Quanto Siete Svegli? - La Soluzione

Posto la soluzione del problema "Quanto siete svegli?", proposto ai miei alunni di 3° B tre giorni fa.

Ieri, pubblicavo i tentativi di soluzione con cui i ragazzi avevano determinato la lunghezza del lago, senza essere riusciti a fornire, a mio avviso, una giustificazione matematica soddisfacente.

Data la loro curiosità di sapere, propongo quanto segue dal libro "I giochi matematici russi".




Come si può osservare dalla figura, la prima volta che si incontrano, i motoscafi hanno percorso complessivamente una distanza uguale a una volta la lunghezza del lago; la seconda volta, una distanza uguale a tre volte la lunghezza del lago:

il tempo trascorso e la distanza percorsa da entrambi i motoscafi sono il triplo; ne consegue che al secondo incontro M avrà percorso 500 x 3 = 1500 metri, e, poiché questo risultato è 300 metri maggiore della lunghezza del lago, il lago sarà lungo 1200 metri.

Il rapporto tra la velocità di M e la velocità di N è equivalente al rapporto tra le distanze percorse quando si sono incontrati la prima volta:

v (M)/v (N) = (500/ (1200 - 500) =   5/7 
 

I ragazzi hanno risolto molto facilmente questo secondo punto del problema, ovvero la determinazione del rapporto tra le velocità dei due motoscafi.