M.C.D. E m.c.m: Problemi

Cari ragazzi e cari lettori,

con questo post fornirò alcune indicazioni utili a svolgere semplici problemi pratici, risolvibili con M.C.D. e m.c.m., accogliendo la seguente richiesta di una madre, letta in un commento al post "M.C.D. ed m.c.m: ripassiamo velocemente!", che vi invito a consultare per un ripasso dei due concetti implicati.



Commento:
Buongiorno! Mia figlia fa la prima media e tra breve avrà una verifica con dei problemi basati sul M.C.M. e sul m.c.m. Io la sto aiutando nei compiti ma ho imaparato a farli insieme a lei. Potrebbe darci qualche dritta a livello di spiegazione, trovando chiavi di lettura o meglio delle strategie per sapere quando bisogna risolverli con uno piuttosto che con l'altro?
Spero di essermi spiegata, grazie. (comunque ci è già stato di aiuto). A presto Martina"

Martina, per risolvere alcuni problemi, per lo più di tipo pratico, a volte è sufficiente calcolare il M.C.D. e il m.c.m. dei due, o più numeri, che costituiscono i dati del problema.

Una indicazione generale, utile come guida per orientarsi è la seguente:

1. quando il problema si riferisce a quantità che devono essere suddivise in parti intere della massima grandezza possibile, si dovrà ricorrere al M.C.D.;

2. quando il problema si riferisce ad eventi che si ripetono periodicamente, si ricorrerà al m.c.m.

Vediamo due esempi concreti.

A. Problema risolvibile con il M.C.D.

Tre pezze di stoffa sono lunghe rispettivamente 12 m, 80 m, e 36 m. Da esse si vogliono ottenere dei tagli tutti uguali della massima lunghezza possibile ed in modo che non avanzino dei resti di stoffa. Quanto deve misurare ciascun taglio?

Risolviamo.

E' necessario trovare un divisore comune ai numeri 12, 80 e 36; tale divisore, però, deve essere il maggiore, poiché i tagli di stoffa devono essere della massima lunghezza possibile. Pertanto la lunghezza di ciascun taglio di stoffa sarà il M.C.D. delle tre lunghezze.

Si effettua la scomposizione in fattori primi dei tre numeri:

12 = 2² * 3

80 = 2^4 * 5

36 = 2² * 3²

Si calcola il M.C.D. (12, 80, 36) = 2² = 4

Ciascun taglio di stoffa deve misurare 4 m.


B. Problema risolvibile con il m.c.m.

In una piazza si trova il capolinea di tre linee di tram: A, B, e C. Il tram A parte ogni 10 minuti, il tram B ogni 15 minuti, il tram C ogni 20 minuti. Se alle ore 11 i tre tram partono assieme, a che ora si troveranno di nuovo tutti contemporaneamente nella stessa piazza, per la prima volta?

Il numero dei minuti che dovranno trascorrere dopo le 11, affinché si verifichi l'evento, dovrà essere necessariamente multiplo di 10, di 15, e di 20.

Inoltre, poiché si richiede a che ora, dopo le 11, si verificherà per la prima volta l'evento, tale multiplo dovrà essere il minore tra tutti i multipli comuni.

Pertanto, effettuata la scomposizione in fattori primi dei tre numeri:

10 = 2 * 5

15 = 3 * 5

20 = 2² * 5

il m.c.m. (10, 15, 20) = 2² * 3 * 5 = 4 * 3 * 5 = 60

I tre tram si ritroveranno assieme per la prima volta nella stessa piazza dopo 60 minuti, cioè alle ore 12.

Cara Martina, mi auguro di essere stata chiara!



Indico i testi di alcuni problemi risolvibili con il M.C.D.

1. Devi dividere tre bastoncini lunghi rispettivamente 288 cm, 120 cm, 216 cm, in pezzi uguali aventi la massima lunghezza possibile. Quale sarà la lunghezza massima di ogni pezzo? Quanti pezzi ottieni?
[24 cm; 26 pezzi]

2. Con 50 caramelle, 40 cicche e 45 cioccolatini devi preparare il massimo numero di sacchettini, tutti uguali tra di loro e senza avanzare dolciumi.
Quanti sacchettini puoi preparare? [5]
Quante caramelle; quante cicche e quanti cioccolatini dovrai mettere in ciascun sacchetto? [10 caramelle; 8 cicche; 9 cioccolatini]

Problemi risolvibili con il m.c.m.

1. Un fruttivendolo paga i suoi due fornitori in maniera diversa: il primo ogni 60 giorni, il secondo ogni 90 giorni.
Se oggi li paga entrambi, tra quanti giorni li pagherà nuovamente insieme? [180 giorni]

2. Alessandro, Salvatore, Matteo e Federico si recano nella stessa piscina. Alessandro ci va ogni 2 giorni, Salvatore ogni 4 giorni, Matteo ogni 6 giorni e Federico ogni 8 giorni.
Se i quattro amici si sono trovati insieme in piscina domenica 14 aprile, quando si incontreranno nuovamente? [Mercoledì, 8 maggio]

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Allego lo svolgimento appena descritto, e i testi dei problemi forniti, come file pdf, che può essere scaricato a questo indirizzo.