È Arrivato A Scuola Il Millenario Diagramma Di Argilla A Modulo Quadrato Di Aldo Bonet

Vi presento, con estrema soddisfazione, il prezioso e millenario diagramma di argilla...in carne ed ossa, pardon in laterizio, così come lo ha realizzato per noi l'amico Aldo Bonet, il quale ce lo ha inviato tramite corriere in una voluminosa valigia.

Siamo finalmente riusciti a farlo venire alla luce dopo un tempo troppo lungo. L'emozione è stata grande. I ragazzi erano lì muti ad assistere al rito della sua "rinascita". Non abbiamo fatto in tempo a tirare fuori alcuni moduli, ma siamo riusciti a "smontare"  il diagramma e a fare delle foto, con cui abbiamo realizzato uno slideshow. Nei prossimi giorni i ragazzi si cimenteranno con la manipolazione di tutti i moduli.



Ammirate il favoloso   diagramma di argilla a modulo quadrato.
  
Grazie di cuore, Aldo.





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Primo aggiornamento

Pubblico di seguito il commento di Aldo Bonet:


"Che bel regalo Annarita che mi hai e ci hai fatto per il 150mo dell’unità d’Italia! Sono rimasto senza fiato nel vedere in quale splendida cornice hai fotografato il diagramma d’argilla…..vedo che è arrivato tutto intero!


Discuterò con voi le varie fasi con un commento successivo, per ora sono rimasto ipnotizzato dalla diapositiva n° 12  che fotografa quello che voi (Tu e i tuoi alunni) avete (immediatamente e per istinto), di vostra fantasia, imbastito e animato con una percezione di movimento a girotondo, circondando  il quadrato centrale, quello della differenza tra i lati del rettangolo, coi rettangoli in cui avevo tracciato la diagonale, ma con la differenza che voi li avete capovolti formando una decorazione MERAVIGLIOSA E INTERESSANTE! Quando l’ho vista mi son detto: “Accidenti ma questa!...( pausa per riprendermi) è l’imbastitura della decorazione sumerica, quella…”


Se osserviamo bene la diapositiva 12, immaginate ora di dipingere (o comporre), con dei quadratini alternati in bianco e nero, il quadrato centrale a mo' di scacchiera e di disegnare dei denti (come quelli di un pettine) lungo le diagonali dei rettangoli (quelli con cui avete circoscritto il quadrato), oppure, ancora meglio, di sovrapporre delle mezze foglie di palma lungo le diagonali, che cosa avremmo fatto o artisticamente composto?


Ebbene,  andate a vedere sul mio sito www.storiadellamatematica.it, cliccate sulla copertina del Periodico di Matematiche, 2008, andate poi a pag. 62, osservate l’allegato n° 4 e confrontate la vostra imbastitura con la decorazione sumerica ( pensate e udite, udite) del IV millennio a. C. (le frecce rosse non ci sono nella ceramica originale, le avevo inserite io nell’articolo per evidenziare il moto rotatorio a girotondo).


Bravi ragazzi, io credo che il diagramma, come si può supporre, non solo ha influenzato il pensiero algebrico prescientifico, ma probabilmente è andato a braccetto con l’arte dei mosaicisti e dei decoratori, e credo che sia più antico di quanto possiamo ricavare con l’analisi delle tavole matematiche, che abbiamo oggi a disposizione…Chi ben comincia e a metà dell’opera! Sentivo che questo diagramma era stufo di stare con un lupo solitario come me, lui aveva tanta voglia di rivivere nel suo ambiente naturale: LA SCUOLA! Dove è cresciuto, giocando con gli antichi alunni o scribi nei millenni a.C, istruendoli assieme agli insegnati - scriba, e ora? Già, è giunto qui, è ricomparso all’inizio del terzo millennio d.C, ancora in una scuola, in una classe e, che classe! Con l’insegnante Annarita e, che insegnante!


Grazie, grazie, e bravi davvero!

Aldo"  

Cari ragazzi l'immagine che segue rappresenta la decorazione sumerica del IV millennio a.C cui si riferisce Aldo.

