L'Idea Del Piccolo Gauss "Scoperta" Dai Ragazzi

Ricordate che, in chiusura del post del 27/11, vi invitavo a rimanere sintonizzati perché c'era ancora altro su cui riflettere? Ebbene, oggi con i primini abbiamo ripreso il discorso sulla somma dei primi n numeri naturali dispari e, per chiarire meglio, abbiamo costruito la seguente tabella.

N	Somma dei primi n numeri dispari
2	1 + 3	4
3	(1 + 3) + 5	9
4	(1 + 3 + 5) + 7	16
5	(1 + 3 + 5 + 7) + 9	25
6	(1 + 3 + 5 + 7 + 9) + 11	36
7	(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11) + 13	49
8	(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) + 15	64
9	(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15) + 17	81
10	(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17) + 19	100
11	(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19) + 21	121
12	(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21) + 23	144
13	(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23) + 25	169
.....
n	1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25......2n+1	n²

A questo punto, ho chiesto ai ragazzi se notavano comportamenti particolari nelle sequenze numeriche in tabella.

Dopo alcuni minuti di silenziosa riflessione, Leonardo notava che, nella quinta sequenza, la somma dei termini equidistanti da 5 dava 10:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 9 = 10

3 + 7 = 10

Immediatamente, molti notavano il medesimo comportamento nelle sequenze 7, 9, 11, 13.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49

1 + 13 = 14

3 + 11 = 14

5 + 9 = 14

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81

1 + 17 = 18

3 + 15 = 18

5 + 13 = 18

7 + 11 = 18

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121

1 + 21 = 22

3 + 19 = 22

5 + 17 = 22

7 + 15 = 22

9 + 13 = 22

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 169

1 + 25 = 26

3 + 23 = 26

5 + 21 = 26

7 + 19 = 26

9 + 17 = 26

11 + 15 = 26

Bravissimi, ragazzi!

Siamo giunti alla conclusione che nelle successioni di n numeri dispari (aventi una quantità dispari di termini) la somma dei termini equidistanti dal termine centrale è costante! (Idea del piccolo Gauss)

Riccardo notava, inoltre, che le somme delle coppie numeriche sono esattamente il doppio del numero centrale della successione.

Non male, ragazzi, non male!

L'ora è finita,...ma non le osservazioni che continueranno ancora. I ragazzi dovranno perfezionare quanto svolto in classe e trovare altro. I loro risultati saranno pubblicati appena pronti.

Ragazzi mi state dando grandi soddisfazioni...

Quel monello di Riccardo mi "spara"  all'improvviso: "Prof. ricorda la scommessa di inizio d'anno?"

Io: "Quale?"

R: "Di riuscire a farci piacere la matematica, alla fine dell'anno scolastico!"

Io: "Sì, ricordo!"

R: "Beh, la scommessa l'ha già vinta!"

Un po' di commozione...la mia. Non convinta chiedo: "Siete d'accordo tutti con Riccardo?". Le venti testoline fanno un cenno di assenso.

Io: "Robert, sei d'accordo pure tu? Ma la matematica non ti faceva venire fame tanto ti riusciva insopportabile?"

Robert:"Adesso non più. Mi piace (la matematica) così e così".

Io:"Beh, siamo sulla strada giusta!"

A lunedì, ragazzi.


___________________________

Post correlato

Le Configurazioni Geometriche Dei Ragazzi