La Somma Dei Primi n Numeri Naturali Dispari

La somma dei primi n numeri naturali dispari è l'argomento che abbiamo trattato ieri con i ragazzi della 1° B.

L'argomento si presta ad introdurre nozioni come le successioni di numeri naturali.

Come risaputo, i numeri possono formare delle figure geometriche. Non a caso nella tradizione pitagorica figure e numeri si intrecciavano in uno stretto connubio per cui erano catalogati in base alla figura geometrica alla quale davano origine.



Sulla base di tali considerazioni, qualche giorno fa ho dato la seguente consegna ai ragazzi: "Effettuate la somma dei primi tre numeri dispari e provate a realizzare una figura geometrica che possa rappresentare tale somma".

I ragazzi non sono stati mai coinvolti in attività di questo tipo alla scuola primaria, per cui non è stato subito facile rispondere alla consegna.

Alessandro R., Adele, Riccardo e Chiara T. sono riusciti a costruire delle figure fantasiose, ma solo Alessandro ha realizzato un quadrato composto dai numeri 1, 3, 5 interpretati come blocchi figurati, e disposti casualmente.

Ho fatto loro vedere il disegno di Alessandro, informandoli che costituiva una buona base di partenza, ma doveva essere "riordinata" opportunamente, dopo aver riflettuto sulle somme che includono progressivamente i primi sei numeri naturali dispari:

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

I ragazzi sono stati veramente bravi perché hanno intuito quasi tutti che le somme ottenute possono essere associate a dei quadrati.

Per un'ora hanno disegnato con ritmo sostenuto i loro quadrati. Li porteranno a scuola lunedì perché non sono riusciti a completare le configurazioni geometriche, che sono le seguenti:

                

Nel caso della somma  1 + 3 + 5 = 9, abbiamo disposto dapprima una sferetta blu (uno), successivamente tre sferette rosse e infine cinque sferette verdi, in modo da ottenere un quadrato di lato 3 e area 9.

Nel caso della somma 1 + 3 + 5 + 7 = 16, abbiamo aggiunto al quadrato precedente sette sferette rosa, ottenendo un quadrato di lato 4 e area 16.

Nel caso della somma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, aggiungendo nove sferette celesti al quadrato di area 16, abbiamo ottenuto il terzo quadrato di lato 5 e area 25.

Infine, nel caso della somma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36, abbiamo aggiunto undici sferette arancione al quadrato di lato 5, ottenendo il quadrato di lato 6 e area 36 della figura seguente.



A questo punto, ho chiesto ai ragazzi se erano in grado di prevedere quale fosse la somma dei primi  7, 8, 9, 10...100...1000 numeri dispari.

Devo dire che, posta la domanda, si sono alzate quasi subito diverse mani...e la risposta è stata 49, 64, 81, 100, 10000, 1000000!

Forti questi primini! Proprio forti! Avevano compreso la regolarità...

Li ho allora sollecitati, chiedendo: "Possiamo formulare una regola generale per il comportamento che abbiamo osservato?".

Due o tre, Alessandro R., Chiara T...ma presto se ne sono aggiunti altri, hanno risposto contemporaneamente che per ottenere la somma dei primi n numeri dispari  si deve moltiplicare il numero considerato per se stesso!

Ho formulato la domanda in modo più preciso: "Qual è la somma dei primi n numeri dispari?"

La risposta immediata di tutti è stata: "La somma è ottenuta moltiplicando
n x n".

Non contenta, proseguo: "Sapete, magari perché ne avete parlato alle elementari, come si può scrivere in modo più sintetico n x n?"

Molti lo sapevano! Hanno risposto n²!

Abbiamo allora perfezionato la risposta, come segue: "La somma dei primi n numeri naturali dispari è data dal numero n al quadrato  S(n) = n², cioè è uguale all'area di un quadrato di lato n".

Bravi ragazzi! Sapete che cosa vi dico? Che della prova INVALSI ce ne facciamo un baffo!

Lunedì, i ragazzi porteranno a scuola  le loro costruzioni, che metterò online!

Rimanete sintonizzati ché non è ancora finita con questo argomento!