Problema: Stabilire Se 462 E' Un Numero Triangolare

Cari ragazzi,

prima di continuare con la seconda parte del  post  I numeri triangolari…e le Spice Girls!, vi propongo un problema con cui stabilire se un determinato numero è anche un numero triangolare…e, in particolare,

Stabilire se 462 è un numero triangolare.

E’ necessario ricordare che i numeri triangolari si ottengono dall’espressione

n(n + 1)/2

sostituendovi, al posto di n, i numeri naturali (uno alla volta, naturalmente).

Da ciò abbiamo dedotto che: un numero naturale è triangolare soltanto quando il suo doppio è uguale al prodotto fra un numero naturale ed il suo successivo.

Il dato del problema è il numero naturale 462.

L’incognita è quel numero naturale che sostituito nell’espressione precedente la rende uguale a 462.

Denotando con n tale numero naturale, la risoluzione del problema è ricondotta alla risoluzione dell’equazione

n(n + 1) = 2 * 462

che scriveremo come segue, abolendo il segno di moltiplicazione:

n(n + 1) = 924

Per risolvere, estraete la radice quadrata di 924

  

Osservate che

30 < 30,39736831 <31.
 

Il prodotto 30 * 31 = 930 non è uguale a 924 e quindi 462 non è triangolare, ossia non esiste alcun numero naturale che sia soluzione dell’equazione.
 

Osservate che questa volta siamo riusciti a risolvere il problema senza risolvere l’equazione.

E’ possibile che l’equazione abbia delle soluzioni che non siano numeri naturali.

Munitevi di calcolatrice e osservate che cosa accade se nell’equazione sostituite al posto di n prima 29,90148023 e dopo
- 30,90148023.

Ciò che accade dovrebbe farvi sospettare fortemente che l’equazione ha due soluzioni, una positiva e l’altra negativa.

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Riporto di seguito il contributo lasciato dall'amica Maria Intagliata in un commento al post precedente a questo.

Questo post è chiaramente indirizzato ai ragazzi, ma è così carino ed accattivante che tenta pure i grandi!

Per i ragazzi più grandicelli desidero aggiungere qualcosina sulla formula svelata dal dottor Googol alla Baby Spice, soprattutto per sottolineare come una formula riesca a legare  argomenti di matematica, anche diversi tra loro.

La formula n(n + 1)/2  è la nota formula di Gauss e rappresenta la somma dei primi n interi consecutivi, ovvero in progressione aritmetica di ragione 1, dove 1 è il primo termine ed n l'ultimo, che nello stesso tempo è il numero dei termini.

Inoltre n(n + 1)/2 è anche il numero delle combinazioni con ripetizione di n elementi della classe 2 (e abbiamo scomodato il calcolo combinatorio!).

Se volessimo sapere se un dato numero intero n è triangolare o meno, possiamo calcolare la seguente espressione:

Se m viene intero, allora n è triangolare.

Ad esempio, se sostituiamo n=6 (che è triangolare) nella precedente, troviamo m = 3, cioè 6 è il 3° termine nella successione dei triangolari ed è vero.

Se sostituiamo n = 9, m  non è intero e quindi 9 non è triangolare.

Cari ragazzi, vedete quante cose ci stanno dietro a una piccola formula!