QUADRATI MAGICI: Didattica E Curiosità

"I Quadrati magici" è un post di didattica per voi di prima e di seconda, i grandoni stanno per spiccare il volo e il prossimo anno staranno altrove.

Vediamo un po' di cosa si tratta. Talvolta li avrete visti, penso, ma non abbiamo mai affrontato l'argomento. Adesso è arrivato il momento, così passerete un po' di tempo durante le vacanze estive.


I contenuti possono essere utilizzati, con opportuni adattamenti, sia dai colleghi interessati che dagli alunni.

I quadrati magici sono formati da una serie di numeri disposti su una scacchiera in modo tale che la somma dei numeri di ciascuna riga, colonna o diagonale dia sempre lo stesso valore, detto costante del quadrato magico.
Il numero di caselle che formano il lato della scacchiera è detto ordine del quadrato.
Esistono quadrati magici di ordine 3, 4, 5,..., 10 ecc., ma non esiste il quadrato magico di ordine 2 (due caselle per lato della scacchiera).

Alcune fonti fanno risalire i quadrati magici a oltre 3.000 anni fa. Essi sono i discendenti del più antico mistero conosciuto sui numeri, la leggenda di Lo Shu, che si trova in Cina in un libro intitolato Yih King.

Probabilmente, i quadrati magici ebbero origine proprio in Cina, ai tempi della dinastia Shang, circa 4000 anni fa. Secondo una delle leggende che riguarda Lo Shu (il primo quadrato magico di ordine 3), un pescatore trovò sulle rive del fiume Giallo, una tartaruga con incisi sul guscio strani segni; la portò a corte e i matematici dell'imperatore interpretarono i segni come un quadrato di numeri con somma costante uguale a quindici su ogni riga, colonna e diagonale, attribuendo loro un significato magico.

Un'altra  leggenda (vedere wikipedia) narra  che intorno al 2800 a.C. si ebbe una disastrosa piena del fiume Lo causata dall'ira del dio del fiume e che la popolazione offrì dei sacrifici al dio per far cessare il disastroso evento. Dopo ogni sacrificio dal fiume emergeva una tartaruga, ma la furia del fiume non si placava. Solo dopo vari tentativi un bambino si accorse che la tartaruga inviata dal dio aveva segnata sul guscio una rappresentazione del quadrato magico. Questo significava che il dio chiedeva un sacrificio di 15 entità e l'accoglimento del messaggio portò alla fine della piena.
Lo Shu significa "il saggio del fiume Lo".

I segni sul guscio della tartaruga e la loro traduzione in numeri

Dalla Cina, i quadrati magici si diffusero in India da dove, solo nel Medioevo, furono introdotti in Europa. Amuleti in cuoio e in metalli preziosi con sopra disegnati quadrati magici erano usati una volta, ma ancora oggi, per scacciare il malocchio e per guarire le malattie.

* Quadrati magici di ordine 3

I ragazzi possono costruire facilmente un quadrato magico di ordine 3, formato dai nove numeri interi successivi a partire da 1, seguendo le istruzioni di seguito riportate:

1. disporre sulla scacchiera le pedine, precedentemente preparate, con i numeri da 1 a 9 nell'ordine;
2. spostare di una casella le pedine, facendole ruotare in senso orario attorno al 5 che si trova nella casella centrale;
3. scambiare di posto le pedine agli estremi di ciascuna delle diagonali (il 4 con il 6 e il 2 con l'8).

Il quadrato così ottenuto è magico perché il valore della somma dei numeri di ciascuna riga, colonna e diagonale è sempre uguale a 15, ovvero la costante del quadrato magico.

RIGHE	COLONNE	DIAGONALI
6+1+8=15	6+7+2=15	6+5+4=15
7+5+3=15	1+5+9=15	8+5+2=15
2+9+4=15	8+3+4=15

Facendo ruotare il quadrato magico precedente in senso orario di 90°, 180° e 270°, intorno alla casella centrale contenente il 5, si possono ottenere i seguenti quadrati magici.


Ribaltando ciascuno dei tre quadrati magici precedenti, incluso quello di partenza, si ottengono altri quattro quadrati magici.



Si sono così ottenuti otto quadrati magici di ordine 3 la cui costante è sempre 15 perché si sommano sempre gli stessi gruppi di numeri. Il valore della costante si ottiene, applicando la formula:

K = n ( n² + 1) / 2.

K è la costante ed n è il numero che indica l'ordine del quadrato.