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Secondo aggiornamento, riferito al secondo commento di Aldo:

"Ciao Annarita, stamani sono andato i biblioteca per trovare ulteriori elementi per i tuoi alunni sull’arte delle arcaiche civiltà mesopotamiche.

La cultura Samarra in Mesopotamia (VI e inizio del V millennio a.C.) ci ha lasciato alcune ceramiche, piatti, ciotole decorate molto spesso con decorazioni cruciformi, composte con ricchezza e fantasia di elementi geometrici figurati (vegetali, animali e anche umani) che spesso ingenerano un senso di movimento rotatorio a schema dinamico, proprio come la nostra ceramica sumerica di Susa I ( IV millennio a.C.), depositata al museo del Louvre. Vi lascio, qui di seguito, i riferimenti ad alcuni testi che potrete consultare anche voi in biblioteca:


1) La grande storia dell’arte Vol. 12- l’arte del vicino oriente, il sole 24 ore Education s.p.a Firenze 2006, pag. 68, 69  notare la lastra votiva sumerica XXV secolo a.C.


2) Pierre Amiet, L’arte del vicino oriente , Garzanti 1994


3) Dai Sumeri ai Babilonesi/ universale electa/ Gallimard 1996; a pag. 89, notare lo stampo da cucina di Mari XVII secolo a.C.


4) Antonio Invernizzi - Dal Tigri all’Eufrate Vol. 1- Sumeri e Accadi, Casa editrice Le Lettere, 1992, notare alle pag. 76-77, fig.92, 93 i piatti di Samarra.


5) André Parrot , Feltrinelli 1960/ 68- I Sumeri, notare a pag 45 le ceramiche di Samarra e a pag 62  le coppe di stile Susa I tra le quali anche la nostra ceramica sumerica.


Ciao a tutti; grazie Rosariella per il tuo commento.

Aldo"

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Terzo aggiornamento

Aldo Bonet commenta le diapositive dello slideshow.

"Volevo concludere con questi commenti nel giorno della festa del papà però ho voluto festeggiarlo assieme al nostro diagramma che come sappiamo è il “padre” progenitore dell’algebra- geometrica e del nostro pensiero matematico prescientifico.

Oggi però, riprendo con quanto avevo promesso nel mio primo commento, spiegando a voi alunni le diapositive scattate dalla vostra insegnante Annarita.

Diapositiva n° 1.

Rappresenta la forma normale di base molto diffusa o standard del diagramma d’argilla, composto in origine da quattro mattoni rettangolari, alla quale i babilonesi riconducevano i problemi quadratici più complessi o dalla quale partivano per la ricerca successiva con la visualizzazione di identità o prodotti notevoli, regole fondamentali, metodi, evoluzioni e scoperte  geometriche, ecc.

La diapositiva esprime il problema esemplificativo di 2° grado che si può tradurre algebricamente nel sistema: XY = b; X+Y = S, da cui si visualizza subito l’identità: (X+Y) 2 – 4 XY = ( X-Y) 2 ; la terza figura a destra nella diapositiva, indica l’inserimento dell’antichissimo principio della semisomma e della semidifferenza con la semplice sovrapposizione sul diagramma di due corde a forma di croce che suddividono visibilmente il diagramma (voi potrete riprodurre agevolmente la croce di corde con degli  elastici da sovrapporre al tetragono che ho spedito in dotazione ad Annarita) in quattro quadrati aventi per lato la semisomma: (S/2)2 = U2  e all’interno i quattro quadratini aventi per lato la semidifferenza: [(X-Y )/2 ] 2  = V 2  da cui le identità che si visualizzano sul diagramma d’argilla: 4 U2  = 4XY + 4 V2 ; il principio suddetto ci permetterà così, seguendo gli schemi artigianali visibili, di giungere correttamente alle due soluzioni, ovviamente positive, del sistema sopra indicato, pari a: X = S/2 + V; Y = S/2 –V. Semplice  vero?

