Perche' Sono A Favore Della Definizione Inclusiva Di Trapezio

Ieri pubblicavo il post  "Perché Odio La Definizione Di Trapezio", in cui segnalavo due articoli di un blogger straniero a favore della definizione inclusiva di trapezio. Posizione che mi trova d'accordo.

Siete invitati a leggere l'articolo citato, prima di immergervi nella lettura di quello odierno.



Tra i commenti al post, riporto quello di Paolo Dall'Aglio, un collega che insegna matematica alle medie, il quale mi offre lo spunto per approfondire la vexata quaestio!

Cara Annarita,
non me la sento di essere così drastico sulla correttezza o meno. Le definizioni si possono dare entrambe:

" ...un quadrilatero con una e una sola coppia di lati paralleli "
                                            o
" ...un quadrilatero avente una coppia di lati paralleli "

Con la prima si salva l'osservazione, che compare in molti libri, che il trapezio si ottiene intersecando un triangolo con una striscia parallela ad un lato.
Con la seconda la classificazione dei quadrilateri è più semplice e comprensibile. 
Penso inoltre che possa essere formativo far capire che una definizione è, tutto sommato, arbitraria e preparare i ragazzi ad incontrare in futuro definizioni diverse da quelle che conoscono.
Io gliele ho spiegate entrambe, cercando di far capire la differenza, e le conseguenze.
ciao
Paolo Dall'Aglio

Caro Paolo, la definizione di trapezio è un punto di scontro tra i matematici. Pare che negli USA sia in voga la definzione esclusiva, ovvero quella che definisce il trapezio come "un quadrilatero con una e una sola coppia di lati paralleli", mentre in Canada e in Gran Bretagna pare sia utilizzata la definizione inclusiva, secondo cui il trapezio è "un quadrilatero con almeno una coppia di lati paralleli".

Tu affermi che le definizioni si possono dare entrambe, adducendone le motivazioni. Però la prima definizione esclude che i parallelogrammi possano considerarsi dei trapezi particolari mentre per la seconda i parallelogrammi sono dei trapezi.

Personalmente, sono a favore della definizione inclusiva, ritenendola coerente con i suoi usi in matematica superiore, la qualcosa non avviene per la definizione esclusiva di trapezio.

Riporto, a sostegno di quanto affermo, un passo da Wikipedia inglese: "There is also some disagreement on the allowed number of parallel sides in a trapezoid. At issue is whether parallelograms, which have two pairs of parallel sides, should be counted as trapezoids. Some authors[2] define a trapezoid as a quadrilateral having exactly one pair of parallel sides, thereby excluding parallelograms. Other authors[3] define a trapezoid as a quadrilateral with at least one pair of parallel sides, making the parallelogram a special type of trapezoid (along with the rhombus, the rectangle and the square). The latter definition is consistent with its uses in higher mathematics such as calculus. The former definition would make such concepts as the trapezoidal approximation to a definite integral be ill-defined."

Ma senza scomodare la matematica superiore, operiamo la seguente riflessione a supporto della definizione inclusiva.

Consideriamo le formule per calcolare l'area del trapezio e del parallelogramma. In particolare, è possibile calcolare l'area di un parallelogramma mediante la formula del trapezio:

A = 1 / 2 * (b1 + b2) * h.

Dato che le "basi" di un parallelogramma sono congruenti,  la formula  precedente si riduce a:

A = b * h

dove b = b1 = b2

E' banale concludere che, se la formula per l'area del trapezio calcola l'area del parallelogramma, allora anche il parallelogramma è un trapezio.

Non sono, infine, d'accordo sull'opportunità didattica di sottoporre  entrambe le definizioni a ragazzi di scuola media perché penso che ciò genererebbe confusione.

Sulla base della mia esperienza, i ragazzi di questa fascia di età non sono ancora maturi per comprendere la differenza logica tra le due definizioni. Lo scopo della geometria alla scuola media è, infatti, di osservare, riconoscere, collezionare vari tipi di figure senza pensare ad un ordine logico.

Concludo con un'osservazione di Hans Freudenthal riguardo alla teoria dell'olandese Van Hiele sui livelli di pensiero geometrico:

"Ci possono essere incertezze, per esempio nel sapere se un quadrato
appartiene ai rombi, o un rombo ai parallelogrammi. L'insegnante può
imporre le definizioni per risolvere queste controversie, ma se fa così
degrada la matematica a qualcosa che è governato da regole
arbitrarie […]. Le proprietà del parallelogramma sono connesse fra
loro; una di esse può diventare la fonte dalla quale sorgono le altre.
Così ora nasce una definizione, e ora diventa chiaro perché un
quadrato deve essere un rombo e un rombo deve essere un
parallelogramma. In questo modo lo studente impara a definire, e
impara per esperienza che definire è più di descrivere, e che è un
mezzo per organizzare deduttivamente le proprietà di un oggetto."