Nel caso dei quadrati di ordine 3, essendo n = 3, sarà:

K = 3 (3² + 1) / 2 = 15

E' possibile ottenere infiniti quadrati magici di ordine 3:

a. sommando o sottraendo lo stesso numero a tutti gli elementi della serie di numeri da 1 a 9: 


b. moltiplicando o dividendo per lo stesso numero tutti gli elementi della serie di numeri da 1 a 9:




* Quadrati magici di ordine 4

Per far costruire ai ragazzi il più semplice quadrato magico di ordine 4, li faremo procedere secondo le istruzioni:

1. disporre sulla scacchiera di 4 caselle per lato le pedine con i numeri da 1 a 16;
2. scambiare di posto le pedine di una diagonale, per la precisione l'1 con il 16 ed il 6 con l'11;
3. ripetere il passaggio 2 per l'altra diagonale, scambiando il 4 con il 13 e il 7 con il 10.



Il quadrato numero 3 ottenuto è un quadrato magico di  costante 34, valore che risulta dalla somma dei numeri di tutte le righe, le colonne, le due diagonali e dei quattro numeri posti nelle caselle centrali, evidenziate in verde più scuro. Quadrati magici di tale genere sono chiamati anche diabolici.

Scambiando i numeri posti nelle due colonne centrali del quadrato, si costruisce un altro quadrato magico divenuto famoso perché raffigurato dal pittore tedesco Albrecht Dürer (1471 - 1528) nel suo celebre quadro Melencolia I.

Particolare del quadrato magico di Dürer

 I due numeri nelle caselle centrali dell'ultima riga formano 1514, anno in cui venne fatta l'incisione.



Come per i quadrati di ordine 3, i ragazzi possono costruire altri quadrati magici di ordine 4, facendo ruotare o ribaltando quelli precedenti, oppure sostituendo i numeri con altri ottenuti sommando, sottraendo, moltiplicando, dividendo ciascun numero del quadrato magico n. 3 per lo stesso numero.

Vale la pena consultare l'lenco di tutti gli 880 quadrati magici di ordine 4, unici a meno di rotazioni e simmetrie.

Il numero degli 880 quadrati magici perfetti del quarto ordine, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali, è stato calcolato da Frenicle de Bessy, matematico del Seicento, amico di Descartes e di Fermat.

L'avvento del computer ha consentito di allargare l’indagine ai quadrati magici di ordine superiore. Nel 1973, grazie al pc si calcolò che i quadrati magici di ordine 5 sono 275 305 224. Il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6 invece non è stato ancora calcolato. La meta però non è lontana. Secondo le più recenti indagini, dovrebbero essere circa 17 miliardi di miliardi.

Il problema più generale, ovvero trovare la regola che consenta di determinare il numero di quadrati magici di un dato ordine, rimane però da risolvere.

Interessante il quadrato magico di Dürer con linee, visto sull'ottimo sito di Suzanne Alejandre della Drexel University.

Un altro misterioso quadrato magico è il SATOR, ritrovato un po' ovunque nei reperti archeologi europei, di cui il più famoso è quello rinvenuto nel 1925 negli scavi di Pompei motivo per il quale è noto anche come il Latercolo pompeiano.

Il quadrato del Sator risale al primo secolo d. C. e venne costruito sostituendo, ai numeri, delle lettere collocate in modo da formare la frase “SATOR AREPO TENET  OPERA ROTAS”: una frase palindroma ossia una frase che si può leggere in diverse direzioni, su righe o colonne, da sinistra a destra o viceversa.

Significa letteralmente “Il seminatore, col suo aratro, tiene con cura le ruote”, una frase che potrebbe essere interpretata come: "Dio, dal suo trono, regola con saggezza le sfere (dell'Universo)".

Continuando nella nostra carrellata "magica", vale la pena ricordare The Copernicus Magic Square, un curioso quadrato magico attribuito a Dattaraya Ramchandra Kaprekar, “l’uomo che giocava con i numeri”, un matematico indiano, grande esperto in teoria dei numeri. Il suo risultato più brillante riguarda il numero 6174, noto come la costante di Kaprekar.


Un'applicazione interessante nella didattica è la soluzione del gioco del 15 a quadrato magico, con la somma costante uguale a 30 (vedere più avanti).

Il gioco del 15 è un rompicapo classico inventato da Samuel Loyd nel 1878.
Il gioco consiste di una tabella di forma quadrata 4 x 4 , su cui sono posizionate 15 tessere quadrate, numerate progressivamente a partire da 1, che deve essere in alto a sinistra.
Le tessere possono scorrere sia orizzontalmente che verticalmente nei limiti imposti da una sola casella vuota.

Lo scopo del gioco è di riordinare le tessere dopo averle "mescolate" casualmente: la posizione da raggiungere è quella con il numero 1 in alto a sinistra, come anzidetto, e gli altri numeri a seguire da sinistra a destra e dall'alto in basso, fino al 15 seguito dalla sedicesima  casella vuota.

Se si conta come zero il sedicesimo blocchetto, è possibile costruire un quadrato magico con somma costante 30, tale cioè che i numeri di ogni riga, colonna e delle diagonali diano come somma costante 30.