Diapositive n° 2 e n° 8

Rappresentano la penultima fase, quella prima dell’estrazione, da parte dell’antico Scriba, della diagonale dalla materia o dalla catasta (ricordate il post: Genesi di Pitagora?) fatta in cinque strati (lo stesso numero di strati degli altari di fuoco vedici! Avete notato?) che determinò, dopo la scoperta della regola generale babilonese, la seconda straordinaria e consequenziale scoperta: LO GNOMONE!

Vi ricordate la prima scoperta? La regola generare ha stabilito che: il quadrato (coi pezzi o i laterizi bianco/neri) costruito sulla diagonale (d) è pari all’unione, alla somma di due quadrati  (il quadrato di X, bianco + il quadrato di Y, nero), costruiti sui rispettivi lati (X e Y) del rettangolo, uniti in un’area dalla forma gnomonica un po’ allargata, quasi un preludio per la seconda grande scoperta che si sarebbe poi concretizzata, e fu così che lo Scriba, giunto alla costruzione del quinto strato del diagramma di argilla, e sovrapponendo spontaneamente la mattonella bianca quadrata (X quadro) all’interno dell’area costruita sulla diagonale del rettangolo (d), gli dava per induzione logica, come area residua o rimanente per completare l’area della diagonale, un’ area stretta e lunga, a forma di gnomone, che doveva riempire per completamento mediante due laterizi rettangolari neri:  [dn + (d-n) n].

Quest’area stretta e lunga, doveva essere (ovviamente) pari al quadrato nero utilizzato in precedenza e stabilito dalla regola generale, ovvero, Y quadrato ! Pensate che Meraviglia! Quale meravigliosa cosa si presentava agli occhi dello Scriba! Un’area quadrata poteva anche essere uguale (o equivalente) ad un’altra area,  ma di una forma un po' strana e diversa, una forma ad L, che poi fu coniata come: “GNOMONE”.

Pensate quale meraviglia, quel giorno, fu per lo Scriba! Dopo la prima scoperta, ecco un’altra grande scoperta, immediatamente successiva.

Pensate quale straordinario momento fu, quel giorno! Fu l’inizio di una grande e meravigliosa avventura per il futuro dell’uomo e della matematica.

Sulle due diapositive in argomento, l’area vuota rimanente, pari a Y quadro, è stata riempita in un secondo modo equivalente, ovvero, con due laterizi neri, pari a: 2Xn, più un terzo laterizio, un quadratino nero pari a n al quadrato, ovvero:

Y2 = 2Xn+n2 = [dn + (d-n) n]…..; X = (Y2 - n2) : 2n

Spero di essere stato chiaro o di avervi perlomeno incuriosito; le altre diapositive le commenteremo domani.

Ciao, a domani dunque.

Aldo"

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Quarto aggiornamento


Diapositiva n° 3


Rappresenta un cartoncino bianco in cui ho disegnato il diagramma che ospita la sezione a modulo quadrato di base o di partenza o tetragono d’argilla, che esplorerete la prossima settimana con la vostra insegnante Annarita. Le quattro linee tratteggiate le ho disegnate come direttrici per facilitare la collimazione, quando dovrete inserire correttamente la croce baricentrica che innesca l’antichissimo principio della semisomma e della semidifferenza, il quale consentirà di visualizzare bene la suddivisione che osserverete sul diagramma e che vi consentirà di giungere facilmente alle soluzioni algebriche desiderate dei problemi.


Un principio utilizzato alla base dell’algebra babilonese, che avevo intuitivamente ipotizzato di appartenenza babilonese nel 1978 e di cui  trovai conferma soltanto nel 1988 quando seppi che fu portato alla luce da uno dei primi e illustri traduttori delle tavolette matematiche cuneiformi F. Thureau-Dangin.

F. Thureau-Dangin fu messo, nel primo novecento, a capo delle traduzioni e ricerche sulla scrittura cuneiforme mesopotamica, presente nelle tavolette d’argilla depositate nei vari Musei tra i quali quello del Louvre di Parigi. Egli è un noto e riconosciuto Assiriologo, Storico della Matematica, forse il più grande Linguista e Specialista delle Lingue Sumera e Accadica.


