Sulle Reti Geometriche

Per Giovanni, studente liceale, che me ne ha fatto richiesta, ho svolto una ricerca sulle reti geometriche, trovando su Wikisource "Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane", un libro di Luigi Cremona (7 dicembre 1830 – 10 giugno 1903, matematico e politico italiano) che dedica l'art. 15 alle Reti geometriche.

Il tema non è molto diffuso in rete, così, spulciando in qua e in là, mi sono imbattuta in due interessanti esercizi sulle reti geometriche che, riporto dai "Quadrati magici di Fermat" di  Édouard Lucas (Amiens, 4 aprile 1842 – Parigi, 3 ottobre 1891,  matematico francese).

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Una rete geometrica è il sistema formato dai punti A,B,C..., disposti in una maniera qualsiasi sul piano e nello spazio, e uniti tra loro da una o diverse linee rette o curve, cui si dà il nome di cammini. I punti A,B,C..., prendono il nome di incroci; un incrocio può essere pari o dispari a seconda se il numero di cammini che vi si incontrano sia pari o dispari. Una rete è continua quando un punto mobile collocato su di un cammino o su di un incrocio può dirigersi verso un altro punto qualsiasi senza uscire dai cammini tracciati.

Stabilito questo, abbiamo il seguente teorema, che dobbiamo a Euler: Quando una rete ha un numero di incroci dispari, essi si incontrano in numero pari. In effetti, se si conta il numero di tutti i cammini che convergono su uno degli incroci, la somma di tutti i numeri ottenuti è un numero pari, posto che ogni cammino ha dovuto essere contato due volte. Essendo questa somma un numero pari, è necessario che, tra i numeri interi che l'hanno formata, quelli che sono dispari si incontrino in numero pari.

Si propongono alcuni esercizi relativi alle reti geometriche.

ESERCIZIO 1. Calcolare il numero di salti del cavallo degli scacchi in una scacchiera rettangolare formata da p righe e da q colonne.



Si può passare da una delle (q - 1) prime colonne alla colonna seguente attraverso (p - 2) salti discendenti o attraverso uno stesso numero di salti ascendenti; avremo quindi:

2 (p - 2) (q - 1)
 

salti, e un numero uguale sovrapponendosi dalla destra verso la sinistra.

Allo stesso modo, passando alla riga precedente o a quella successiva, si hanno un numero di salti uguali al doppio di:
 

2 (p - 1) (q - 2)
 

Pertanto, il numero di salti del cavallo su una scacchiera rettangolare di pq caselle, considerando sia l'andata sia il ritorno, è uguale al doppio di:
 

2 (p - 3) (q - 3) - 1
 

Più in generale, se il salto del cavallo si componesse di r movimenti in un senso e di s movimenti nell'altro, supponendo che r ed s siano minori di p e di q, il numero di salti del cavallo, considerando l'andata e il ritorno, sarebbe il doppio dell'espressione:
 

(2p - r - s) (2q - r - s) - (r - s)²
 

Si deve dividere tale numero per 2, quando uno dei numeri r, s oppure (r - s) è nullo.


Il numero di mosse del re si calcola considerando il pezzo come un insieme di due cavalli uno dei cui passi è 1 e l'altro 0 oppure 1.

Abbiamo così il doppio di:
 

4pq - 3p - 3q + 2
 

In una scacchiera di p² caselle, la torre può essere considerata come un insieme di cavalli uno dei cui passi è nullo e l'altro uno qualsiasi degli interi inferiori a p. In questo modo, si nota come il numero degli spostamenti di una torre su di una scacchiera di p² caselle è il doppio di:
 

p² (p - 1)
 

In una scacchiera di p² caselle, il sistema dei due alfieri può essere considerato come l'insieme di cavalli i cui passi uguali sono tutti i numeri interi inferiori a p. Otteniamo perciò che il numero di spostamneti degli alfieri su di una scacchiera di p² caselle è il doppio di:
 

1/2 p (p - 1) (2p - 1)
 

Infine la regina può essere considerata, in termini di movimento, come l'insieme di una torre e dei due alfieri; di conseguenza il numero dei suoi spostamneti è il doppio di:
 

1/2 p (p - 1) (5p - 1)

ESERCIZIO 2. Il numero di modi di disporre due regine su di una scacchiera di p² caselle, di modo che esse non siano sotto scacco a vicenda, cioè che non si trovino su di una stessa linea parallela ai bordi o alle diagonali della scacchiera, è:
 

1/6 p (p - 1) (p- 2) (3p - 1)

 

In effetti, questo numero è uguale all'eccedenza del numero delle combinazioni di p² caselle prese a due a due rispetto alla metà del numero degli spostamenti possibili della regina, cioé:
 

[p² (p² - 1)]/2 - [p (p - 1) (3p - 1)]/3

 

Lo stesso calcolo può essere effettuato anche per altri pezzi degli scacchi; per i due re abbiamo:
 

(p - 1) (p - 2) (p² + 3p - 2)

e per i due cavalli:
 

1/2 (p - 1) (p³ - p² - 8p + 16)