nel 406 a.C., Eudosso visse una cinquantina di anni e deve la sua fama soprattutto all'astronomia. Autore di una teoria geocentrica che supponeva Sole, Luna, pianeti e stelle in moto su "sfere omocentriche" intorno alla Terra (teoria ripresa anche da Aristotele), Eudosso sostenne che l'anno dura esattamente 365 giorni e un quarto.
Seguace di Platone in filosofia, nel campo matematico Eudosso inventò il metodo di esaustione, che serve per il calcolo del valore di una grandezza mediante approssimazioni successive.
Il metodo può essere illustrato con un esempio elementare: si voglia stabilire l'area di un cerchio con la massima precisione possibile. Inscritto in un cerchio un esagono (il cui lato è uguale al raggio del cerchio), calcoliamone l'area, che sarà certamente inferiore a quella del cerchio.
Successivamente, inscriviamo nel cerchio un dodecagono, raddoppiando il numero dei lati della prima figura inscritta; anche l'area del dodecagono sarà inferiore a quella del cerchio, ma è più vicina al valore esatto di quanto non sia quella dell'esagono.
Ora raddoppiamo ripetutamente il numero di lati del poligono inscritto, che diventeranno prima 24, poi 48, 96, ecc.; le aree di questi poligoni sono via via sempre maggiori e si avvicinano sempre più a quella (sconosciuta) del cerchio.
Spingendo il procedimento all'infinito, o quanto meno fino all'esaurimento delle possibilità materiali di calcolo, come faceva Eudosso con il suo metodo di esaustione (esaurimento), si otterrà infine un'area del cerchio approssimata per difetto*, ma tanto più vicina al valore reale quanto più sarà stato spinto innanzi il procedimento.
Nel metodo di esaustione troviamo già espressi, sia pure in una forma vaga e incompleta, i concetti di limite, di continuità e di integrazione, che soltanto più di 2000 anni dopo sarebbero stati espressi in forma rigorosa.
(da M. Cavedon, Storia della Matematica, Fenice 2000)
* L'area del cerchio è determinata costruendo, quindi, una successione di poligoni rogolari che assomigliano sempre di più al cerchio. A seconda che si scelgano poligoni iscritti o circoscritti alla circonferenza, l'area di questa risulterà essere approssimata inferiormente o superiormente. Entrambe le scelte portano, comunque al limite, all'area del cerchio.
Eudosso sviluppò il metodo di esaustione, riprendendo la procedura di Antifonte, che aveva tentato prima di lui di determinare l'area del cerchio, inscrivendovi dei triangoli sempre più piccoli, fino a quando la sua area non "esaurisce". Sembra, però, che Antifonte ritenesse di poter ottenere, dopo un numero finito di passi, un poligono con i lati così piccoli da coincidere esattamente con il cerchio. Simplicio osservò (attribuendo la critica ad Alessandro di Afrodisia) che Antifonte era in errore, poiché una circonferenza può avere al più due punti in comune con una retta e quindi i lati del poligono, per quanto piccoli, non possono coincidere con i corrispondenti archi.
La genialità di Eudosso sta nell'aver concepito una successione di poligoni regolari che convergono al cerchio. Lo stesso metodo fu usato in modo magistrale da Archimede.
Il lavoro di questi due grandi, come precursori del calcolo infinitesimale, verrà superato in sofisticatezza e rigore matematico solo dal matematico indiano Bhaskara II (1114-1185) e da Isaac Newton (1642-1727).
Di seguito, una costruzione che ho realizzato con GeoGebra, in cui potete vedere un esagono e un dodecagono regolari, inscritti in una circonferenza. Si nota che l'area del dodecagono approssima l'area del cerchio decisamente meglio di quella dell'esagono. E' sott'intesa l'unità di misura in cm².
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