Il Gioco del 15 da giocare online.

Un altro Gioco del 15 interattivo.

Un sito sui quadrati magici interattivi.

Seguono due quadrati magici di ordine 9 e 16 di  Michael Stifel (Arithmetica
Integra, 1544) 
Tali quadrati sono quadrati magici perfetti. 
La somma dei numeri posti sulle righe, le colonne  e le due diagonali danno rispettivamente  le costanti "magiche" 369 e 2056.

16	81	79	77	75	11	13	15	2
78	28	65	63	61	25	27	18	4
76	62	36	53	51	35	30	20	6
74	60	50	40	45	38	32	22	8
9	23	33	39	41	43	49	59	73
10	24	34	44	37	42	48	58	72
12	26	52	29	31	47	46	56	70
14	64	17	19	21	57	55	54	68
80	1	3	5	7	71	69	67	66

256	9	247	246	12	13	243	242	16	17	239	238	20	21	235	2
3	226	213	45	46	210	209	49	50	206	205	53	54	201	32	254
4	33	200	63	193	192	66	67	189	188	70	71	185	58	224	253
252	34	59	178	169	89	90	166	165	93	94	161	80	198	223	5
251	222	60	81	160	101	155	154	104	105	151	98	176	197	35	6
7	221	196	82	99	146	141	117	118	137	112	158	175	61	36	250
8	37	62	174	100	113	136	123	122	133	144	157	83	195	220	249
23	38	73	173	107	114	129	126	127	132	143	150	84	184	219	234
24	218	183	85	108	115	125	130	131	128	142	149	172	74	39	233
232	217	75	86	148	138	124	135	134	121	119	109	171	182	40	25
231	41	76	87	147	145	116	140	139	120	111	110	170	181	216	26
27	42	180	162	159	156	102	103	153	152	106	97	95	77	215	230
28	43	179	177	88	168	167	91	92	164	163	96	79	78	214	229
228	202	199	194	64	65	191	190	68	69	187	186	72	57	55	29
227	225	44	212	211	47	48	208	207	51	52	204	203	56	31	30
255	248	10	11	245	244	14	15	241	240	18	19	237	236	22	1

I Franklin squares, quadrati magici particolari di Benjamin Franklin (Boston, 17 gennaio 1706 – Filadelfia, 17 aprile 1790). Potete trovarli qui. Il primo dei due è di ordine 8,  menzionato per la prima volta in una lettera inviata da Benjamin Franklin a Peter Collinson verso il 1752. Fu pubblicato successivamente negli Experiments and Observations in Electricity di Franklin (Londra, 1769).
La sua costante magica è 260. In realtà, questo quadrato non è veramente magico ma semimagico perché la somma dei numeri posti sulle due diagonali principali non è 260.
Si possono osservare interessanti proprietà, in parte evidenziate nell'animazione seguente.
Per citarne una, la somma dei numeri posti nei quattro angoli e dei quattro numeri centrali dà la costante magica.

Fonte animazione

Esplorate anche le caratteristiche del quadrato magico di Franklin 16x16!

Di seguito un interessante passaggio tratto dall'autobiografia di Franklin circa le proprietà dei suoi quadrati magici 8 x 8 e 16 x 16.
Vale la pena dare un'occhiata a questo interessante articolo del professore Paul C. Pasles della Villanova University, esperto dei quadrati magici di Franklin: Benjamin Franklin, Magician? 

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Aggiorno il post con i commenti di Aldo e Gaetano, che ampliano l'articolo.

Scrive Aldo:

Molto interessante Annarita! Se avrai notato, nel quadrato magico di ordine quattro, non solo i numeri delle quattro caselle centrali formano la costante 34 = (11 +10+6+7) ma anche i numeri delle caselle poste nei quattro angoli retti:

(16+2+11+5) = (3+13+8+10)= (6+12+1+15)= (9+7+14+4) = 34

Inoltre, se sono chiamati diabolici, tu sai che c’è un quadrato magico di Subirachs posto all’ingresso della famosa Sagrada Familia, di fianco a "Il bacio di Giuda" (vedi immagine seguente).





Il particolare del quadrato quasi magico di Subirachs.





Ebbene, questo quadrato (non propriamente magico) porta ad avere la somma dei numeri nelle righe, diagonali, colonne, nonché quelli delle quattro caselle centrali e i numeri delle quattro caselle più esterne (1+ 4+ 15 + 13), sempre pari a 33, l’età di Gesù quando fu crocifisso: http://utenti.quipo.it/base5/numeri/quasubirachs.htm

Volevo far notare come il mio commento precedente lo avevo fatto anche nel 2009 su matematicamente.it, portando lo stesso ragionamento sul quadrato SATOR, considerando come croce baricentrica la parola TENET. 

