La Tavola Pitagorica E I Numeri Quadrati

Cari ragazzi e cari lettori,

riporto di seguito un interessantissimo articolo che il caro amico Bruno Berselli (al quale chiedo scusa) mi inviò parecchio tempo fa, e che io colpevolmente avevo dimenticato!

Scrive Bruno:

La Tavola pitagorica,  di solito,  viene  presentata come uno schema quadrato di 10x10 o 12x12.

Può allora essere interessante chiedersi (e io me lo sono chiesto) se abbia qualche caratteristica non ovvia legata ai numeri quadrati.

Ne esiste una, in effetti, pur non essendo l’unica. Vediamola insieme.

Qui sotto abbiamo una tabellina di  12 x 12 :


Tracciamo al suo interno un quadrato seguendo le linee delle righe e delle colonne:


E ora calcoliamo la somma di tutti i numeri di questo quadrato. Tenendo presente il principio generatore della tabella, possiamo scrivere:

7·(2+3+4+5+6)+8·(2+3+4+5+6)+9·(2+3+4+5+6)+
 +10·(2+3+4+5+6)+11·(2+3+4+5+6)=(7+8+9+10+11)•(2+3+4+5+6)= 900= 30².

Ma guarda! Questo forse significa che qualsiasi altro quadrato tracciato nella Tavola pitagorica fornisca sempre per somma un quadrato perfetto? Purtroppo no. Quando ciò si verifica, allora?

C'è una regola e possiamo enunciarla così:

La somma dei termini di una porzione quadrata della Tavola pitagorica  è un numero quadrato quando il termine della casella centrale (o la somma dei termini delle quattro caselle centrali) è un quadrato.


Naturalmente, la porzione quadrata presenta una sola casella centrale quando ha un numero dispari di righe e colonne, altrimenti ha quattro caselle. Nell'uno e nell'altro caso, in pratica, ci interessa solo il valore corrispondente e pertanto lo possiamo chiamare valore centrale della porzione quadrata.

Vediamo adesso alcune animazioni.

Dunque, nei quadrati con valore centrale  441 = 21²  (non importa quante caselle consideriamo) la somma di tutti i termini è un quadrato. Nei quadrati con valore centrale  56 = 7 x 8,  invece,  no.

E' una proprietà carina, vero?  Ma ora bisogna dimostrarla.

Per far questo possiamo determinare, innanzitutto, la somma dei termini di una generica porzione rettangolare della Tavola pitagorica.

Consideriamo lo schema:



Come abbiamo fatto più sopra, scriviamo la somma da  qp  a  (q+n)(p+m):

S = [p+(p+1)+(p+2)+...+(p+m)][q+(q+1)+(q+2)+(q+3)+...+(q+n)]

vale a dire:

S = [p(m+1)+m(m+1)/2][q(n+1)+n(n+1)/2]

Il termine m+1 corrisponde al numero delle colonne che compongono il riquadro, mentre n+1 indica il numero delle righe.

Se m = n,  la porzione della Tavola pitagorica è un quadrato e perciò possiamo porre, in maniera equivalente:

S = (p+½m)(q+½m)(m+1)² = (2p+m)(2q+m)¼(m+1)²,

in cui distinguiamo i due casi, riferiti alla prima e alla seconda forma scritta:

- se m è pari,   (p+½m)(q+½m)  è il termine della casella centrale del quadrato,

- se m è dispari,  (2p+m)(2q+m) = {[p+½(m-1)]+[p+½(m+1)]}{[q+½(m-1)]+[q+½(m+1)]} è la somma dei termini delle quattro caselle centrali del quadrato.

Si vede subito, inoltre, che sia  (p+½m)(q+½m)  che  (2p+m)(2q+m)  risultano moltiplicati per un quadrato.  Pertanto, affinché la nostra somma  S  sia un quadrato occorre  e  basta che siano quadrati anche  (p+½m)(q+½m)  e  (2p+m)(2q+m).

Ecco fatto, abbiamo visto perché la regola è corretta! 

Un caso particolare.

Se  p = q,  allora  (p+½m)(q+½m) = (p+½m)²  ed è anche  (2p+m)(2q+m) = (2p+m)² :

questo vuol dire che in qualsiasi quadrato con il centro sulla diagonale (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...), indipendentemente dal numero delle caselle che lo compongono, la somma dei termini è sempre un quadrato perfetto.

____________________________________

Post che vi potrebbero interessare:

- La Divisione Canadese: Una Divisione Per Sottrazioni Progressive

- I numeri principi e i pensieri del Signor Goldbach

- I numeri naturali e la loro rappresentazione grafica

- Tabelline e Didattica

- M.C.D ed m.c.m: ripassiamo velocemente!

- La Moltiplicazione Araba o Graticola o Gelosia