Due Problemi Di Gatti...E La Probabilità

 

Cari ragazzi di 2° B,

appena avremo terminato lo studio della proporzionalità, introdurremo due altri argomenti interessanti, correlati tra loro: la Statistica e la Probabilità.

Per farmi avanti, vi invito a leggere due problemi che Raymond Smullyan propone nel suo libro The Riddle of Scheherazade e le soluzioni che egli ne dà.

Scheherazade pone al Re due problemi:

"Ecco un problema",  disse Scheherazade al Re. "Un uomo ha due gatti. Almeno uno di essi è maschio. Qual è la probabilità che entrambi i gatti siano maschi?"

"E' ovvio", disse il re.

Qual è la risposta?

La più frequente risposta sbagliata è 50%, mentre la risposta giusta è 1/3 = 33, 3%.

Forse è più facile rendersi conto di ciò, ricorrendo ai lanci di una moneta. Supponete di lanciare una moneta due volte. Quali sono i possibili esiti? Essi sono TT (Testa, Testa), TC (Testa, Croce), CT (Croce, Testa), e CC (Croce, Croce).

Rappresentiamo le quattro possibilità con una tabella:

	T	C
T	TT	TC
C	CT	CC

Questi quattro possibili esiti sono ugualmente probabili. Supponiamo adesso di avere affermato che in almeno uno dei lanci sia uscita Testa. Ciò esclude il caso CC e cosi rimangono tre ugualmente possibili esiti TT, TC, e CT, in uno solo dei quali abbiamo due volte Testa! Così, se almeno in un lancio esce Testa, la probabilità che in entrambi i lanci esca Testa è 1 su 3, ovvero 1/3 = 33,3 %, e non 1 su 2, ovvero il 50%.

Contate quante volte è uscita due volte Testa. Contate quante volte è uscita almeno una volta Testa. Vi accorgerete che il rapporto tra numeri che otterrete sarà circa 33,3%.

" Eccone un altro", disse Scheherazade.

" Un uomo ha due gatti, uno nero e uno bianco. Il gatto bianco è maschio. Qual è la probabilità che entrambi i gatti siano maschi?"

" Ovviamente, la stessa del problema precedente", disse il Re. "Il colore non fa alcuna differenza!"

No, il Re ha torto! Questa volta la probabilità è del 50%. Anche qui può risultare più facile ragionare con i lanci di una moneta. Anche questa volta facciamo due lanci. Adesso, invece di avere detto che esce almeno una volta Testa, noi abbiamo detto che che la prima volta è uscita Testa, quindi i casi possibili sono TC e TT e la probabilità di avere due volte testa è
1/2 = 50%.

Se avessimo detto che la seconda volta esce Testa, la probabilità richiesta sarebbe stata la stessa. Ciascuno di questi due casi è molto diverso da quello in cui abbiamo affermato che almeno in un lancio esce Testa.

I casi dei gatti sono analoghi.

a) Affermare che almeno uno dei due gatti è maschio significa che le seguenti possibilità sono ugualmente probabili:

1. Il gatto bianco è maschio e quello nero è maschio.

2. Il gatto bianco è maschio e quello nero è femmina.

3. Il gatto nero è maschio e quello  bianco è femmina.

In una soltanto delle tre possibilità i gatti sono entrambi maschi e quindi la probabilità che entrambi i gatti siano maschi è 1/3.

b) Nell'altro caso, quando noi abbiamo affermato che il gatto bianco è maschio, ci sono le seguenti 2 possibilità ugualmente probabili:

1. Il gatto bianco è maschio e quello nero è maschio.

2. Il gatto bianco è maschio e quello nero è femmina.

E quindi nel caso 1 entrambi i due gatti sono maschi mentre nel caso 2 essi non sono entrambi maschi.
Concludendo, la probabilità che i gatti siano entrambi maschi è  1/2.


__________________________________


Tratto da: R. Smullyan, The Riddle of Scheherazade and Other Amazing Puzzles, Harvest Books, 1988.

__________________________________

Aggiorno il post con l'interessante commento di un nostro caro lettore, Andrea, che ringrazio.

"La Statistica e lo studio delle probabilità sono un campo affascinante. Sebbene non dia mai una certezza, essa “ misura “ il grado di certezza e viceversa di incertezza.
Dire che su due lanci di una moneta la probabilità di avere due volte testa (o due volte croce) è del 25% non è una previsione su cosa avverrà realmente, ma è il meglio che possiamo dire.
Anche per l’entropia esiste una descrizione probabilistica, e lo stesso stato quantico può essere considerato come una probabilità. Ci stiamo avvicinando al concetto che il massimo ottenibile è una probabilità, di verità.

Ci sono molti divertenti “ problemi ” o dilemmi, simili a quello dei due gatti, come quello di Monthy Hall

Alla base ci sono ragionamenti semplici, eppure controintuitivi. Solo dopo aver studiato la Statistica e la teoria delle probabilità, eviterete, al Casinò, di precipitarvi a puntare tutto sul nero, dopo che è uscito di fila il rosso per dieci volte, o di cercare febbrilmente al lotto i  “numeri ritardatari”.
La Statistica, sebbene apparentemente arida, apre la mente a nuove concezioni, vi fa vedere le cose da un punto di vista nuovo. Vi sembrerà quasi di poter “pesare” il futuro, mentre analizzate il passato. In qualsiasi campo scientifico, infine, un tale bagaglio culturale è al giorno d’oggi indispensabile."