Qui, con la lettera centrale N fungente da fulcro baricentrico speculare delle rimanenti lettere di TENET (TE-ET) sia in verticale che orizzontale, nonché in diagonale con le rimanenti lettere ( SR-RS) e (PR-RP), anche le altre quattro lettere rimanenti, al di fuori della croce (TENET) poste nei quattro angoli retti ( ARAS e OROP) sono speculari con le loro opposte e corrispondenti. Che particolare e magnifica simmetria!

Passiamo a Gaetano che scrive, citando un passaggio già letto sopra, nel post:

Interessante il quadrato magico di Dürer con linee, visto sull'ottimo sito di Suzanne Alejandre della Drexel University.

Se in un quadrato magico si riuniscono con rette i numeri successivi per ordine di grandezza, si ottiene una linea poligonale avente per estremi il numero più basso o il più alto, che è caratteristica del quadrato stesso. Molte volte tali linee sono di disegno elegante e potrebbero servire come aiuto mnemonico per ricordare la formazione del quadrato (vedi Matematica Dilettevole e Curiosa, Italo Ghersi, Ediz. Hoepli).

Infatti, è così per il caso del quadrato magico del Dürer, meglio noto come Tavola di Saturno e ampiamente trattato dal medico mago e astrologo Cornelio Agrippa (1486-1535), (vedi La Filosofia Occulta o La Magia - Ediz. Mediterranee). Complessivamente Agrippa ha trattato i quadrati da tre fino a nove colonne: in ordine le Tavole di Saturno, Giove, Marte, Sole, Venere, Mercurio e Luna.

Occorre dire che nell'antica magia è fondamentale la disciplina delle memoria quale corredo indispensabile di una lucida immaginazione, altrimenti i rituali magici sono compromessi. Di qui l'importanza delle linee mnemoniche, chiamate Caratteri, per risalire ai numeri compresi nel quadrato magico. I numeri poi corrispondono a lettere ebraiche che danno luogo a nomi diversi, secondo lo scopo del rituale in atto - mettiamo - per invocare un'Intelligenza o evocare un Demone.

Si capirà che l'antica magia ha solide basi nella Cabala ebraica che dei quadrati magici ne fa immenso uso per i rituali, come accennato.

Il Primo Capitolo del Terzo Libro della Magia Sacra (vedi Magia della Cabala, S.L. Mac Gregor Mathers, Ediz. Mediterranee) recita così: "Come conoscere ogni genere di cosa passata e futura, che però non sia direttamente contraria a Dio e contro la sua Santa Volontà".

Di seguito viene fatto un elenco degli scopi dei diversi quadrati presentati. Mi limito a due Quadrati in particolare, quelle del Primo Capitolo e Diciannovesimo Capitolo.

Quadrato del Primo Capitolo che serve a "Conoscere tutte le cose Passate e Future in generale".

Le parole qui elencate nel loro ordine, in orizzontale e verticale sono:
Milon, Irago, Lamal, Ogari, Nolim.

Si tratta di un Quadrato di 25 quadrati, ed è un campione completo di doppio acrostico.

Milon, sebbene ricordi il greco, difficilmente deriva da milos (frutto o altro albero) o da melilon (cosa preziosa o articolo di valore). Sembra piuttosto derivare dall'ebraico MLVN una varietà di cose o argomenti.

Irago viene forse dal greco eira, domanda o inchiesta, e ago, condurre, decidere. Ebraico RGO = rompere o analizzare.

  Lamal  , probabilmente dal caldeo MLA = completezza, pienezza.

Ogari dall'ebraico OGR = rondine o cosa che vola in fretta. Nolim dall'ebraico NOLIM = cose nascoste o coperte.

Nolim (che è spiegata successivamente)

Quindi possiamo estrarre la seguente formula dal Quadrato: «Varie questioni pienamente esaminate e analizzate, e anche velocemente, e perfino cose attentamente nascoste e celate ».

Quadrato del Diciannovesimo Capitolo che serve per i rituali destinato agli affetti e all'Amore da una fanciulla in generale.

Questo Quadrato somiglia al Quadrato, cosiddetto SATOR presente nel post a commento. In luogo delle parole Sator [= il Creatore], Arepo [= che si muove lentamente], Tenet [= mantiene], Opera [= le sue creazioni], Rotas [= come vortici], vediamo Salom [= pace], Arepo [= egli distilla], Lemel [= in pienezza], Opera [= sul suolo secco], Molas [= «eccitandolo alla velocità, cioè alla vita»].
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- I quadrati magici di ordine 3 e 4, di colore verde  e arancione, sono stati da me realizzati con GeoGebra, le altre immagini sono state reperite in rete.

Riferimenti bibliografici e sitografici:

- Scuola e Didattica, inserto n.3, 15 settembre 2009, anno LV
- Wikipedia It
- Wikipedia En

Le altre fonti sono state linkate all'interno del post.