Il cartoncino è situato sopra una base girevole di 360°, con un piano metallico fatto appositamente per attaccare, e far agevolmente scorrere sui bordi, i ganci magnetici su cui bisogna stendere gli elastici. Infine, l’ho rivestito in panno di velluto antiscivolo. L’ho reso girevole in modo che Annarita, quando vi esporrà il tetragono, facendolo ruotare vi permetterà di osservare, da qualunque angolazione, la sua splendida simmetria.
La peculiare simmetria del diagramma d’argilla, che rimarrà invariata anche se si capovolgono sottosopra le 4 mattonelle, o anche se lo si divide lungo le sue diagonali o lungo le linee direttrici. Fu proprio questa sua straordinaria simmetria la chiave magica il “passe-partout” che ha aperto le porte all’algebra e alla cultura matematica delle civiltà arcaiche.
La base girevole l’ho pensata anche per permettere ad Annarita di far vedere bene a tutti voi, che gli starete attorno, le soluzioni o le evoluzioni algebrico-geometriche sul diagramma d’argilla, da ogni tipo di angolazione.


Oggi sono stato breve, ma domani (o dopo domani) commenteremo più a lungo le rimanenti diapositive.


Ciao a tutti.


Aldo

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Ultimo aggiornamento

Diapositive 4, 5, 9, 10, 11

Le diapositive (4, 5, 11)  indicano l’imbastitura di partenza che ha condotto alla scoperta della regola generale babilonese e a quella successiva dello gnomone; le troviamo nel primo e quarto strato. Interessante notare come l’imbastitura compone magicamente, con le diagonali tracciate sui quattro rettangoli, il quadrato della diagonale e poi  suggerisce anche come foggiare la forma dei pezzi successivi (quelli bianchi e bianco/neri) da sovrapporre internamente al quadrato.

Un felice connubio, una simbiosi tra lo Scriba e il diagramma, che porterà alla prima grande scoperta, quella della regola babilonese (diapositive 9, 10) che si visualizzerà subito nel secondo strato. L’imbastitura fotografata nelle diapositive (4, 5, 11) serviva anche per risolvere dei problemi di secondo grado, collegati alla regola generale babilonese e riconducibili all’imbastitura normale o standard già vista nella diapositiva 1, quella che rappresenta i problemi composti di somma (o differenza) e prodotto.

Un problema legato alla Regola Generale Babilonese e connessioni con le altre Civiltà.

Un problema emblematico è quello della tavoletta Db2-146 di cui a pag. 98 del Libro Storia dell’Algebra, Silvio Maracchia, nonché a pag. 257 del Libro di Jens Hoyrup, Lengths, Widths, Surfaces, Springer 2002;  per la sua soluzione bisogna pensare di visualizzarlo nelle fasi seguenti e dentro il nostro solito diagramma a modulo quadrato.

Il problema, tradotto algebricamente, è il seguente: XY = 3/4 ; d = 5/4


                       FASE 1             FASE2                          FASE 3



PROBLEMA: X  Y =3/4; d = 5/4;  IDENTITA’:    d² = 2XY + (X–Y)²
                                                                   d² – 2XY = (X-Y)²
                                                                   d² + 2XY = (X+Y)²

Tav. 1

Nella fase 1, si razionalizza il problema, per inserirlo nella fase 2.

Nella fase 2, si compone il diagramma a modulo quadrato come indicato nella diapositiva n°1 precedente, quella per la forma normale o standard, dove possiamo visualizzare una prima serie di passaggi algebrici preliminari perfettamente correlati con quelli indicati nella tavoletta, che portano a conoscere la differenza dei lati del rettangolo, riducendo il problema a quello del tipo normale o standard “somma/differenza e prodotto”. Risolto conclusivamente, nella fase 3 successiva

Lo scriba effettua questi passaggi preliminari:

 

5/4                                traduzione algebrica:                      (x² + y²)½



3/4                                                                                            xy



5/4 x 5/4 = 25/16                                                                     x² + y²   


