Problema Dell'Asciugacapelli: La Soluzione

Pubblico con ritardo la soluzione del problema contenuto nel post "Fori Di Ventilazione Di Un Asciugacapelli E Successioni Numeriche", risolto dai miei primini.

Riporto per comodità di consultazione il testo del problema e l'immagine di riferimento.



L'immagine mostra i fori di ventilazione di un asciugacapelli.

Osservando bene l'immagine, constaterai che ci sono 9 fori nel primo cerchio e 12 in quello successivo.

Come continua lo schema dei fori nei cerchi successivi?

Prova a dare una risposta prima di contare i fori nell'immagine.

Prova a determinare il numero totale dei fori senza contarli.

Puoi  ricorrere a schemi e altre rappresentazioni grafiche, ma non devi contare i fori.

I più grandi posso provare a determinare la funzione generatrice della successione numerica, che permette il calcolo di qualsiasi n-esimo termine della serie.
 

SOLUZIONE
 

I ragazzi hanno realizzato  dei disegni con l'immagine dell'asciugacapelli, su cui hanno elaborato il loro ragionamento.

Riporto per tutti il disegno di Chiara T.

I ragazzi hanno individuato 8 cerchi concentrici, escludendo il nono che è diverso dai precedenti, e riconosciuto  tre settori circolari ampi 120° ciascuno. Nel disegno Chiara ha colorato in rosso i tre raggi che delimitano i tre settori.

Alla domanda: "Come continua lo schema dei fori nei cerchi successivi?"

I ragazzi, considerato che il primo cerchio contiene 9 fori e il secondo 12, sono giunti facilmente alla conclusione che in ogni cerchio il numero dei fori aumenta di tre rispetto al precedente perchè l'asciugacapelli è suddiviso in tre settori, in ciascuno dei quali il numero di fori aumenta di 1. A questi si aggiungono i tre fori fissi rossi, uno per ciscuno dei tre raggi.

La successione individuata è pertanto la seguente:

9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30
 

Per determinare il numero totale dei fori, hanno sommato i fori degli 8 cerchi, ottenendo 156.

Leonardo ha calcolato il numero totale dei fori, risolvendo un'espressione organizzata da lui:

9 x 8 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) x 3 =

72 + 28 x 3 =

72 + 84 = 156

Questo il suo ragionamento:

8 sono i cerchi. Il primo cerchio contiene 3 fori rossi + sei (due per ciascun settore), in tutto 9 fori. Questi 9 fori li ritroviamo sugli otto cerchi, da cui 9 x 8. Sui  7 cerchi successivi al primo, il numero dei fori aumenta di uno per ciascuno dei 3 settori e tale numero, in totale, deve essere sommato a 9 x 8.

Beh, penso che possiamo accettare il suo ragionamento!

I ragazzi si sono spinti sino a formalizzare la relazione per determinare il termine n-esimo della successione, trovando:

a(n) = 3 + 3 x (n + 1)
 

dove n è il numero del cerchio all'interno della successione.

La relazione funziona! Bravi ragazzi!

Infatti

a(1)= 3 + 3 x ( 1 + 1)= 9
.
.
a(4) = 3 + 3 x (4 + 1) = 18

ecc.

Riporto di seguito, in formato pdf,  il contributo del nostro amico Marco (2° liceo scientifico).

Consultate e scaricate il file pdf da Google Docs.


Marco ha anche elaborato uno schema grafico della successione, con GeoGebra.

Cliccare per avviare l'applet.