     
2 x 3/4= 3/2                                                                        2xy = 4(xy/2)



25/16 - 3/2 = 1/16                                                        x² + y²  - 4(xy/2) = (x-y)²



(1/16)½ = 1/4                                                                          x-y



Nella fase 3 (come nella stessa fase della diapositiva 1) si inserisce il principio in argomento, posizionando sullo stesso diagramma la ben nota croce simmetrica che lo fraziona in quattro parti uguali, visualizzando e individuando i rimanenti passaggi algebrici, che porteranno lo scriba alla soluzione lineare conclusiva desiderata:

 x = 1 , y = 3/4  ; area = 3/4 , così come indicati nella tavoletta.

I calcoli mostrati dallo scriba per la verifica del problema, si possono perfettamente visualizzare con la regola generale babilonese a cui il problema era evidentemente legato, poiché legato al consueto diagramma a modulo quadrato.

Ecco di seguito i passaggi della verifica (diapositiva 9, 10):


1x1 = 1                                        traduzione algebrica:                   x²

3/4 x3/4 = 9/16                                                                             y²

(1 + 9/16) 1/2 = 5/4                                                                      d

1x3/4 = 3/4                                                                                  xy

Tav. 2
 

Come conclusione di questo problema, che ho ipotizzato dentro il diagramma, è interessante osservare che le identità, ravvisabili nel diagramma in Tav. 1, sono le stesse elencate dall’anonimo esponente di una corrente matematica persiana del X secolo, autore di un manoscritto incluso nel Codice 952b del “Supplèment arabe” dell’allora Biblioteca imperiale di Parigi. Questo anonimo  maestro non conosceva l’opera di Diofanto (250 d.C.), ma molto bene quella di Euclide (300 a.C.).

Le identità in argomento, che non si trovano negli Elementi, erano invece presenti e applicate nell’Aritmetica di Diofanto alla proposizione V,7. Abbiamo visto, anche, che Bhaskara I (VII secolo) e Bhaskara II (XII secolo) usavano lo stesso diagramma (Tav. 1, Tav. 2) per la dimostrazione della regola generale babilonese (Teorema di Pitagora)  e, probabilmente ancor prima, anche Aryabhata I (476 d.C.) che ha descritto identità visualizzabili sullo stesso diagramma riconducibile alla forma standard (diapositiva 1).


E ancora, a testimonianza di una notevolissima e diretta influenza algebrico - geometrica babilonese o di una tradizione comune per entrambe le civiltà, abbiamo visto le stesse identità e lo stesso visibile diagramma a modulo quadrato, composto a mosaico con l’uso equivalente di figure geometriche, ritagliate con carta colorata, nello “Gnomone degli Zhou”, un documento dell’antica Cina risalente alla dinastia Han (206 a.C. -220 d.C.), dove l’arcaica dimostrazione, equivalente al “Teorema di Pitagora”, è identica.
Notevole è l’analogia tra lo studio geometrico cinese dei solidi presenti nei “Nove capitoli sui procedimenti matematici”, risalente alla stessa dinastia Han, e quello babilonese col diagramma cubico risolvente, da me ipotizzato (vedere A. Bonet fig. 4 pag .207 e fig. 6 pag. 209,  L’educazione Matematica, 1989; Karine Chemla: “Matematica e cultura nella Cina antica” presente sul Libro “La Matematica” i luoghi e i tempi, vol 1 a cura di Bartocci e Odifreddi,  Einaudi 2007; Joran Friberg, Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics – World Scientific 2007 – da pag. 202 a pag. 210).

Diapositive 6, 7


E' rappresentata un’identità, o versione equivalente della regola generale babilonese; un’identità che si trova applicata in diversi problemi babilonesi (vedere A. Bonet Fig .3 pag 203  e pagg.204, 205,  L’educazione Matematica, 1989 e Periodico di Matematiche, 2008, pag. 41,42,43 e allegato 11, pag.67 )

Tav. 3

Nel nostro diagramma d’argilla, questa identità la ritroviamo al terzo strato.

 Aldo.